引導語：只要有勇氣，就一定能掌握自己的前途和命運。以下是本站小編分享給大家的八年級數學下學期期末考試試卷及答案解釋，歡迎閱讀!
一、選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分;在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填塗在答題卡上)
1.若分式 的值爲零，則x等於( )
A.﹣l B.1 C. D.0
2.下列根式中，與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.已知1
A.2x﹣5 B.﹣2 C.5﹣2x D.2
5.小明的講義夾裏放了大小相同的試卷共12頁，其中語文4頁、數學2頁、英語6頁，他隨機地從講義夾中抽出1頁，抽出的試卷恰好是數學試卷的概率爲( )
A. B. C. D.
6.在函數 (k爲常數)的圖象上有三個點(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，( ，y3)，函數值y1，y2，y3的大小爲( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
7.如圖，小正方形的邊長均爲1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
8.反比例函數的圖象如圖所示，則這個反比例函數的解析式可能是( )
A. B. C. D.
9.如圖，ABCD是正方形，G是BC上(除端點外)的任意一點，DE⊥AG於點E，BF∥DE，交AG於點F.下列結論不一定成立的是( )
A.△AED≌△BFA ﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE ﹣BG=FG
10.如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE摺疊後得到△GBE，延長BG交CD於F點，若CF=2，FD=4，則BC的長爲( )
A.6 B.2 C.4 D.4
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，請把答案直接填寫在答卷紙相應位置上)
11.在函數y= 中，自變量x的取值範圍是 .
12.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足爲D，AD=8，DB=2，則CD的長爲 .
13.某校九年級一班數學單元測試全班所有學生成績的頻數分佈直方圖如圖所示(滿分100分，學生成績取整數)，則成績在90.5～95.5這一分數段的頻率是 .
14.如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1，則BD= .
15.代數式a+2 ﹣ +3的值等於 .
16.已知a2+3ab+b2=0(a≠0，b≠0)，則代數式 + 的值等於 .
17.如圖，直線 與雙曲線 (k>0)在第一象限內的交點爲R，與x軸的交點爲P，與y軸的交點爲Q;作RM⊥x軸於點M，若△OPQ與△PRM的面積是4：1，則k等於 .
18.如圖所示，在△ABC中，BC=4，E、F分別是AB、AC上的點，且EF∥BC，動點P在射線EF上，BP交CE於點D，∠CBP的平分線交CE於Q，當CQ= CE時，EP+BP= .
三、解答題(本大題共9小題，共56分，請在答卷紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.計算：
(1) ﹣( )2﹣ +| ﹣2|
(2)( ﹣ )÷ .
20.解分式方程：
(1) =
(2) = ﹣1.
21.先化簡，再求值：(1﹣ )÷ ，其中a= ﹣1.
22.如圖，E，F是四邊形ABCD對角線AC上的兩點，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF.求證：
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四邊形ABCD是平行四邊形.
23.“保護環境，人人有責”，爲了瞭解某市的空氣質量情況，某校環保興趣小組，隨機抽取了2014年內該市若干天的空氣質量情況作爲樣本進行統計，繪製瞭如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖(部分信息未給出).
請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)補全條形統計圖;
(2)估計該市這一年空氣質量達到“優”和“良”的總天數;
(3)計算隨機選取這一年內某一天，空氣質量是“優”的概率.
24.如圖，在正方形網格中，四邊形TABC的頂點座標分別爲T(1，1)，A(2，3)，B(3，3)，C(4，2).
(1)以點T(1，1)爲位似中心，在位似中心的同側將四邊形TABC放大爲原來的2倍，放大後點A，B，C的對應點分別爲A′，B′，C′畫出四邊形TA′B′C′;
(2)寫出點A′，B′，C′的座標：
A′( )，B′( )，C′( );
(3)在(1)中，若D(a，b)爲線段AC上任一點，則變化後點D的對應點D′的座標爲( ).
25.如圖在平面直角座標系xOy中，反比例函數y1= (x>0)的圖象與一次函數y2=kx﹣k的圖象的交點爲A(m，2).
(1)求一次函數的解析式;
(2)觀察圖象，直接寫出使y1≥y2的x的取值範圍;
(3)設一次函數y=kx﹣k的圖象與y軸交於點B，若點P是x軸上一點，且滿足△PAB的面積是4，請寫出點P的座標.
26.小明用12元買軟面筆記本，小麗用21元買硬麪筆記本.
(1)已知每本硬麪筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買到相同數量的筆記本嗎?
