大學聯考數學的知識點歸納

在現實學習生活中，大家都沒少背知識點吧？知識點就是“讓別人看完能理解”或者“通過練習我能掌握”的內容。爲了幫助大家掌握重要知識點，以下是小編爲大家整理的大學聯考數學的知識點歸納，僅供參考，歡迎大家閱讀。

一、簡單的邏輯聯結詞

1.用聯結詞且聯結命題p和命題q，記作pq，讀作p且q.

2.用聯結詞或聯結命題p和命題q，記作pq，讀作p或q.

3.對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作綈p，讀作非p或p的否定.

4.命題pq，pq，綈p的真假判斷：

pq中p、q有一假爲假，pq有一真爲真，p與非p必定是一真一假.

二、全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與全稱命題

(1)短語所有的任意一個在邏輯中通常叫做全稱量詞，並用符號表示.

(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

(3)全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立可用符號簡記爲xM，p(x)，讀作對任意x屬於M，有p(x)成立.

2.存在量詞與特稱命題

(1)短語存在一個至少有一個在邏輯中通常叫做存在量詞，並用符號表示.

(2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.

(3)特稱命題存在M中的一個x0，使p(x0)成立可用符號簡記爲x0M，P(x0)，讀作存在M中的元素x0，使p(x0)成立.

三、含有一個量詞的命題的否定

四、解題思路

1.邏輯聯結詞與集合的關係

或、且、非三個邏輯聯結詞，對應着集合運算中的並、交、補，因此，常常藉助集合的並、交、補的意義來解答由或、且、非三個聯結詞構成的命題問題.

2.正確區別命題的否定與否命題

否命題是對原命題若p，則q的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論;命題的否定即非p，只是否定命題p的結論. 命題的否定與原命題的真假總是對立的，即兩者中有且只有一個爲真，而原命題與否命題的真假無必然聯繫.

3.全稱命題真假的判斷方法

(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立;

(2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x=x0，使p(x0)不成立即可.

4.特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x=x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.

一、求動點的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當的座標系，設出動點M的座標;

⒉寫出點M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化簡方程爲最簡形式;

⒌檢驗。

二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關點法：用動點Q的座標x，y表示相關點P的座標x0、y0，然後代入點P的座標(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

⒋參數法：當動點座標x、y之間的直接關係難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關係，得再消去參變數t，得到方程，即爲動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法。

⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即爲兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系建立適當的座標系;

②設點設軌跡上的任一點P(x，y);

③列式列出動點p所滿足的關係式;

④代換依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化爲關於X，Y的方程式，並化簡;

⑤證明證明所求方程即爲符合條件的動點軌跡方程。

一、間斷點求極限

1、連續、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎是求函數在間斷點處的左右極限；

2、可導和可微，分段函數在分段點處的導數或可導性，一律通過導數定義直接計算或檢驗存在的定義是極限 存在；

3、漸近線，（垂直、水平或斜漸近線）；

4、多元函數積分學，二重極限的討論計算難度較大，常考查證明極限不存在。

二、下面我們重點講一下數列極限的典型方法。

（一）重要題型及點撥

1、求數列極限

求數列極限可以歸納爲以下三種形式。

2、抽象數列求極限

這類題一般以選擇題的形式出現， 因此可以通過舉反例來排除。 此外，也可以按照定義、基本性質及運算法則直接驗證。

（二）求具體數列的極限，可以參考以下幾種方法：

a、利用單調有界必收斂準則求數列極限。

首先，用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關係中取極限，解方程， 從而得到數列的極限值。

b、利用函數極限求數列極限

如果數列極限能看成某函數極限的特例，形如，則利用函數極限和數列極限的關係轉化爲求函數極限，此時再用洛必達法則求解。

（三）求項和或項積數列的極限，主要有以下幾種方法：

a、利用特殊級數求和法

如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉化爲極限已知的一些形式，那麼通過整理可以直接得出極限結果。

b、利用冪級數求和法

若可以找到這個級數所對應的冪級數，則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出，再根據這個極限的形式代入相應的變量求出函數值。

c、利用定積分定義求極限

若數列每一項都可以提出一個因子，剩餘的項可用一個通項表示， 則可以考慮用定積分定義求解數列極限。

d、利用夾逼定理求極限

若數列每一項都可以提出一個因子，剩餘的項不能用一個通項表示，但是其餘項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。

e、求項數列的積的極限

一般先取對數化爲項和的形式，然後利用求解項和數列極限的方法進行計算。

大學聯考數學知識點：動點的軌跡方程動點的軌跡方程：

在直角座標系中，動點所經過的軌跡用一個二元方程f(x,y)=0表示出來。

求動點的軌跡方程的基本方法：

直接法、定義法、相關點法、參數法、交軌法等。

　　1、直接法：

如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關係，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易於表述成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之爲直接法；

用直接法求動點軌跡一般有建系，設點，列式，化簡，證明五個步驟，最後的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什麼。

