一、同餘的定義:
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同,則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對於模m同餘,記作a≡b(mod m),讀作a同餘於b模m。
二、同餘的性質:
①自身性:a≡a(mod m);
②對稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數c,則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關於乘方的預備知識:
①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除後的餘數特徵
①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費爾馬小定理:
如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
餘數及其應用
基本概念:對任意自然數a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那麼r叫做a除以b的餘數,q叫做a除以b的`不完全商。
餘數的性質:
①餘數小於除數。
②若a、b除以c的餘數相同,則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的餘數等於a除以c的餘數加上b除以c的餘數的和除以c的餘數。
④a與b的積除以c的餘數等於a除以c的餘數與b除以c的餘數的積除以c的餘數。