1、和差倍問題：
和差問題和倍問題差倍問題
已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數
公式適用範圍已知兩個數的和，差，倍數關係
公式①(和-差)2=較小數
較小數+差=較大數
和-較小數=較大數
②(和+差)2=較大數
較大數-差=較小數
和-較大數=較小數和(倍數+1)=小數
小數倍數=大數
和-小數=大數差(倍數-1)=小數
小數倍數=大數
小數+差=大數
關鍵問題求出同一條件下的
和與差和與倍數差與倍數
2、年齡問題的三個基本特徵：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
3、歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個單一量，題目一般用照這樣的速度等詞語來表示。
關鍵問題：
根據題目中的條件確定並求出單一量；
4、植樹問題：
基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹
基本公式棵數=段數+1
棵距段數=總長棵數=段數-1
棵距段數=總長棵數=段數
棵距段數=總長
關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關係
5、雞兔同籠問題：
基本概念：
雞兔同籠問題又稱爲置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
①假設，即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣)：
②假設後，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；
④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數=(兔腳數總頭數-總腳數)(兔腳數-雞腳數)
②把所有兔子假設成雞：兔數=(總腳數一雞腳數總頭數)(兔腳數一雞腳數)
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6、盈虧問題：
基本概念：
一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由於分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關係求對象分組的組數或對象的總量。
基本思路：
先將兩種分配方案進行比較，分析由於標準的差異造成結果的變化，根據這個關係求出參加分配的總份數，然後根據題意求出對象的總量。
基本題型：
①一次有餘數，另一次不足；
基本公式：總份數=(餘數+不足數)兩次每份數的差
②當兩次都有餘數；
基本公式：總份數=(較大餘數一較小余數)兩次每份數的差
③當兩次都不足；
基本公式：總份數=(較大不足數一較小不足數)兩次每份數的差
基本特點：
對象總量和總的組數是不變的。
關鍵問題：
確定對象總量和總的組數。
7、牛吃草問題：
基本思路：
假設每頭牛吃草的速度爲1份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：
原草量和新草生長速度是不變的；
關鍵問題：
確定兩個不變的量。
基本公式：
生長量=(較長時間長時間牛頭數-較短時間短時間牛頭數)(長時間-短時間)；
總草量=較長時間長時間牛頭數-較長時間生長量；
8、週期循環與數表規律：
週期現象：
事物在運動變化的過程中，某些特徵有規律循環出現。
週期：
我們把連續兩次出現所經過的時間叫週期。
關鍵問題：
確定循環週期。
閏年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9、平均數：
基本公式：
①平均數=總數量總份數
總數量=平均數總份數
總份數=總數量平均數
②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和總份數
基本算法：
①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.
②基準數法：根據給出的數之間的關係，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數爲基準數；以基準數爲標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最後求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關係見基本公式②
10、抽屜原理：
抽屜原則一：
如果把(n+1)個物體放在n個抽屜裏，那麼必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜裏，也就是把4分解成三個整數的和，那麼就有以下四種情況：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
觀察上面四种放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那麼一個抽屜裏有2個或多於2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：
如果把n個物體放在m個抽屜裏，其中nm，那麼必有一個抽屜至少有：
①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體：當n能被m整除時。
理解知識點：
[X]表示不超過X的最大整數。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
關鍵問題：
構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而後依據抽屜原則進行運算。
11、定義新運算：
基本概念：
定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路：
嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化爲加減乘除的運算，然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：
正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：
①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
12、數列求和：
等差數列：
在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。
基本概念：
首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；
項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；
公差：數列中任意相鄰兩個數的.差，一般用d表示；
通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；
數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.
基本思路：
等差數列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：
通項公式：an=a1+(n-1)d；
通項=首項+(項數一1)公差；
數列和公式：sn，=(a1+an)n2；
數列和=(首項+末項)項數2；
項數公式：n=(an+a1)d+1；
項數=(末項-首項)公差+1；
公差公式：d=(an-a1))(n-1)；
公差=(末項-首項)(項數-1)；
關鍵問題：
確定已知量和未知量，確定使用的公式；
13、二進制及其應用：
十進制：
用0～9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7++A3102+A2101+A1100
注意：N0=1；N1=N(其中N是任意自然數)
二進制：
用0～1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。
(2)=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
++A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十進制化成二進制：
①根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商爲0，然後把每次所得的餘數按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大於該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大於這個差的2的n次方，依此方法一直找到差爲0，按照二進制展開式特點即可寫出。
14、加法乘法原理和幾何計數：
加法原理：
如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那麼完成這件任務共有：m1+m2.......+mn種不同的方法。
關鍵問題：
確定工作的分類方法。
基本特徵：
每一種方法都可完成任務。
乘法原理：
如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那麼完成這件任務共有：種不同的方法。
關鍵問題：
確定工作的完成步驟。
基本特徵：
每一步只能完成任務的一部分。
直線：
一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
直線特點：
沒有端點，沒有長度。
線段：
直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點：
有兩個端點，有長度。
射線：
把直線的一端無限延長。
射線特點：
只有一個端點；沒有長度。
①數線段規律：總數=1+2+3++(點數一1)；
②數角規律=1+2+3++(射線數一1)；
③數長方形規律：個數=長的線段數寬的線段數：
④數長方形規律：個數=11+22+33++行數列數
15、質數與合數：
質數：
一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。
合數：
一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。
質因數：
如果某個質數是某個數的約數，那麼這個質數叫做這個數的質因數。
分解質因數：
把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。
分解質因數的標準表示形式：
N=，其中a1、a2、a3an都是合數N的質因數，且a1
16、約數與倍數：
約數和倍數：
若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
公約數：
幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質：
1、幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。
2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以m。
例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；
18的約數有：1、2、3、6、9、18；
那麼12和18的公約數有：1、2、3、6；
那麼12和18最大的公約數是：6，記作(12，18)=6；
求最大公約數基本方法：
1、分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來。
2、短除法：先找公有的約數，然後相乘。
3、輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數。
公倍數：
幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有：12、24、36、48；
18的倍數有：18、36、54、72；
那麼12和18的公倍數有：36、72、108；
那麼12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；
最小公倍數的性質：
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法
17、數的整除：
基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號|，不能整除符號；因爲符號∵，所以的符號；
整除判斷方法：
1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
整除的性質：
1.如果a、b能被c整除，那麼(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
18、餘數及其應用：
基本概念：
對任意自然數a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0
24、比和比例：
比：
兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號後面的數叫比的後項。
比值：
比的前項除以後項的商，叫做比值。
比的性質：
比的前項和後項同時乘以或除以相同的數(零除外)，比值不變。
比例：
表示兩個比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或
比例的性質：
兩個外項積等於兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：
若A擴大或縮小几倍，B也擴大或縮小几倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。
反比例：
若A擴大或縮小几倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。
比例尺：
圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：
把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
25、綜合行程：
基本概念：
行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關係.