(2)已知每本硬麪筆記本比軟面筆記本貴a元，是否存在正整數a，使得每本硬麪筆記本、軟面筆記本的價格都是正整數，並且小明和小麗能買到相同數量的筆記本?若存在，求出a的值;若不存在，請說明理由.
27.如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的座標分別爲A(﹣3，0)，C(1，0)，BC= AC.
(1)求過點A，B的直線的函數表達式;
(2)在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似(不包括全等)，並求點D的座標;
(3)在(2)的條件下，若P、Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，若△APQ與△ADB相似，求出m的值.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分;在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填塗在答題卡上)
1.若分式 的值爲零，則x等於( )
A.﹣l B.1 C. D.0
【考點】分式的值爲零的條件.
【分析】根據分式值爲零的條件可得x+1=0，且3x﹣2≠0，再解即可.
【解答】解：由題意得：x+1=0，且3x﹣2≠0，
解得：x=﹣1，
故選：A.
2.下列根式中，與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
【考點】同類二次根式.
【分析】運用化簡根式的方法化簡每個選項.
【解答】解：A、 =2 ，故A選項不是;
B、 =2 ，故B選項是;
C、 = ，故C選項不是;
D、 =3 ，故D選項不是.
故選：B.
3.下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解.
【解答】解：由中心對稱圖形的定義知，繞一個點旋轉180°後能與原圖重合，只有選項B是中心對稱圖形.
故選：B.
4.已知1
A.2x﹣5 B.﹣2 C.5﹣2x D.2
【考點】二次根式的性質與化簡.
【分析】首先根據x的範圍確定x﹣3與x﹣2的符號，然後即可化簡二次根式，然後合併同類項即可.
【解答】解：∵1
∴x﹣3<0，x﹣2≤0，
∴原式=3﹣x+(2﹣x)=5﹣2x.
故選C.
5.小明的講義夾裏放了大小相同的試卷共12頁，其中語文4頁、數學2頁、英語6頁，他隨機地從講義夾中抽出1頁，抽出的試卷恰好是數學試卷的概率爲( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：
①符合條件的情況數目;
②全部情況的總數.
二者的比值就是其發生的概率的大小.
【解答】解：∵小明的講義夾裏放了大小相同的試卷共12頁，數學2頁，
∴他隨機地從講義夾中抽出1頁，抽出的試卷恰好是數學試卷的概率爲 = .
故選C.
6.在函數 (k爲常數)的圖象上有三個點(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，( ，y3)，函數值y1，y2，y3的大小爲( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
【考點】反比例函數圖象上點的座標特徵.
【分析】先判斷出﹣k2﹣2<0的符號，再根據反比例函數的性質進行比較.
【解答】解：∵﹣k2﹣2<0，
∴函數圖象位於二、四象限，
∵(﹣2，y1)，(﹣1，y2)位於第二象限，﹣2<﹣1，
∴y2>y1>0;
又∵( ，y3)位於第四象限，
∴y3<0，
∴y2>y1>y3.
故選B.
7.如圖，小正方形的邊長均爲1，則下列圖中的'三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【分析】根據網格中的數據求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解：根據題意得：AB= = ，AC= ，BC=2，
∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，
A、三邊之比爲1： ：2 ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
B、三邊之比爲 ： ：3，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似;
C、三邊之比爲1： ： ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似;
D、三邊之比爲2： ： ，圖中的三角形(陰影部分)與△ABC不相似.
故選C.
8.反比例函數的圖象如圖所示，則這個反比例函數的解析式可能是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數的圖象.
【分析】首先設出函數關係式，根據圖象可以計算出k的取值範圍，再根據k的取值範圍選出答案即可.
【解答】解：設函數關係式爲y= (k≠0)，
當函數圖象經過A(1，2)時，
k=1×2=2，
當函數圖象經過B(﹣2，﹣2)時，
k=(﹣2)×(﹣2)=4，
由圖象可知要求的函數解析式的k的取值範圍必是：2
故選：C.
9.如圖，ABCD是正方形，G是BC上(除端點外)的任意一點，DE⊥AG於點E，BF∥DE，交AG於點F.下列結論不一定成立的是( )
A.△AED≌△BFA ﹣BF=EF C.△BGF∽△DAE ﹣BG=FG
【考點】相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【分析】由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由DE⊥AG，BF∥DE，易證得BF⊥AG，又由同角的餘角相等，可證得∠BAF=∠ADE，則可利用AAS判定△AED≌△BFA;由全等三角形的對應邊相等，易證得DE﹣BF=EF;有兩角對應相等的三角形相似，可證得△BGF∽△DAE;利用排除法即可求得答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AD∥BC，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△AED≌△BFA(AAS);故A正確;
∴DE=AF，AE=BF，
∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF，故B正確;
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BGF，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠GFB=90°，
∴△BGF∽△DAE，故C正確;
∵DE，BG，FG沒有等量關係，
故不能判定DE﹣BG=FG正確.
