知識是人們在改造世界的實踐中所獲得的認識和經驗的總和，它是人類文化的核心內容。在數學學科中，概念、法則、性質、公式、公理、定理等顯然屬於知識的範圍。這些知識要素也都有其本身的內容。問題是，這豐富多彩的內容反映了哪些共同的、帶有本質性的東西?實踐和研究都已說明：這就是數學思想和數學方法。它們是知識中奠基性的成分，是人們爲獲得概念、法則、性質、公式、公理、定理等所必不可少的(請注意這裏的“法則”中還含有“法”字)。它們是人類文化的重要組成部分之一棗數學文化的核心內容即知識中的核心，也就是數學文化的“重中之重”。因此，把思想、方法歸屬於知識的範圍，比起把知識、技能和方法三者並列起來更爲科學。
能力是指主體能勝任某項任務的主觀條件。在數學學習中，學生的數學能力與他們的知識基礎和心理特徵有關。技能是指依據一定的規則和程序去完成專門任務(解決特定的問題)的能力。顯然，技能和能力都與知識密不可分；但學生在任務(問題)面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成任務(解決問題)達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動。因此，把知識、技能和能力三者並列起來是合理的；但也應看清楚，這三者的順序是由低到高，在教育、教學的意義下是後者更重於前者。
一、歷史的回顧?
我國的中學數學教學大綱，對於數學思想和數學方法的重要性的認識也有一個從低到高的過程。? 由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1986年12月第1版的《全日制中學數學教學大綱》，在第2頁“教學內容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關文字改成一句話：“適當滲透集合、對應等數學思想”。1990年修訂此大綱時，維持了這一規定。? 由國家教育委員會基礎教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級中學數學教學大綱(供試驗用)》，在第2頁“教學目的”中也規定：“高中數學的基礎知識是指：高中數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法。”在界定“思維能力”一詞的四個主要層面時，指出第三層面是“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”；第四層面是“能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關係，形成良好的思維品質”。這份大綱維持了數學的“內容、思想、方法和語言已成爲現代文化的重要組成部分”的提法(第1頁)；並指出數學規律“包括公理、性質、法則、公式、定理及其聯繫，數學思想、方法和語言”(第24頁)；堅持在對解題進行指導時，應該“對解題的思想方法作必要的概括”(第25頁)。這是建國以來對數學思想和數學方法關注最多的一份中學數學教學大綱，充分體現了數學教育工作者對於數學課程發展的一些共識。?
二、數學思想方法?
(一)思想、科學思想和數學思想
思想是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反覆提煉和實踐，如果一再被證明爲正確，就可以反覆被應用到新的思維活動中，併產生出新的結果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產物。因此，對於學習者來說，思想就成爲他們進行思維活動的細胞和基礎；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動的載體。每門科學都逐漸形成了它自己的思想，而科學法則概括出各門科學共同遵循和運用的一些科學思想。?
所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關係反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。首先，數學思想比一般說的數學概念具有更高的抽象和概括水平，後者比前者更具體、更豐富，而前者比後者更本質、更深刻。其次，數學思想、數學觀點、數學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度並運用數學去觀察和思考問題，那麼數學思想也就成了一種觀點。而對於數學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段。中學數學中出現的數學觀點(例如方程觀點、函數觀點、統計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數學方法，都體現着一定的數學思想。?
數學思想是一類科學思想，但科學思想未必就單單是數學思想。例如，分類思想是各門科學都要運用的思想(比方語文分爲文學、語言和寫作，外語分爲聽、說、讀、寫和譯，物理學分爲力學、熱學、聲學、電學、光學和原子核物理學，化學分爲無機化學和有機化學，生物學分爲植物學、動物學和人類學等；中學生見到的最漂亮的分類應該是在學習哺乳綱動物時所出現的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數學給予的。只有將分類思想應用於空間形式和數量關係時，才能成爲數學思想。如果用一個詞語“邏輯劃分”作爲標準，那麼，當該邏輯劃分與數理有關時(可稱之爲“數理邏輯劃分”)，可以說是運用數學思想；當該邏輯劃分與數理無直接關係時(例如把社會中的各行各業分爲工、農、兵、學、商等)，不應該說是運用數學思想。同樣地，當且僅當哲學思想(例如一分爲二的思想、量質互變的思想和肯定否定的思想)在數學中予以大量運用並且被“數學化”了時，它們也可以稱之爲數學思想。?