　　2、定義法：

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程,大學聯考生物，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差爲定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件。定義法的關鍵是條件的轉化??轉化成某一基本軌跡的定義條件；

　　3、相關點法：

動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（x′，y′）的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡爲給定或容易求得，則可先將x′，y′表示爲x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法。一般地：定比分點問題，對稱問題或能轉化爲這兩類的軌跡問題，都可用相關點法。

　　4、參數法：

求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫座標、縱座標之間的關係，則可藉助中間變量（參數），使x，y之間建立起聯繫，然而再從所求式子中消去參數，得出動點的軌跡方程。用什麼變量爲參數，要看動點隨什麼量的變化而變化，常見的參數有：斜率、截距、定比、角、點的座標等。要特別注意消參前後保持範圍的等價性。多參問題中，根據方程的觀點，引入n個參數，需建立n+1個方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時，方程個數可減少）。

　　5、交軌法：

求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入參數來建立這些動曲線的聯繫，然而消去參數得到軌跡方程。可以說是參數法的一種變種。用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點座標，只要能消去參數，得到交點的兩個座標間的關係即可。交軌法實際上是參數法中的一種特殊情況。

　　求軌跡方程的步驟：

(l)建系，設點建立適當的座標系，設曲線上任意一點的座標爲M（x，y）；

(2)寫集合寫出符合條件P的點M的集合P(M)；

(3)列式用座標表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化簡化方程f(x，y)=0爲最簡形式；

(5)證明證明以化簡後的方程的解爲座標的點都是曲線上的點，

　　一、充分條件和必要條件

當命題“若A則B”爲真時，A稱爲B的充分條件，B稱爲A的必要條件。

　　二、充分條件、必要條件的常用判斷法

1.定義法：判斷B是A的條件，實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立，只要把題目中所給的條件按邏輯關係畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可

2.轉換法：當所給命題的充要條件不易判斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命題進行判斷。

3.集合法

在命題的條件和結論間的`關係判斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應的集合分別爲A、B，則：

若A?B，則p是q的充分條件。

若A?B，則p是q的必要條件。

若A=B，則p是q的充要條件。

若A?B，且B?A，則p是q的既不充分也不必要條件。

　　三、知識擴展

1.四種命題反映出命題之間的內在聯繫，要注意結合實際問題，理解其關係(尤其是兩種等價關係)的產生過程，關於逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述爲：

(1)交換命題的條件和結論，所得的新命題就是原來命題的逆命題;

(2)同時否定命題的條件和結論，所得的新命題就是原來的否命題;

(3)交換命題的條件和結論，並且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題。

2.由於“充分條件與必要條件”是四種命題的關係的深化，他們之間存在這密切的聯繫，故在判斷命題的條件的充要性時，可考慮“正難則反”的原則，即在正面判斷較難時，可轉化爲應用該命題的逆否命題進行判斷。一個結論成立的充分條件可以不止一個，必要條件也可以不止一個。

1.等差數列的定義

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示.

2.等差數列的通項公式

若等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式爲an=a1+(n-1)d.

3.等差中項

如果A=(a+b)/2，那麼A叫做a與b的等差中項.

4.等差數列的常用性質

(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n，m∈N.).

(2)若{an}爲等差數列，且m+n=p+q，

則am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N.).

(3)若{an}是等差數列，公差爲d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N.)是公差爲md的等差數列.

(4)數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數列.

(5)S2n-1=(2n-1)an.

(6)若n爲偶數，則S偶-S奇=nd/2;

若n爲奇數，則S奇-S偶=a中(中間項).

注意：

一個推導

利用倒序相加法推導等差數列的前n項和公式：

Sn=a1+a2+a3+…+an，①

Sn=an+an-1+…+a1，②

①+②得：Sn=n(a1+an)/2

兩個技巧

已知三個或四個數組成等差數列的一類問題，要善於設元.

(1)若奇數個數成等差數列且和爲定值時，可設爲…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….

(2)若偶數個數成等差數列且和爲定值時，可設爲…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其餘各項再依據等差數列的定義進行對稱設元.

四種方法

等差數列的判斷方法

(1)定義法：對於n≥2的任意自然數，驗證an-an-1爲同一常數;

(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N.)都成立;

(3)通項公式法：驗證an=pn+q;

(4)前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.

注：後兩種方法只能用來判斷是否爲等差數列，而不能用來證明等差數列.

定義：

形如y=x^a(a爲常數)的函數，即以底數爲自變量冪爲因變量，指數爲常量的函數稱爲冪函數。

定義域和值域：

當a爲不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a爲任意實數，則函數的定義域爲大於0的所有實數;如果a爲負數，則x肯定不能爲0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q爲偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數，則函數的定義域爲不等於0的所有實數。當x爲不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q爲奇數，函數的值域爲非零的實數。而只有a爲正數，0才進入函數的值域。

性質：

對於a的取值爲非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作爲分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數，那麼我們就可以知道：

排除了爲0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數;

排除了爲0這種可能，即對於x

排除了爲負數這種可能，即對於x爲大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。