故選D.
10.如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE摺疊後得到△GBE，延長BG交CD於F點，若CF=2，FD=4，則BC的長爲( )
A.6 B.2 C.4 D.4
【考點】翻折變換(摺疊問題);矩形的性質.
【分析】首先過點E作EM⊥BC於M，交BF於N，易證得△ENG≌△BNM(AAS)，MN是△BCF的中位線，根據全等三角形的性質，即可求得GN=MN，由摺疊的性質，可得BG=6，繼而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的長.
【解答】解：過點E作EM⊥BC於M，交BF於N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四邊形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由摺疊的性質得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
在△ENG與△BNM中，
，
∴△ENG≌△BNM(AAS)，
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中點，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM= CF=1，
∴NG=1，
∵BG=AB=CD=CF+DF=6，
∴BN=BG﹣NG=6﹣1=5，
∴BF=2BN=10，
∴BC= = =4 .
故選D.
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分，請把答案直接填寫在答卷紙相應位置上)
11.在函數y= 中，自變量x的取值範圍是 x≥1 .
【考點】函數自變量的取值範圍.
【分析】因爲當函數表達式是二次根式時，被開方數爲非負數，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的範圍.
【解答】解：根據題意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1.
故答案爲：x≥1.
12.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足爲D，AD=8，DB=2，則CD的長爲 4 .
【考點】射影定理.
【分析】根據射影定理得到：CD2=AD•BD，把相關線段的長度代入計算即可.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足爲D，AD=8，DB=2，
∴CD2=AD•BD=8×2，
則CD=4.
故答案是：4.
13.某校九年級一班數學單元測試全班所有學生成績的頻數分佈直方圖如圖所示(滿分100分，學生成績取整數)，則成績在90.5～95.5這一分數段的頻率是 0.4 .
【考點】頻數(率)分佈直方圖.
【分析】由每一組內的頻數總和等於總數據個數得到學生總數，再由頻率=頻數÷數據總和計算出成績在90.5～95.5這一分數段的頻率.
【解答】解：讀圖可知：共有(1+4+10+15+20)=50人，其中在90.5～95.5這一分數段有20人，
則成績在90.5～95.5這一分數段的頻率是 =0.4.
故本題答案爲：0.4.
14.如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，EF=1，則BD= 2 .
【考點】三角形中位線定理.
【分析】由題意可知EF是△ADC的中位線，由此可求出AD的長，再根據中線的定義即可求出BD的長.
【解答】解：∵點E、F分別是AC、DC的中點，
∴EF是△ADC的中位線，
∴EF= AD，
∵EF=1，
∴AD=2，
∵CD是△ABC的中線，
∴BD=AD=2，
故答案爲：2.
15.代數式a+2 ﹣ +3的值等於 4 .
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據二次根式的意義先求出a的值，再對式子化簡.
【解答】解：根據二次根式的意義，可知 ，
解得a=1，
∴a+2 ﹣ +3=1+3=4.
16.已知a2+3ab+b2=0(a≠0，b≠0)，則代數式 + 的值等於 ﹣3 .
【考點】分式的化簡求值.
【分析】將a2+3ab+b2=0轉化爲a2+b2=﹣3ab，原式化爲 = ，約分即可.
【解答】解：∵a2+3ab+b2=0，
∴a2+b2=﹣3ab，
∴原式= = =﹣3.
故答案爲：﹣3.
17.如圖，直線 與雙曲線 (k>0)在第一象限內的交點爲R，與x軸的交點爲P，與y軸的交點爲Q;作RM⊥x軸於點M，若△OPQ與△PRM的面積是4：1，則k等於 .
【考點】反比例函數綜合題.
【分析】先求出Q的座標爲(0，﹣2)，P點座標爲( ，0)，易證Rt△OQP∽Rt△MRP，根據三角形相似的性質得到 = = ，分別求出PM、RM，得到OM的長，從而確定R點座標，然後代入 (k>0)求出k的值.
【解答】解：對於y= x﹣2，
令x=0，則y=﹣2，
∴Q的座標爲(0，﹣2)，即OQ=2;
令y=0，則x= ，
∴P點座標爲( ，0)，即OP= ;
∵Rt△OQP∽Rt△MRP，
而△OPQ與△PRM的面積是4：1，
∴ = = ，
∴PM= OP= ，RM= OQ=1，
∴OM=OP+PM= ，
∴R點的座標爲( ，1)，
∴k= ×1= .
