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第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
一、不等關係
※1、 一般地,用符號(或), (或)連接的式子叫做不等式.
2、要區別方程與不等式: 方程表示的是相等的關係;不等式表示的是不相等的關係.
※3、準確翻譯不等式,正確理解非負數、不小於等數學術語.
非負數 大於等於0(=== 0和正數 不小於0
非正數 小於等於0(=== 0和負數 不大於0
二、不等式的基本性質
※1、掌握不等式的基本性質,並會靈活運用:
(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:
如果ab,那麼a+cb+c, a-cb-c.
(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,即
如果ab,並且c0,那麼acbc, .
(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,即:
如果ab,並且c0,那麼ac
※2、比較大小:(a、b分別表示兩個實數或整式)
一般地:
如果ab,那麼a-b是正數;反過來,如果a-b是正數,那麼a
如果a=b,那麼a-b等於0;反過來,如果a-b等於0,那麼a=b;
如果a
即:
a===0
a=b a-b=0
a a-b0
(由此可見,要比較兩個實數的大小,只要考察它們的差就可以了.
三、不等式的解集:
※1、能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解;一個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.
※2、不等式的解可以有無數多個,一般是在某個範圍內的所有數,與方程的解不同.
3、不等式的解集在數軸上的表示:
用數軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向:
①邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;
②方向:大向右,小向左
四、一元一次不等式:
※1、 只含有一個未知數,且含未知數的式子是整式,未知數的次數是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.
※2、解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以一個負數時,不等號要改變方向.
※3、解一元一次不等式的步驟:
①去分母;
②去括號;
③移項;
④合併同類項;
⑤係數化爲1(不等號的改變問題)
※4、 一元一次不等式基本情形爲axb(或ax
①當a0時,解爲 ;
②當a=0時,且b0,則x取一切實數;
當a=0時,且b0,則無解;
③當a0時, 解爲 ;
5、不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)
列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:
①審: 認真審題,找出題中的不等關係,要抓住題中的關鍵字眼,如大於、小於、不大於、不小於等含義;
②設: 設出適當的未知數;
③列: 根據題中的不等關係,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 寫出答案,並檢驗答案是否符合題意.
五、一元一次不等式與一次函數
六、一元一次不等式組
※1、 定義: 由含有一個相同未知數的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.
※2、一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.
幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數軸來確定.
※3、解一元一次不等式組的步驟:
(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;
(2)利用數軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.
兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b爲實數,且a
一元一次不等式 解集 圖示 敘述語言表達
xb 兩大取較大
xa 兩小取小
a
無解 在大小分離沒有解
(是空集)
第二章 分解因式
一、分解因式
※1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.
※2. 因式分解與整式乘法是互逆關係.
因式分解與整式乘法的區別和聯繫:
(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化爲一個多項式;
(2)因式分解是把一個多項式化爲幾個因式相乘.
二、提公共因式法
※1、如果一個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.
如:
※2、概念內涵:
(1)因式分解的最後結果應當是積
(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;
(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;
(2)公因式是否提幹淨
(3)多項式中某一項恰爲公因式,提出後,括號中這一項爲+1,不漏掉.
三、運用公式法
※1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.
因式分解要分解到底.如 就沒有分解到底.
※4、運用公式法:
(1)平方差公式:
①應是二項式或視作二項式的多項式;
②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;
③二項是異號.
(2)完全平方公式:
①應是三項式;
②其中兩項同號,且各爲一整式的平方;
③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.
※5、因式分解的思路與解題步驟:
(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分組分解法,即通過分組後提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;
(4)因式分解的最後結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;
(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數範圍內不能再分解爲止.
四、分組分解法:
※1、分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.
如:
※2、概念內涵:
分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組後是否有公因式可提,並且可繼續分解,分組後是否可利用公式法繼續分解因式.
※3、注意: 分組時要注意符號的變化.
五、十字相乘法:
※1、對於二次三項式 ,將a和c分別分解成兩個因數的乘積, , , 且滿足 ,往往寫成 的形式,將二次三項式進行分解.
如:
※2、二次三項式 的分解:
※3、規律內涵:
(1)理解:把 分解因式時,如果常數項q是正數,那麼把它分解成兩個同號因數,它們的符號與一次項係數p的符號相同.
(2)如果常數項q是負數,那麼把它分解成兩個異號因數,其中絕對值較大的因數與一次項係數p的符號相同,對於分解的兩個因數,還要看它們的和是不是等於一次項係數p.
(1)十字相乘法在對係數分解時易出錯;
(2)分解的結果與原式不等,這時通常採用多項式乘法還原後檢驗分解的是否正確.
第三章 分式
一、分式
※1、兩個整數不能整除時,出現了分數;類似地,當兩個整式不能整除時,就出現了分式.
整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母,那麼稱 爲分式,對於任意一個分式,分母都不能爲零.
※2、整式和分式統稱爲有理式,即有:
※3、進行分數的化簡與運算時,常要進行約分和通分,其主要依據是分數的基本性質:
分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式,分式的值不變.
※4、一個分式的`分子、分母有公因式時,可以運用分式的基本性質,把這個分式的分子、分母同時除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.