(二)數學思想中的基本數學思想
在數學思想中，有一類思想是體現或應該體現於基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之爲基本數學思想。基本數學思想含有傳統數學思想的精華和近現代數學思想的基本特徵，並且也是歷史地形成和發展着的。?
基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合的思想，化歸的思想，對立統一的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想(或說無限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”棗對應思想和公理化與結構思想。有些基本數學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數與方程的思想”衍生於符號與變元表示的思想(函數式或方程式)、集合思想(函數的定義域或方程中字母的取值範圍)和對應思想(函數的對應法則或方程中已知數、未知數的值的對應關係)。所以我們說基本數學思想是體現或應該體現於“基礎數學”(而不是說“初等數學”)的具有奠基性和總結性的思維成果。基本數學思想及其衍生的數學思想，形成了一個結構性很強的網絡。中學數學教育、教學中傳授的數學思想，應該都是基本數學思想。?
非科學思想當然也是大量存在的。例如，“崇洋”的思想就是一種非科學思想。
中學數學教科書中處處滲透着基本數學思想。如果能使它落實到學生學習和運用數學的思維活動上，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方法論的功能。?
(三)思路、思緒和思考?
我們在中學數學教育、教學中，還經常使用着“思路”和“思緒”這兩個詞語。一般說來，“思路”是指思維活動的線索，可視爲以串聯、並聯或網絡形狀出現的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒。“思路”和“思緒”實際上是同義詞，並且它們都是名詞。
那麼，另一個詞語“思考”又是什麼意思呢?“思考”就是進行比較深刻、周到的思維活動。作爲動詞，它反映了主體把思想、方法、串聯、並聯或用網絡組織起來以解決問題的思維過程。由此可見，“思考”所產生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學習者能力的差異。?
(四)方法和數學方法
所謂方法，是指人們爲了達到某種目的而採取的手段、途徑和行爲方式中所包含的可操作的規則或模式。人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重複運用了多次，並且都達到了預期的目的，便成爲數學方法。數學方法是以數學爲工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關係和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。?
數學方法具有以下三個基本特徵：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。?
數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現代科學技術特別是電腦的`發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。?
宏觀的數學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結構方法，實驗方法。微觀的且在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分爲以下三類：
(1)邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因運用於數學之中而具有數學的特色。?
(2)數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱座標法。代數中常用圖象法，解析幾何中常用座標法)、向量法、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極爲重要，應用也很廣泛。?
(3)數學中的特殊方法。例如配方法、待定係數法、加減法、公式法、換元法(也稱之爲中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起着重要作用，不可等閒視之。
(五)方法和招術
如上所述，方法是解決思想、行爲等問題的門路和程序，是思想的產物，是包含或體現着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇並實施方法的前期過程中，反映了學習者的能力和技能的高低；而在後期過程中，只反映了學習者的技能的差異。?
所謂“招術”“招”字應正爲“着”字，本文仍用傳統的“一招一式”的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬於技能而不屬於能力。“招”的教育價值遠低於“法”(這裏的“法”指“通法”)的價值。“法”的可仿效性帶有較爲“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實施“招”要以能實施管着它的“法”爲前提。?