故答案爲 .
18.如圖所示，在△ABC中，BC=4，E、F分別是AB、AC上的點，且EF∥BC，動點P在射線EF上，BP交CE於點D，∠CBP的平分線交CE於Q，當CQ= CE時，EP+BP= 8 .
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線於G.首先證明PB=PG，EP+PB=EG，由EG∥BC，推出 = =2，即可求出EG解決問題.
【解答】解：如圖，延長EF交BQ的延長線於G.
∵EG∥BC，
∴∠G=∠GBC，
∵∠GBC=∠GBP，
∴∠G=∠PBG，
∴PB=PG，
∴PE+PB=PE+PG=EG，
∵CQ= EC，
∴EQ=2CQ，
∵EG∥BC，
∴ = =2，∵BC=4，
∴EG=8，
∴EP+PB=EG=8，
故答案爲8
三、解答題(本大題共9小題，共56分，請在答卷紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.計算：
(1) ﹣( )2﹣ +| ﹣2|
(2)( ﹣ )÷ .
【考點】二次根式的混合運算;分式的混合運算.
【分析】(1))原式各項化爲 ﹣3﹣3 +2﹣ ，合併同類二次根式即可得到結果.
(2)先計算括號裏面的分式的減法，再分式的除法的方法計算.
【解答】(1)解：(1)原式= ﹣3﹣3 +2﹣
=﹣1﹣3 ;
(2)原式= ﹣
= .
20.解分式方程：
(1) =
(2) = ﹣1.
【考點】解分式方程.
【分析】兩分式方程去分母轉化爲整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.
【解答】解：(1)去分母，得x+2=3，
解得：x=1
經檢驗，x=1是增根，原方程無解;
(2)去分母，得3(5x﹣4)=﹣(4x+10)﹣3(x﹣2)，
解得：x= ，
經檢驗，x= 是原方程的解.
21.先化簡，再求值：(1﹣ )÷ ，其中a= ﹣1.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】先根據整式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可.
【解答】解：原式= ÷
= ×
=a+1.
當a= ﹣1時，原式= ﹣1+1= .
22.如圖，E，F是四邊形ABCD對角線AC上的兩點，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF.求證：
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四邊形ABCD是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的判定;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)根據全等三角形的判定定理ASA證得△AFD≌△CEB;
(2)利用(1)中的全等三角形的對應邊相等得到AD=CB，則由“有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”證得結論.
【解答】證明：(1)如圖，∵AD∥BC，DF∥BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.
在△AFD與△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB(ASA);
(2)由(1)知，△AFD≌△CEB，則AD=CB.
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
23.“保護環境，人人有責”，爲了瞭解某市的空氣質量情況，某校環保興趣小組，隨機抽取了2014年內該市若干天的空氣質量情況作爲樣本進行統計，繪製瞭如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖(部分信息未給出).
請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)補全條形統計圖;
(2)估計該市這一年空氣質量達到“優”和“良”的總天數;
(3)計算隨機選取這一年內某一天，空氣質量是“優”的概率.
【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖;概率公式.
【分析】(1)根據良的天數除以良的天數所佔的百分比，可得樣本容量，根據樣本容量乘以輕微污染所佔的百分比求出輕微污染的天數，可得答案;
(2)根據一年的時間乘以優良所佔的百分比，可得答案;
(3)根據根據一年中優的天數比上一年的天數，可得答案.
【解答】解：(1)樣本容量3÷5%=60，
60﹣12﹣36﹣3﹣2﹣1=6，
條形統計圖如圖：
(2)這一年空氣質量達到“優”和“良”的總天數爲：
365× =292;
(3)隨機選取這一年內某一天，空氣質量是“優”的概率爲： = .
24.如圖，在正方形網格中，四邊形TABC的頂點座標分別爲T(1，1)，A(2，3)，B(3，3)，C(4，2).
(1)以點T(1，1)爲位似中心，在位似中心的同側將四邊形TABC放大爲原來的2倍，放大後點A，B，C的對應點分別爲A′，B′，C′畫出四邊形TA′B′C′;
(2)寫出點A′，B′，C′的座標：
A′( 3，5 )，B′( 5，5 )，C′( 7，3 );
(3)在(1)中，若D(a，b)爲線段AC上任一點，則變化後點D的對應點D′的座標爲( 2a﹣1，2b﹣1 ).
【考點】作圖﹣位似變換.
【分析】(1)利用位似圖形的性質得出變化後圖形即可;
(2)利用已知圖形得出對應點座標;
(3)利用各點變化規律，進而得出答案.
