向量法可以證明很多的數學定理的,比如正弦定理就不錯。下面就是本站小編給大家整理的向量法證明正弦定理內容,希望大家喜歡。
向量法證明正弦定理方法一證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.
因爲直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因爲同弧所對的`圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
向量法證明正弦定理方法二如圖1,△ABC爲銳角三角形,過點A作單位向量j垂直於向量AC,則j與向量AB的夾角爲90°-A,j與向量CB的夾角爲90°-C
由圖1,AC+CB=AB(向量符號打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理,過點C作與向量CB垂直的單位向量j,可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
記向量i ,使i垂直於AC於C,△ABC三邊AB,BC,CA爲向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
向量法證明正弦定理方法三證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.
因爲直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因爲同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其餘兩個等式。
用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB
=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來哈哈,不過爲了符合向量的做法)
=> a/sinA = c/sinC
2015-7-18 17:16 jinren92 | 三級
記向量i ,使i垂直於AC於C,△ABC三邊AB,BC,接着得到正弦定理 其他步驟2. 在銳角△ABC中,證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC。