全國卷2理科數學試題及答案
第Ⅰ卷
一.選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設集合M={0,1,2},N=?x|x2?3x?2≤0?,則M?N=()
A.{1}
【答案】D
【解析】B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
把M={0,1,2}中的數,代入不等式x2-3x+2≤0,經檢驗x=1,2滿足。所以選D.
2.設複數z1,z2在複平面內的對應點關於虛軸對稱,z1?2?i,則z1z2?()
A.-5
【答案】B
【解析】B.5C.-4+iD.-4-i
?z1=2+i,z1與z2關於虛軸對稱,∴z2=-2+i,
∴z1z2=-1-4=-5,故選B.
3.設向量a,b滿足|a+b
|a-b
a?b=()
A.1
【答案】A
【解析】B.2C.3D.5
?|a+b|=,|a-b|=6,,∴a+b+2ab=10,a+b-2ab=6,
聯立方程解得=1,故選A.
4.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,
,則AC=()22222
A.5
【答案】B
【解】B.C.2D.1
1112acsinB=?2?1?sinB=∴sinB=,2222
π3ππ∴B=,或.當B=時,經計算ΔABC爲等腰直角三角形,不符合題意,捨去。444
3π∴B=,使用餘弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故選B.4?SΔABC=
5.某地區空氣質量監測資料表明,一天的空氣質量爲優良的概率是0.75,連續兩爲優良的概率是0.6,已知某天的空氣質量爲優良,則隨後一天的空氣質量爲優良的概率是
()
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
【答案】A
【解析】
設某天空氣質量優良,則隨後一個空氣質量也優良的概率爲p,
則據題有0.6=0.75?p,解得p=0.8,故選A.
6.如圖,網格紙上正方形小格的邊長爲1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件
由一個底面半徑爲3cm,高爲6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的
比值爲()
A.B.C.D.279273
【答案】C
【解析】
?加工前的零件半徑爲3,高6,∴體積v1=9π?6=54π.
?加工後的零件,左半部爲小圓柱,半徑2,高4,右半部爲大圓柱,半徑爲3,高爲2.
∴體積v2=4π?4+9π?2=34π.
∴削掉部分的體積與原體積之比=54π-34π10=.故選C.54π27
7.執行右圖程序框圖,如果輸入的x,t均爲2,則輸出的S=()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】
x=2,t=2,變量變化情況如下:
MSK
131252
273
故選C.
8.設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程爲y=2x,則a=
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
?f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-1.x+1
∴f(0)=0,且f′(0)=2.聯立解得a=3.故選D.
?x?y?7≤0?9.設x,y滿足約束條件?x?3y?1≤0,則z?2x?y的'最大值爲()
?3x?y?5≥0?
A.10B.8C.3D.2
【答案】B
【解析】
畫出區域,可知區域爲三角形,經比較斜率,可知目標函數
z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(5,2)處,
取得最大值z=8.故選B.
10.設F爲拋物線C:y2?3x的焦點,過F且傾斜角爲30°的直線交C於A,B兩點,O爲座標原點,
則△OAB的面積爲()
A.B.
C.D.324【答案】D
【解析】
設點A、B分別在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,則由拋物線的定義和直角三角形知識可得,
33332m=2?+m,2n=2?-3n,解得m=(2+),n=(2-3),∴m+n=6.4422
139∴SΔOAB=??(m+n)=.故選D.244
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,
則BM與AN所成的角的餘弦值爲()
A.B.
C.
D.【答案】C
【解析】
如圖,分別以C1B1,C1A1,C1C爲X,Y,Z軸,建立座標系。令AC=BC=C1C=2,則
A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).∴=(-1,1,-2),=(0,-1,-2)。
cosθ=
0-1+4=.故選C.106f?x0???m2,則m的取值範12.設函數f?
x??.若存在f?x?的極值點x0滿足x02????m2
圍是()
A.???,?6???6,??B.???,?4???4,??C.???,?2???2,??
D.???,?1???4,??
【答案】C
【解析】
?f(x)=sinπx|m|的極值爲±3,即[f(x0)]2=3,|x0|,m222mm2∴x0+[f(x0)]2+3,∴+32.故選C.44
第Ⅱ卷
本捲包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題爲必考題,每個試題考生必須做答.第22題~第24題爲選考題,考生根據要求做答.
二.填空題
13.?x?a?的展開式中,x7的係數爲15,則a=________.(用數字填寫答案)10
1
【答案】2
【解析】
1137333?C10xa=15x7∴C10a=15,a=.故a=.22
14.函數f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值爲_________.
【答案】1
【解析】
?f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)?cosφ+cos(x+φ)?sinφ-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)?cosφ-cos(x+φ)?sinφ
=sinx≤1.∴最大值爲1.
15.已知偶函數f?x?在?0,???單調遞減,f?2??0.若f?x?1??0,則x的取值範圍是__________.
,-1)∪(3,+∞)【答案】(-∞
【解析】
?偶函數y=f(x)在[0,+∞)上單增,且f(2)=0
∴f(x)>0的解集爲|x|>2.
故解集爲|x-1|>2,解得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).
∴f(x-1)>0的解集爲|x-1|>2,解得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).