【解答】解：(1)如圖所示：四邊形TA′B′C′即爲所求;
(2)A′(3，5)，B′(5，5)，C′(7，3);
故答案爲：(3，5)，(5，5)，(7，3);
(3)在(1)中，∵A(2，3)，B(3，3)，C(4，2)，
A′(2×2﹣1=3，2×3﹣1=5)，B′(2×3﹣1=5，2×3﹣1=5)，C′(2×4﹣1=7，2×2﹣1=3);
∴D(a，b)爲線段AC上任一點，
則變化後點D的對應點D′的座標爲(2a﹣1，2b﹣1).
故答案爲：(2a﹣1，2b﹣1).
25.如圖在平面直角座標系xOy中，反比例函數y1= (x>0)的圖象與一次函數y2=kx﹣k的圖象的交點爲A(m，2).
(1)求一次函數的解析式;
(2)觀察圖象，直接寫出使y1≥y2的x的取值範圍;
(3)設一次函數y=kx﹣k的圖象與y軸交於點B，若點P是x軸上一點，且滿足△PAB的面積是4，請寫出點P的座標.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)將A點座標代入代入y= (x>0)，求出m的值爲2，再將(2，2)代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函數的解析式;
(2)根據圖象即可求得;
(3)將三角形以x軸爲分界線，分爲兩個三角形計算，再把它們相加.
【解答】解：(1)將A(m，2)代入y= (x>0)得，m=2，
則A點座標爲A(2，2)，
將A(2，2)代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，解得k=2，
則一次函數解析式爲y=2x﹣2;
(2)∵A(2，2)，
∴當0
(3)∵一次函數y=2x﹣2與x軸的交點爲C(1，0)，與y軸的交點爲B(0，﹣2)，
S△ABP=S△ACP+S△BPC，
∴ ×2CP+ ×2CP=4，解得CP=2，
則P點座標爲(3，0)，(﹣1，0).
26.小明用12元買軟面筆記本，小麗用21元買硬麪筆記本.
(1)已知每本硬麪筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買到相同數量的筆記本嗎?
(2)已知每本硬麪筆記本比軟面筆記本貴a元，是否存在正整數a，使得每本硬麪筆記本、軟面筆記本的價格都是正整數，並且小明和小麗能買到相同數量的筆記本?若存在，求出a的值;若不存在，請說明理由.
【考點】分式方程的應用.
【分析】(1)設每本軟面筆記本x元，則每本硬麪筆記本(x+1.2)元，根據小明和小麗能買到相同數量的筆記本建立方程求出其解就可以得出結論;
(2)設每本軟面筆記本m元(1≤m≤12的整數)，則每本硬麪筆記本(m+a)元，根據小明和小麗能買到相同數量的筆記本建立方程就可以得出m與a的關係，就可以求出結論.
【解答】解：(1))設每本軟面筆記本x元，則每本硬麪筆記本(x+1.2)元，由題意，得
，
解得：x=1.6.
此時 =7.5(不符合題意)，
所以，小明和小麗不能買到相同數量的筆記本;
(2)設每本軟面筆記本m元(1≤m≤12的整數)，則每本硬麪筆記本(m+a)元，由題意，得
，
解得：a= m，
∵a爲正整數，
∴m=4，8，12.
∴a=3，6，9.
當 時， (不符合題意)
∴a的值爲3或9.
27.如圖，在平面直角座標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的座標分別爲A(﹣3，0)，C(1，0)，BC= AC.
(1)求過點A，B的直線的函數表達式;
(2)在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似(不包括全等)，並求點D的座標;
(3)在(2)的條件下，若P、Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，若△APQ與△ADB相似，求出m的值.
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)根據點A、C的座標求出AC的長，根據題意求出點B的座標，利用待定係數法求出過點A，B的直線的函數表達式;
(2)過點B作BD⊥AB，交x軸於點D，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可;
(3)分PQ∥BD時和PQ⊥AD時兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.
【解答】解：(1)∵點A(﹣3，0)，C(1，0)，
∴AC=4，又BC= AC，
∴BC=3，
∴B點座標爲(1，3)，
設過點A，B的直線的函數表達式爲：y=kx+b，
則 ，
解得， ，
∴直線AB的函數表達式爲：y= x+ ;
(2)如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸於點D，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，
∴△ADB∽△ABC，
∴D點爲所求，
∵△ADB∽△ABC，
∴ ，即 = ，
解得，CD= ，
∴ ，
∴點D的座標爲( ，0);
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= =5，
如圖2，當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，
則 = ，
解得，m= ，
如圖3，當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，
則 = ，
解得，m= ，
所以若△APQ與△ADB相似時，m= 或 .
