函數的有關概念
1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B爲從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.
注意：
1、如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;
2、函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
定義域補充：
能使函數式有意義的實數x的集合稱爲函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數爲零底不可以等於零
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
(注意：求出不等式組的解集即爲函數的定義域。)
2、構成函數的三要素：定義域、對應關係和值域
注意：
(1)構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函數相等(或爲同一函數)。
(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。 相同函數的判斷方法：
①定義域一致;
②表達式相同 (兩點必須同時具備)
值域補充
(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域.
(2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解複雜函數值域的基礎。
函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x爲橫座標，函數值y爲縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y爲座標的點(x，y)，均在C上 . 即記爲C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行於Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射。
2、對於函數的概念，應注意如下幾點：
（1）掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否爲同一函數。
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關係式，特別是會求分段函數的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（x），那麼y=f[g（x）]叫做f和g的複合函數，其中g（x）爲內函數，f（u）爲外函數、
3、求函數y=f（x）的反函數的一般步驟：
（1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域；
（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；
（3）將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f—1（x），並註明定義域、
注意：
①對於分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然後再合併到一起、
②熟悉的應用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算、
函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函數來自於一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；
（2）已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：
①分式的分母不得爲零；
②偶次方根的被開方數不小於零；
③對數函數的真數必須大於零；
④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1；
⑤三角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。
應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域爲各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值範圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。
2、求函數的解析式一般有四種情況
（1）根據某實際問題需建立一種函數關係時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式。
（2）有時題設給出函數特徵，求函數的解析式，可採用待定係數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b爲待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。
（3）若題設給出複合函數f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當於求函數的定義域。
（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。
函數的值域與最值
1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對於結構較爲簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域。
（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式裏一次式時用代數換元，當根式裏是二次式時，用三角換元。
（3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關係，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可採用此法求得。
（4）配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法。
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。
（6）判別式法：把y=f（x）變形爲關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特徵是解析式中含有根式或分式。
（7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可採用單調性法求出函數的值域。
（8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。
2、求函數的最值與值域的區別和聯繫
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值。因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。
如函數的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無最大值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值爲2。可見定義域對函數的值域或最值的影響。
3、函數的最值在實際問題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現爲“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。
函數的奇偶性
1、函數的奇偶性的定義：對於函數f（x），如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那麼函數f（x）就叫做奇函數（或偶函數）。
正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：
（1）定義域在數軸上關於原點對稱是函數f（x）爲奇函數或偶函數的必要不充分條件；
（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恆等式。（奇偶性是函數定義域上的整體性質）。
2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。爲了便於判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式。
函數的局部性質——單調性
設函數y=f(x)的定義域爲I，如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那麼那麼y=f(x)在區間D上是減函數，D是函數y=f(x)的單調遞減區間。
⑴函數區間單調性的判斷思路
ⅰ在給出區間內任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。
ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，並進行變形和配方，變爲易於判斷正負的形式。
ⅲ判斷變形後的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。
⑵複合函數的單調性
複合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律爲“同增異減”;多個函數的複合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。
⑶注意事項
函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成並集，如果函數在區間A和B上都遞增，則表示爲f(x)的單調遞增區間爲A和B，不能表示爲A∪B。
函數的整體性質——奇偶性
對於函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就爲偶函數;
對於函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就爲奇函數。
⑴奇函數和偶函數的性質
ⅰ無論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關於原點對稱。
ⅱ奇函數的圖像關於原點對稱，偶函數的圖像關於y軸對稱。
⑵函數奇偶性判斷思路
ⅰ先確定函數的定義域是否關於原點對稱，若不關於原點對稱，則爲非奇非偶函數。
ⅱ確定f(x)和f(-x)的關係：
若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數爲偶函數;
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數爲奇函數。
3、函數的最值問題
⑴對於二次函數，利用配方法，將函數化爲y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。
⑵對於易於畫出函數圖像的函數，畫出圖像，從圖像中觀察最值。
⑶關於二次函數在閉區間的最值問題
ⅰ判斷二次函數的頂點是否在所求區間內，若在區間內，則接ⅱ，若不在區間內，則接ⅲ。
ⅱ若二次函數的頂點在所求區間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點爲最小值，a<0時頂點爲最大值;後判斷區間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數值，即爲a>0時的最大值或a<0時的最小值。
ⅲ若二次函數的頂點不在所求區間內，則判斷函數在該區間的單調性
若函數在[a，b]上遞增，則最小值爲f(a)，最大值爲f(b);
若函數在[a，b]上遞減，則最小值爲f(b)，最大值爲f(a)。
