閉區間的最大值最小值的問題相信一直是同學們比較困擾的一個知識點，不用擔心，小編就讓爲你詳細介紹及通過案例的介紹，一定能夠充分認識並熟練運用的。
閉區間介紹
直線上介於固定的兩點間的所有點的 集合(包含給定的兩點)。 閉區間是直線上的 連通的 閉集。由於它是 有界閉集，所以它是 緊緻的。
閉區間的函數爲 小於等於的關係 即 —∞≤a≤+∞ 在數軸上爲實心點。
閉區間的 餘集(就是 補集)是兩個 開區間的 並集。
實數理論中有著名的 閉區間套定理。
代表符號：
[x,y] --> 從x值開始到y值，包含x、y
比如：x的取值範圍是 3到5的閉區間 那麼用數學語言表示即爲 [3,5] 也就是從3(含)到5(含)之間的數。
最大值最小值定理證明
對於在區間上有定義的函數，如果有，使得對於任一都有則稱是函數在區間上的最大(小)值.
例如:
定理1(最大值和最小值定理)：在閉區間上連續的`函數一定有最大值和最小值.
定理表明：若函數在閉區間上連續，則至少存在一點，使是閉區間上的最小值;又至少存在一點，使在閉區間上的最大值
注：當定理中的“閉區間上連續”的條件不滿足是，定理的結論可能不成立.
如，若是開區間內的連續函數，結論可能不成立.
又如，函數 在開區間內沒有最大值，因爲它在閉區間上不連續.
若在上有間斷點，結論不一定成立.
函數在閉區間上有間斷點，但函數在閉區間上既無最大值又無最小值.
案例過程講解
證明：設函數f在閉區間[a，b]上連續，記M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
則必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.
也就是說，有界閉區間上的連續函數必能取到它在這個區間上的最大值和最小值.
現證明如下
因爲函數f在閉區間[a，b]上連續，
所以函數f在閉區間[a，b]上有界，
即數集{f(x)：x∈[a，b]}有界，
利用確界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上確界和下確界，m和M都是有限數.
顯然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])， 考察上確界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
根據上確界的定義，
對任意n∈N*，
必定存在xn∈[a，b]，使得
M−1n
由於a≤xn≤b，{xn}有界，
根據列緊性定理，存在一個子列{xnk}和一點x*∈[a，b]，使得{xnk}，
由於f在x*處連續，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限)
在不等式M−1nk<(xnk)≤M的兩端讓k→∞，得出M≤f(x*)≤M
故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.
同理可證存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.
什麼是極值定理
已知x、y都是正數,x+y=S,xy=P。 (1)如果S是定值,那麼當x=y時,P的值最大; (2)如果P是定值,那麼當x=y時,S的值最小。 這是衆所周知的極值定理。
設函數f(x)在x0附近的連續，則除x0以外函數f(x)可導，那麼:
<1>:若點x0左邊f(x)'>0,在x0右邊f(x)'<0,則x0點爲f(x)的一個極大值點
<2>:若在x0點左邊f(x)'<0,在x0右邊f(x)'>0,則x0爲f(x)的一個極小值點
<3>:若在x0點的兩邊的導數f(x)'的正負號相同,則x0不是f(x)的極值點
函數的極值不僅是反映函數性態的一個重要特徵，而且在解決實際問題中也佔有極其重要的地位。很多經濟和生活中的問題都可以轉化爲數學中的函數極值問題進行討論，從而得到該問題的最優方案。