二、分式的乘除法
※1、分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母顛倒位置後,與被除式相乘.
※2、分式乘方,把分子、分母分別乘方.
逆向運用 ,當n爲整數時,仍然有 成立.
※3、分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.
三、分式的加減法
※1、分式與分數類似,也可以通分.根據分式的基本性質,把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
※2、分式的加減法:
分式的加減法與分數的加減法一樣,分爲同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.
(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;
上述法則用式子表示是:
(2)異號分母的分式相加減,先通分,變爲同分母的分式,然後再加減;
上述法則用式子表示是:
※3、概念內涵:
通分的關鍵是確定最簡分母,其方法如下:最簡公分母的係數,取各分母系數的最小公倍數;最簡公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項式,則首先對多項式進行因式分解.
四、分式方程
※1、解分式方程的一般步驟:
①在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;
②解這個整式方程;
③把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零,使最簡公母爲零的根是原方程的增根,必須捨去.
※2、列分式方程解應用題的一般步驟:
①審清題意;
②設未知數;
③根據題意找相等關係,列出(分式)方程;
④解方程,並驗根;
⑤寫出答案.
第四章 相似圖形
一、線段的比
※1、如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那麼就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或寫成 .
※2、 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等於c與d的比,即 ,那麼這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3、注意點:
①a:b=k,說明a是b的k倍;
②由於線段 a、b的長度都是正數,所以k是正數;
③比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;
④除了a=b之外,a:bb:a, 與 互爲倒數;
⑤比例的基本性質:若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則
二、黃金分割
※1、如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那麼稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
※2、黃金分割點是最優美、最令人賞心悅目的點.
四、相似多邊形
1、一般地,形狀相同的圖形稱爲相似圖形.
※2、對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
五、相似三角形
※1、在相似多邊形中,最爲簡簡單的就是相似三角形.
※2. 對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.
※3、全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等於1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
※4、相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比.
※5、相似三角形周長的比等於相似比.
※6、相似三角形面積的比等於相似比的平方.
六、探索三角形相似的條件
※1、相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行於三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
①兩角對應相等;
②兩邊對應成比例,且夾角相等;
③三邊對應成比例. ①一個銳角對應相等;
②兩條邊對應成比例:
a. 兩直角邊對應成比例;
b. 斜邊和一直角邊對應成比例.
※2、平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
※3、平行於三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
七、相似的多邊形的性質
※相似多邊形的周長等於相似比;面積比等於相似比的平方.
八、圖形的放大與縮小
※1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形; 這個點叫做位似中心; 這時的相似比又稱爲位似比.
※2. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比.
◎3. 位似變換:
①變換後的圖形,不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交於一點,並且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.
②一個圖形經過位似變換後得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.
第五章 數據的收集與處理
一、 每週幹家務活的時間
※1、所要考察的對象的全體叫做總體;
把組成總體的每一個考察對象叫做個體;
從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本.
※2、爲一特定目的而對所有考察對象作的全面調查叫做普查;
爲一特定目的而對部分考察對象作的調查叫做抽樣調查.
二、數據的收集
※1、抽樣調查的特點: 調查的範圍小、節省時間和人力物力優點.但不如普查得到的調查結果精確,它得到的只是估計值.
而估計值是否接近實際情況還取決於樣本選得是否有代表性.
第六章 證明(一)
二、 定義與命題
※1、 一般地,能明確指出概念含義或特徵的句子,稱爲定義.
定義必須是嚴密的.一般避免使用含糊不清的術語,例如一些、大概、差不多等不能在定義中出現.
※2、可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.
正確的命題稱爲真命題,錯誤的命題稱爲假命題.
※3、 數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的,並且把它們作爲判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題叫做公理.
※4、有些命題可以從公理或其他真命題出發,用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,並且可以進一步作爲判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫做定理.
5、根據題設、定義以及公理、定理等,經過邏輯推理,來判斷一個命題是否正確,這樣的推理過程叫做證明.
三. 爲什麼它們平行
※1、平行判定公理: 同位角相等,兩直線平行.(並由此得到平行的判定定理)
※2、平行判定定理: 同旁內互補,兩直線平行.
※3、平行判定定理: 同錯角相等,兩直線平行.
四、如果兩條直線平行
※1. 兩條直線平行的性質公理: 兩直線平行,同位角相等;
※2. 兩條直線平行的性質定理: 兩直線平行,內錯角相等;
※3. 兩條直線平行的性質定理: 兩直線平行,同旁內角互補.
五、三角形和定理的證明
※1. 三角形內角和定理: 三角形三個內角的和等於180
2. 一個三角形中至多隻有一個直角
3. 一個三角形中至多隻有一個鈍角
4. 一個三角形中至少有兩個銳角
六、關注三角形的外角
※1. 三角形內角和定理的兩個推論:
推論1: 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和;
推論2: 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角.
(注：※表示重點部分;表示瞭解部分;◎表示僅供參閱部分;)
希望同學們能夠認真閱讀八年級數學知識點：北師大版八年級下冊，努力提高自己的學習成績。
