一、教學目的
1.掌握正方形的概念、性質和判定,並會用它們進行有關的論證和計算.
2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯繫和區別,通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯繫的教學對學生進行辯證唯物主義教育,提高學生的邏輯思維能力.
二、重點、難點
1.教學重點:正方形的定義及正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯繫.
2.教學難點:正方形與矩形、菱形的關係及正方形性質與判定的靈活運用.
三、例題的意圖分析
本節課安排了三個例題,例1是教材P111的例4,例2與例3都是補充的題目.其中例1與例2是正方形性質的應用,在講解時,應注意引導學生能正確的運用其性質.例3是正方形判定的應用,它是先判定一個四邊形是矩形,再證明一組鄰邊,從而可以判定這個四邊形是正方形.隨後可以再做一組判斷題,進行練習鞏固(參看隨堂練習1),爲了活躍學生的思維,也可以將判斷題改爲下列問題讓學生思考:
①對角線相等的菱形是正方形嗎?爲什麼?
②對角線互相垂直的矩形是正方形嗎?爲什麼?
③對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎?爲什麼?如果不是,應該加上什麼條件?
④能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎?爲什麼?
⑤說“四個角相等的.四邊形是正方形”對嗎?
四、課堂引入
1.做一做:用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形.
學生在動手做中對正方形產生感性認識,並感知正方形與矩形的關係.問題:什麼樣的四邊形是正方形?
正方形定義:有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
指出:正方形是在平行四邊形這個大前提下定義的,其定義包括了兩層意:
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形 (菱形)
(2)有一個角是直角的平行四邊形 (矩形)
2.【問題】正方形有什麼性質?
由正方形的定義可以得知,正方形既是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一個角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性質,同時又具有菱形的性質.
五、例習題分析
例1(教材P111的例4) 求證:正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
已知:四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交於點O(如圖).
求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
證明:∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ AC=BD, AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分).
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
並且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 (補充)已知:如圖,正方形ABCD中,對角線的交點爲O,E是OB上的一點,DG⊥AE於G,DG交OA於F.
求證:OE=OF.
分析:要證明OE=OF,只需證明△AEO≌△DFO,由於正方形的對角線垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的餘角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根據ASA可以得到這兩個三角形全等,故結論可得.
證明:∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ ∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的對角線垂直平分且相等).
又 DG⊥AE, ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴ ∠EAO=∠FDO.
∴ △AEO ≌△DFO.
∴ OE=OF.
例3 (補充)已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,分別過點A、C兩點作l1∥l2,作BM⊥l1於M,DN⊥l1於N,直線MB、DN分別交l2於Q、P點.
求證:四邊形PQMN是正方形.
分析:由已知可以證出四邊形PQMN是矩形,再證△ABM≌△DAN,證出AM=DN,用同樣的方法證AN=DP.即可證出MN=NP.從而得出結論.
證明:∵ PN⊥l1,QM⊥l1,
∴ PN∥QM,∠PNM=90°.
∵ PQ∥NM,
∴ 四邊形PQMN是矩形.
∵ 四邊形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四條邊都相等,四個角都是直角).
∴ ∠1+∠2=90°.
又 ∠3+∠2=90°, ∴ ∠1=∠3.
∴ △ABM≌△DAN.
∴ AM=DN. 同理 AN=DP.
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN.
∴ 四邊形PQMN是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形).
六、隨堂練習
1.正方形的四條邊____ __,四個角___ ____,兩條對角線____ ____.
2.下列說法是否正確,並說明理由.
①對角線相等的菱形是正方形;( )
②對角線互相垂直的矩形是正方形;( )
③對角線垂直且相等的四邊形是正方形;( )
④四條邊都相等的四邊形是正方形;( )
⑤四個角相等的四邊形是正方形.( )
1. 已知:如圖,四邊形ABCD爲正方形,E、F分別
爲CD、CB延長線上的點,且DE=BF.
求證:∠AFE=∠AEF.
4.如圖,E爲正方形ABCD內一點,且△EBC是等邊三角形,
求∠EAD與∠ECD的度數.
七、課後練習
1.已知:如圖,點E是正方形ABCD的邊CD上一點,點F是CB的延長線上一點,且DE=BF.
求證:EA⊥AF.
2.已知:如圖,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC於E,DF⊥AC於F.求證:四邊形CFDE是正方形.
3.已知:如圖,正方形ABCD中,E爲BC上一點,AF平分∠DAE交CD於F,求證:AE=BE+DF.