基本公式：
路程=速度時間；路程時間=速度；路程速度=時間
關鍵問題：
確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)
追及問題：追及時間=路程差速度差(寫出其他公式)
流水問題：順水行程=(船速+水速)順水時間
逆水行程=(船速-水速)逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順水速度+逆水速度)2
水速=(順水速度-逆水速度)2
流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。
過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：
已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量，求第三個量。
26、工程問題：
基本公式：
①工作總量=工作效率工作時間
②工作效率=工作總量工作時間
③工作時間=工作總量工作效率
基本思路：
①假設工作總量爲1(和總工作量無關)；
②假設一個方便的數爲工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數)，利用上述三個基本關係，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題：
確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關係。
27、邏輯推理：
條件分析假設法：
假設可能情況中的一種成立，然後按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那麼與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那麼a一定是奇數。
條件分析列表法：
當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。
條件分析圖表法：
當兩個對象之間只有兩種關係時，就可用連線表示兩個對象之間的關係，有連線則表示是，有等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。
邏輯計算：
在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果爲推理提供一個新的判斷篩選條件。
簡單歸納與推理：
根據題目提供的特徵和數據，分析其中存在的規律和方法，並從特殊情況推廣到一般情況，並遞推出相關的關係式，從而得到問題的解決。
28、幾何面積：
基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變爲規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
常用方法：
1.連輔助線方法
2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。
3.大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上)。
4.利用特殊規律
①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等於等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線後，兩腰部分面積相等。
③圓的面積佔外接正方形面積的78.5%。
29、時鐘問題快慢表問題：
基本思路：
1、按照行程問題中的思維方法解題；
2、不同的表當成速度不同的運動物體；
3、路程的單位是分格(表一週爲60分格)；
4、時間是標準表所經過的時間；
5、合理利用行程問題中的比例關係；
30、時鐘問題鐘面追及：
基本思路：
封閉曲線上的追及問題。
關鍵問題：
①確定分針與時針的初始位置；
②確定分針與時針的路程差；
基本方法：
①分格方法：
時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱爲1分格。分針每小時走60分格，即一週；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。
②度數方法：
從角度觀點看，鐘面圓周一週是360，分針每分鐘轉360/60度，即6，時針每分鐘轉360/12X60度，即1/2度。
31、濃度與配比：
經驗總結：
在配比的過程中存在這樣的一個反比例關係，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
溶質：溶解在其它物質裏的物質(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質。
溶劑：溶解其它物質的物質(例如水、汽油等)叫溶劑。
溶液：溶質和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶質重量+溶劑重量；
溶質重量=溶液重量濃度；
濃度=溶質/溶液100%=溶質/(溶劑+溶質)100%
經驗總結：
在配比的過程中存在這樣的一個反比例關係，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。
32、經濟問題：
利潤的百分數=(賣價-成本)成本100%；
賣價=成本(1+利潤的百分數)；
成本=賣價(1+利潤的百分數)；
商品的定價按照期望的利潤來確定；
定價=成本(1+期望利潤的百分數)；
本金：儲蓄的金額；
利率：利息和本金的比；
利息=本金利率期數；
含稅價格=不含稅價格(1+增值稅稅率)；
33、不定方程：
一次不定方程：
含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由於它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；
常規方法：
觀察法、試驗法、枚舉法；
多元不定方程：
含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法：
根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；
涉及知識點：
列方程、數的整除、大小比較；
解不定方程的步驟：
1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定範圍；5、確定特徵；6、確定答案；
技巧總結：
A、寫出表達式的技巧：用特徵不明顯的未知數表示特徵明顯的未知數，同時考慮用範圍小的未知數表示範圍大的未知數；
B、消元技巧：消掉範圍大的未知數；
34、循環小數：
把循環小數的小數部分化成分數的規則：
①純循環小數小數部分化成分數：將一個循環節的數字組成的數作爲分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，最後能約分的再約分。
②混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。
分數轉化成循環小數的判斷方法：
①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，那麼這個分數化成的小數必定是混循環小數。
②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那麼這個分數化成的小數必定是純循環小數。
