一、選擇題
1.已知等比數列{an},且a4+a8=dx,則a6(a2+2a6+a10)的值爲( )
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案:A 命題立意:本題考查等比數列的性質及定積分的運算,正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關鍵,難度中等.
解題思路:由於dx表示圓x2+y2=4在第一象限內部分的面積,故dx=×π×22=π,即a4+a8=π,又由等比數列的性質,得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2,故選A.
2.(東北三校二次聯考)已知{an}是等差數列,Sn爲其前n項和,若S21=S4 000,O爲座標原點,點P(1,an),點Q(2 011,a2 011),則·=( )
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案:A 命題立意:本題考查等差數列前n項和公式與性質及平面向量的座標運算,難度中等.
解題思路:由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0,故有a2 011=0,因此·=2 011+ana2 011=2 011,故選A.
3.以雙曲線-=1的離心率爲首項,以函數f(x)=4x-2的零點爲公比的等比數列的前n項的和Sn=( )
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案:B 命題立意:本題考查雙曲線的離心率及函數的零點與等比數列前n項和公式的應用,難度較小.
解題思路:由雙曲線方程易得e==,函數零點爲,故由公式可得Sn==3=3-,故選B.
4.等差數列{an}的前n項和爲Sn,若a4=15,S5=55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線的斜率爲( )
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案:A 命題立意:本題考查等差數列的性質、前n項和及直線斜率的座標計算形式,難度較小.
解題思路:由題S5==55,故a1+a5=22,根據等差數列的性質可知a1+a5=2a3=22,故a3=11,因爲a4=15,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線的斜率爲kPQ===4,故選A.
5.在等比數列{an}中,對於n∈N*都有an+1·a2n=3n,則a1·a2·…·a6=( )
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案:D 命題立意:本題考查數列的遞推公式、等比數列的性質及整體代換思想,考查考生的運算能力,難度中等.
解題思路:由等比數列的性質可知,a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3,令n=2,得a3·a4=32,故選D.
6.等差數列{an}的前n項和爲Sn,公差爲d,已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1,(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1,則下列結論正確的是( )
A.d<0,S2 013=2 013 B.d>0,S2 013=2 013
C.d<0,S2 013=-2 013 D.d>0,S2 013=-2 013
答案:C 命題立意:本題考查函數的性質——單調性與奇偶性、等差數列的性質與前n項和公式,難度中等.
解題思路:記f(x)=x3+2 013x,則函數f(x)是在R上的.奇函數與增函數;依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0,即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1,a8+1=-(a2 006+1),a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006,d=<0;a8+a2 006=-2,S2 013===-2 013,故選C.
二、填空題
7.在等差數列{an}中,a2=5,a1+a4=12,則an=________;設bn=(nN*),則數列{bn}的前n項和Sn=________.
答案:2n+1 命題立意:本題考查等差數列的通項公式與裂項相消法,難度中等.
解題思路:設等差數列{an}的公差爲d,則有a2+a3=5+a3=12,a3=7,d=a3-a2=2,an=a2+(n-2)d=2n+1,bn==,因此數列{bn}的前n項和Sn=×==.
8.設Sn爲數列{an}的前n項和,若(nN*)是非零常數,則稱該數列爲“和等比數列”,若數列{cn}是首項爲2,公差爲d(d≠0)的等差數列,且數列{cn}是“和等比數列”,則d=________.
答案:4 解題思路:由題意可知,數列{cn}的前n項和爲Sn=,前2n項和爲S2n=,所以==2+=2+,所以當d=4時,=4.
9.已知定義在R上的函數f(x)是奇函數且滿足f=f(x),f(-2)=-3,數列{an}滿足a1=-1,且Sn=2an+n(其中Sn爲{an}的前n項和),則f(a5)+f(a6)=______.
答案:3 解題思路:因爲Sn=2an+n,則Sn-1=2an-1+n-1,
兩式相減得an=2an-1-1,通過拼湊整理得an-1=2(an-1-1),所以{an-1}是等比數列,則an-1=-2n,因此an=1-2n,所以a5=-31,a6=-63.
由f=f(x)且函數f(x)是奇函數,用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x),用+x代替x得到f(3+x)=f(x),所以函數f(x)爲週期爲3,
則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.
10.已知ABC的內角A,B,C的對邊分別爲a,b,c,且a,b,c成遞減的等差數列.若A=2C,則的值爲________.
答案: 命題立意:本題主要考查等差數列、正弦定理、餘弦定理與三角函數基本公式.解題思路是依據題意得出a,b,c之間的關係,再結合正弦定理、餘弦定理及A=2C,從而得出a,c之間的關係.
解題思路:依題意知b=,===2cos C=2×,即====,所以a2=c,即(2a-3c)(a-c)=0,又由a>c,因此有2a=3c,故=.
三、解答題
11.已知函數f(x)=x2+bx爲偶函數,數列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.
(1)設bn=log2(an-1),求證:數列{bn+1}爲等比數列;
(2)設cn=nbn,求數列{cn}的前n項和Sn.
命題立意:本題主要考查函數的性質,數列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時,首先根據二次函數的奇偶性求出b值,確定數列通項的遞推關係式,然後由等比數列的定義證明數列{bn+1}爲等比數列,這樣就求出數列{bn}的通項公式,進一步就會求出數列{cn}的通項公式,從而確定數列{cn}的前n項和Sn的計算方法.
解析:(1)證明: 函數f(x)=x2+bx爲偶函數,
b=0, f(x)=x2,
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1,
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3,an>1,bn=log2(an-1),
b1=log2(a1-1)=1,
====2,
數列{bn+1}是首項爲2,公比爲2的等比數列.
(2)由(1),得bn+1=2n, bn=2n-1,
cn=nbn=n2n-n.
設An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,
則2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,
An=(n-1)2n+1+2.
設Bn=1+2+3+4+…+n,則Bn=,
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函數f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)數列{an}滿足:an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求an;
(3)令bn=,Tn=b+b+…+b,Sn=8-,試比較Tn與Sn的大小.
解析:(1)令x=,
則有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=,得f+f=1,
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1),
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
兩式相加,得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1,
an=,nN*.
(3)bn==,
當n=1時,Tn=Sn;
當n≥2時,
Tn=b+b+…+b
=4
<4
=4
=4=8-=Sn.
綜上,Tn≤Sn.
13.某產品在不做廣告宣傳且每千克獲得a元的前提下,可賣出b千克.若做廣告宣傳,廣告費爲n(nN*)千元時比廣告費爲(n-1)千元時多賣出千克.
(1)當廣告費分別爲1千元和2千元時,用b表示銷售量s;
(2)試寫出銷售量s與n的函數關係式;
(3)當a=50,b=200時,要使廠家獲利最大,銷售量s和廣告費n分別應爲多少?
解析:(1)當廣告費爲1千元時,銷售量s=b+=.
當廣告費爲2千元時,銷售量s=b++=.
(2)設Sn(nN)表示廣告費爲n千元時的銷售量,
由題意得,s1-s0=,
s2-s1=,
……
sn-sn-1=.
以上n個等式相加得,
sn-s0=+++…+.
即s=sn=b++++…+.
==b.
(3)當a=50,b=200時,設獲利爲Tn,
則有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×,
設bn=20--n,
則bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.
當n≤2時,bn+1-bn>0;
當n≥3時,bn+1-bn<0.
所以當n=3時,bn取得最大值,即Tn取得最大值,此時s=375,即該廠家獲利最大時,銷售量和廣告費分別爲375千克和3千元.