一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函數的值域爲{y∣y≥3｝.
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明瞭，不失爲一種巧法。練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域爲：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。
解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數爲:x=(1-2y)/(y-1),其定義域爲y≠1的實數,故函數y的值域爲{y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。
這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域爲{y∣y1｝)
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化爲二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域爲x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評：求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。
配方法是數學的一種重要的思想方法。練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域爲{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化爲關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數轉化爲自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。
解：將上式化爲(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域爲2點評：把函數關係化爲二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式爲非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域爲y≤-8或y0)。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變量x的取值範圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。∴函數z的值域爲{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數的值域問題轉化爲函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。
練習：若√x爲實數，則函數y=x2+3x-5的值域爲()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化爲分段函數，作出其圖象。
解：原函數化爲-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。
點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函數是複合函數，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域爲x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內爲增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域爲x≤1/3上也爲增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域爲{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。
練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化爲以新變量爲自變量的函數形式，進而求出值域。
例8求函數y=x-3+√2x+1的值域。
點撥：通過換元將原函數轉化爲某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。
解：設t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數的值域爲{y|y≥-7/2｝。
點評：將無理函數或二次型的函數轉化爲二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的.值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函數y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
九.構造法
根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。
解：原函數變形爲f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長爲4、寬爲3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關係知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。∴原函數的值域爲{y|y≥5｝。
點評：對於形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均爲正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
十.比例法
對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化爲比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化爲比例式，設置參數，代入原函數。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k爲參數)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。函數的值域爲{z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數關係，一般含有約束條件，將條件轉化爲比例式，通過設參數，可將原函數轉化爲單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。
練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
十一.利用多項式的除法
例11求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函數，利用長除法轉化爲一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函數y的值域爲y≠3的一切實數。
點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。
練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
十二.不等式法
例12求函數Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值範圍，構造不等式。
解：易求得原函數的反函數爲y=log3[x/(1-x)],由對數函數的定義知x/(1-x)0，1-x≠0。解得：01或y
