數學函數求值域的好方法
一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察,結合函數的解析式,求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
點撥:根據算術平方根的性質,先求出√(2-3x)的值域。
解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。∴函數的值域爲{y∣y≥3}.
點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(1)被開方數的非負性,(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對於一類函數的值域的求法,簡捷明瞭,不失爲一種巧法。練習:求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域爲:{0,1,2,3,4,5})
二.反函數法
當函數的反函數存在時,則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥:先求出原函數的反函數,再求出其定義域。
解:顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數爲:x=(1-2y)/(y-1),其定義域爲y≠1的實數,故函數y的值域爲{y∣y≠1,y∈R}。
點評:利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。
這種方法體現逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一。練習:求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數的值域爲{y∣y1})
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化爲二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3:求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥:將被開方數配方成完全平方數,利用二次函數的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域爲x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評:求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。
配方法是數學的一種重要的思想方法。練習:求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域爲{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化爲關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥:將原函數轉化爲自變量的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函數的值域。
解:將上式化爲(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域爲2點評:把函數關係化爲二次方程F(x,y)=0,由於方程有實數解,故其判別式爲非負數,可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
練習:求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域爲y≤-8或y0)。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥:根據已知條件求出自變量x的取值範圍,將目標函數消元、配方,可求出函數的值域。
解:∵3x2+x+10,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續,故只需比較邊界的大小。當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4。∴函數z的值域爲{z∣-5≤z≤15/4}。
點評:本題是將函數的值域問題轉化爲函數的最值。對開區間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函數的值域。
練習:若√x爲實數,則函數y=x2+3x-5的值域爲()A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞);(答案:D)。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象,運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥:根據絕對值的意義,去掉符號後轉化爲分段函數,作出其圖象。
解:原函數化爲-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數值y≥3,所以,函數值域[3,+∞]。
點評:分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象求函數的值域,體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函數值域的方法較多,還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥:由已知的函數是複合函數,即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域爲x≤1/3,在此區間內分別討論函數的增減性,從而確定函數的值域。
解:設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內爲增函數,從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域爲x≤1/3上也爲增函數,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數值域爲{y|y≤4/3}。
點評:利用單調性求函數的值域,是在函數給定的區間上,或求出函數隱含的區間,結合函數的增減性,求出其函數在區間端點的函數值,進而可確定函數的值域。
練習:求函數y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})
八.換元法
以新變量代替函數式中的某些量,使函數轉化爲以新變量爲自變量的函數形式,進而求出值域。
例8求函數y=x-3+√2x+1的值域。
點撥:通過換元將原函數轉化爲某個變量的二次函數,利用二次函數的最值,確定原函數的值域。
解:設t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以,原函數的值域爲{y|y≥-7/2}。
點評:將無理函數或二次型的函數轉化爲二次函數,通過求出二次函數的最值,從而確定出原函數的.值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習:求函數y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}
九.構造法
根據函數的結構特徵,賦予幾何圖形,數形結合。
例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥:將原函數變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函數的值域。
解:原函數變形爲f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長爲4、寬爲3的矩形ABCD,再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關係知,AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。∴原函數的值域爲{y|y≥5}。
點評:對於形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均爲正數),均可通過構造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
練習:求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})
十.比例法
對於一類含條件的函數的值域的求法,可將條件轉化爲比例式,代入目標函數,進而求出原函數的值域。
例10已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
點撥:將條件方程3x-4y-5=0轉化爲比例式,設置參數,代入原函數。
解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k爲參數)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。函數的值域爲{z|z≥1}.
點評:本題是多元函數關係,一般含有約束條件,將條件轉化爲比例式,通過設參數,可將原函數轉化爲單函數的形式,這種解題方法體現諸多思想方法,具有一定的創新意識。
練習:已知x,y∈R,且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})
十一.利用多項式的除法
例11求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥:將原分式函數,利用長除法轉化爲一個整式與一個分式之和。
解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0,故y≠3。∴函數y的值域爲y≠3的一切實數。
點評:對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。
練習:求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
十二.不等式法
例12求函數Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥:先求出原函數的反函數,根據自變量的取值範圍,構造不等式。
解:易求得原函數的反函數爲y=log3[x/(1-x)],由對數函數的定義知x/(1-x)0,1-x≠0。解得:01或y
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