例如，待定係數法是一種特別有用的“法”。求二次函數的解析式時，用待定係數法根據圖象上三個點的座標求出解析式可看作第一“招”；根據頂點和另一點的座標求出解析式可看作第二“招”；根據與x軸交點和另一點的座標求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管着它們的“法”而定。教師授予學生“用待定係數法求二次函數的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在於讓學生明確二次函數的解析式中自變量、函數值和圖象上點的橫、縱座標的對應關係；對於一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什麼不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現了對應思想和數形結合的思想。由此看來，我國古代傳說中經常提到的某些師傅對待弟子“給‘招’不給‘法’”的現象，在現代的數學教育、教學中應該儘量避免。?
三、中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想和方法
(一)中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想
中學數學教科書擔負着向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。? 1.滲透。“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統計思想、極限思想等。前三種基本數學思想從國中一年級就開始滲透了，並貫徹於整個中學階段；抽樣統計思想可從國中三年級開始滲透，極限思想也可從國中三年級的教科書中安排類似於“關於圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至於公理化與結構思想，要注意根據人類的認識規律，一開始就採取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。?
這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，國中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者並舉，並同時允許用不等式(組)、區間或集合的描述法來表示實數集的某些子集。又如對應思想，國中只用文字、數軸或平面直角座標系來講對應；高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至於公理化與結構思想、抽樣統計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是衆所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。?
2.介紹。“介紹”就是把某些數學思想在適當時候明確“引進”到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從國中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數學思想)，有的則是先滲透後介紹(例如後兩種基本數學思想)。“介紹”與“滲透”的基本區別在於：“滲透”只要求學生知道有什麼思想和是什麼思想，而“介紹”則要求學生在此基礎上進而知道爲什麼叫做思想(含思想的要素和特徵)、用什麼思想(含思想的用途)並學會運用。作爲補充，也可以就問題適時地向學生介紹如何運用一分爲二的思想和整體思想。?
3.突出。“突出”就是把某些數學思想經常性地予以強調，並通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在於最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想等。這些基本數學思想貫穿於整個中學階段，最重要、最常用，是中學數學的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區別在於：“介紹”只要求學生知道用什麼和會用，而“突出”則要求學生在此基礎上進而知道選用和善用。作爲補充，也可以就數學問題經常向學生突出分類思想的運用。?
(二)中學數學教科書中應該傳授的基本數學方法
在傳授基本數學方法方面，仍如義務教育國中數學教學大綱所界定的，有“瞭解”、“理解”、“掌握”和“靈活運用”這四個層次。這四個層次的含義也可以遵照該大綱中的提法(第8頁腳註)，新的高中數學教學大綱(供試驗用。本文下面所述“高中大綱”均指此大綱)維持了這些提法(第4頁腳註)。分別屬於這四個層次的基本數學方法的例子有：“瞭解數學歸納法的原理”(高中大綱第9頁)，“瞭解用座標法研究幾何問題”(高中大綱第10頁)；“理解‘消元’、‘降次’的數學方法”(國中大綱第19頁)；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡單的不等式(高中大綱第6頁)”；“靈活運用一元二次方程的四種解法求方程的根”(國中大綱第17頁。四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在這方面，大綱的規定是比較明確的。?
在大綱、教科書和實際教學中，有時把“思想方法”作爲一個詞語使用。爲什麼可以這樣做呢?這要看我們從哪個角度來分析。例如在解二元一次方程組時，我們常說要讓學生掌握“消元”的思想方法。事實上，當我們從“化未知爲已知”的角度去分析此問題時，其思想屬於“化歸的思想”；當我們從“化二元爲一元”的角度去分析此問題時，其方法屬於“消元法”；而當我們從“代入公式直接求解”的角度去分析此問題時，就出現了“行列式法”(其實也是“代入法”)。根據這樣的認識，在不少場合下籠統使用“思想方法”一詞是合理的，但作爲科學研究，必須把“思想”和“方法”分開予以界定。?
有關數學思想和數學方法，尚是一個嶄新的研究課題。以上認識涉及很多因素，有待進一步開掘。錯漏之處，歡迎批評指正。
