B級 中等題
7.已知△ABC，且∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法和證明).
①以點A爲圓心，BC邊的長爲半徑作⊙A;
②以點B爲頂點，在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)請判斷直線BD與⊙A的位置關係(需證明).
8.(2013年江蘇宿遷)如圖6-3-17，在平行四邊形ABCD中，AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分線(尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)若(1)中所作的角平分線交AD於點E，AF⊥BE，垂足爲點O，交BC於點F，連接EF. w
求證：四邊形ABFE爲菱形.
C級 拔尖題
9.(2013年山東德州)(1)如圖6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC爲邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.連接BE，CD.請你完成圖形，並證明：BE=CD(尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡);
(2)如圖6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC爲邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE.連接BE，與CD有什麼數量關係?簡單說明理由;
(3)運用(1)(2)解答中積累的經驗和知識，完成下題：
如圖6-3-18(3)，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長.
(1) (2) (3)
圖6-3-18
尺規作圖
1.B 2.D 3.A 4.8
5.解：作線段AB的`垂直平分線，作兩條公路夾角的平分線，兩線分別交於點C1，C2.如圖48，所以點C1、C2就是符合條件的點.
6.解：如圖49，點M爲所求.
7.解：(1)如圖50.
(2)直線BD與⊙A相切.證明如下：
∵∠ABD=∠BAC，∴AC∥BD.
∵∠ACB=90°，⊙A的半徑等於BC，
∴點A到直線BD的距離等於BC.
∴直線BD與⊙A相切.
8.解：(1)如圖51.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.
∵AF⊥BE於點O，
∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.
又∵BO=BO，
∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.
∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.
又∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.
又∵AB=FB，∴平行四邊形ABFE是菱形.
11.(1)證明：如圖52.
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
圖52 圖53
(2)解：BE=CD.
理由：∵四邊形ABFD和ACGE均爲正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.
∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
(3)解：如圖53，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，則AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.
連接CD，則由(2)可知BE=CD.
∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.
∴CD=1002+?100 2?2=100 3.
∴BE的長爲100 3米.
