一、探索性問題
是指命題中缺少一定的題設或沒有明確的結論，需要經過推斷、補充、並加以證明的問題。其典型特點是不確定性。主要包括（1）條件探索型，（2）結論探索型，（3）存在性探索型等。
條件探索型是指結論已明確，需要探索發現使結論成立的條件的題目；結論探索型是指在一定的條件下無結論或結論不明確，需要探索發現與之相應的結論的題目；而存在型探索題是指在一定的前提下，需探索發現某種數學關係是否存在的題目。
探索性問題由於它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強、難度較大，不僅能考查學生的數學基礎知識，而且能考查學生的創新意識以及發現問題、提出問題、分析問題並解決問題的能力，因而倍受關注。
探索性問題解法，根據已知條件，從基礎知識和基本數學思想方法出發，結合基本圖形，抓住本質聯繫進行探究，常用觀察、試驗、聯想、歸納、類比等方法，進行分析、歸納、猜想、比較、推理等，直到得出答案。題目的答案也是多種多樣的，有的題目有唯一解，有的題無解，也有的題要分幾種情況討論。
解結論探索型題的方法是由因導果；解條件探索型的方法是執果索因；解存在性探索題先假設要探索的問題存在，繼而進行推導與計算，若得出矛盾或錯誤的結論，則不存在，反之即爲所求的結論。解題時應注意知識的綜合運用。
二、理解掌握
例一、已知：（如圖）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的條件是_____（只填一個）。（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC）
說明：該圖是八年級幾何的基本圖形，是解決其他問題的基礎，應牢記。
例二、如圖， ☉O與☉O1外切於點T，AB爲其外公切線，PT爲內公切線，AB與PT相交於點P，根據圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結論，並加以證明。（本題將按正確答案的難易程度評分）
結論1： PA=PB=PT 結論2：AT⊥BT。（或AT2+BT2=AB2）
結論3： ∠BAT=∠TBO1 結論4： ∠OTA=∠PTB
結論5：∠APT=∠BO1T 結論6：∠BPT=∠AOT
結論7：ΔOAT∽ΔPBT 結論8：ΔAPT∽ΔBO1T
設OT=R， O1T=r， 結論9：PT2=Rr
結論10： AB=2√Rr 結論11：S梯形AOO1B=（R+r）√Rr
結論12：以AB爲直徑的☉P必定與直線OO1相切於T點。
說明：你還能得出其它的結論嗎？試試看。本題是由九年級幾何書上的例題改編的，對基本圖形的再認識，對圖形間的內在關係的深刻挖掘，有助於透徹理解知識。
例三、已知二次函數ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的圖象經過點Ａ（－３，６）、和ｘ軸交於點Ｂ（－１，０）和點Ｃ，拋物線的頂點爲Ｐ。
（１）求這個函數的解析式；
（２）線段ＯＣ上是否存在點Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ
分析：函數的解析式爲ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２
＝１／２（ｘ－１）２－２，
各點座標分別爲：Ａ（—3，6）、Ｂ（—1，0）、Ｃ（3，0）、
Ｅ（—3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，—2）。
設存在點Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD。作AE⊥x軸於點E，則ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD ∴ΔABC∽ΔPDC∴AC：ＰＣ＝ＢＣ：ＤＣ，即６√２ ： ２√２＝４ ：（3—a）
解之得：a=5/3。 ∴存在這樣的點D（5/3，0），使∠CAB=∠CPD。
說明：本題是代數與幾何結合的探索性題，涉及的知識點多，難點是尋求數與形的結合點，用到的數學思想方法多，如數形結合思想，方程思想，轉化思想，待定係數法，配方法，採用觀察、試驗、猜想、比較等方法，把角相等轉化爲三角形相似，利用對應邊成比例的關係得出方程，從而解決問題。與函數有關的探索題如果所求的點在圖象上，有時還要代入解析式，利用方程組來解決問題。
三、鞏固訓練
1、已知AC、AB是☉O的弦，AB > AC，（如圖）能否在AB 上確定一點E，使AC2=AEAB
分析：作 AM=AC，連結CM交AB於點E，連結CB，可證ΔACE ∽Δ ABC，即可得出結論。
2、關於ｘ的方程x２—（5+1）x+２—2=0，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和爲4？若存在，求出滿足條件的的'值；若不存在，說明理由。
提示：設方程的兩個實數根爲x1、x2。
由根與係數關係，得x1+x2=5+1，x1x2=2—2。
由題意知得方程，化簡得 42—5—9=0， ∴ 1=—1，2=9/4（不合題意，捨去）
把=—1代入根的判別式，Δ=20>0。
∴ 存在滿足條件的，=—1。
3、已知一次函數=—X+6和反比例函數=/x（≠0）。（1）滿足什麼條件時，這兩個函數在（2）設（1）中的兩個公共點分別爲A、Ｂ，∠ＡＯＢ是銳角還是鈍角？
答案：（1）<9且≠0：
（2）分兩種情況討論當0<<9時，∠ＡＯＢ是銳角；當<0時，∠ＡＯＢ是鈍角。
四、拓展應用
1、如圖，在矩形ABCD中，AB=12釐米，BC=6釐米，點P沿AB邊從點A開始向點B以2釐米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1釐米/秒的速度移動。如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），
那麼（1）當t爲何值時，ΔQAP爲等腰三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積；提出一個與計算結果有關的結論；
（3）當t爲何值時，以點Q、A、P爲頂點的三角形 與ΔABC相似？
解：（1）對於任時刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6—t。
當QA=AP時，ΔQAP爲等腰三角形，即6—t=2t，解得t=2（秒），
∴當t=2秒時，ΔQAP爲等腰三角形，
（2） 在ΔQAC中，QA=6—t，QA邊上的高DC=12，
∴SΔQAC=1/2QADC=1/2（6—t）12=36—6t。
在ΔAPC中，AP=2t，BC=6，
∴SΔAPC =1/2APBC=1/22t6=6t。
∴S四邊形QAPC= SΔQAC + SΔAPC =（36—6t）+6t=36（釐米2）
（3）略解：分兩種情況討論： ①當QA ：AB=AP：BC時，ΔQAP∽ΔABC，
可解得t=1。2（秒）
②當QA：BC =AP：AB時， ΔPAQ ∽Δ ABC，可解得t=3（秒）
∴ 當t=1。2秒或t=3秒時，以點Q、A、P爲頂點的三角形與ΔABC相似。
2、如圖，已知在矩形ABCD中，E爲AD的中點，EF⊥EC，交AB於點F，連結FC（AB>AE）。
（1）ΔAEF與ΔECF是否相似。若相似，證明你的結論；若不相似，說明理由。
（2）設AB/BC=，是否存在這樣的值，使得ΔAEF與ΔECF相似？
若存在，證明你的結論；
若不存在，說明理由。
