高中不等式證明練習題及參考答案

不等式證明是可以作文練習題經常出現的，這類的練習題是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的不等式證明練習題內容，希望大家喜歡。

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式， 得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號什麼時候成立，而且如果你的式子裏7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的並不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價於：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對值的不等式練習。1.關於實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較係數得：a=-4,b=-9.

函數y=arcsinx的定義域是 [-1, 1] ，值域是 ，函數y=arccosx的定義域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函數y=arctgx的定義域是 R ，值域是 .，函數y=arcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關於原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關於原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

1、一輛勻速行駛的汽車在11 :20距離A地50千米，要在12 :00之前駛過A地，車速應滿足什麼條件?

設車速是x千米/時

從時間上看，汽車要在12：00之前駛過A地，則以這個速度行駛50千米所用的時間不到2/3小時，即

設車速是x千米/時

從路程上看，汽車要在12：00之前駛過A地，則以這個速度行駛2/3小時的路程要超過50千米，即

2、不等式定義：用“<”或“>”、“≤”“≥” 表示大小關係的式子，叫做不等式，像a+2≠a-2這樣用“ ≠”號表示不等關係的式子也是不等式。

注：“<” 、“>” 、“≠”、“ ≤”、“ ≥”都是不等號。

練習題：

下列式子哪些是不等式?哪些不是不等式?為什麼?

-2<5 x+3>6 4x-2y≤0 a-2b a+b≠c

5m+3=8 8+4<7

3. 不等式的解

我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數的值就是方程的解”，與方程類似 , 能使不等式成立的未知數的值叫不等式的解.

代入法是檢驗某個值是否是不等式的解的簡單、實用的方法;

練習題：

x=78是不等式 的解嗎?x=75呢?x=72呢?

判斷下列數中哪些是不等式 的解:

76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60

你還能找出這個不等式的其他解嗎?這個不等式有多少個解?你能説出他的解集嗎?

4、不等式的解集

一般的，一個含有未知數的不等式的所有的解組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫解不等式。

想一想：

不等式的解和不等式的解集是一樣的嗎?

不等式的解與解不等式一樣嗎?

練習題：

1、下列説法正確的是( )

A. x=3是2x+1>5的解

B. x=3是2x+1>5的唯一解

C. x=3不是2x+1>5的解

D. x=3是2x+1>5的解集

5. 解集的表示方法

:用式子(如x>2),即用最簡形式的不等式(如x>a或x

如不等式 的解集可以用不等式x >75來表示。

練習題：

不等式的解集:

⑴ x+2>6 ⑵ 3x>9 ⑶ x-3>0

:用數軸,標出數軸上某一區間,其中的點對應的數值都是不等式的解.

注意：

1.用數軸表示不等式的解集的步驟:

①畫數軸; ②定邊界點; ③定方向.

2.用數軸表示不等式的解集,應記住下面的規律:

大於向右畫,小於向左畫;有等號(≥ ,≤)畫實心點,

無等號(>,<)畫空心圓.

練習題：

6、一元一次不等式

我們知道2x+1=5叫做一元一次方程，那麼你覺得不等式2x+1>5應該如何命名嗎?

定義類似於一元一次方程，含有一個未知數且未知數的次數是1的不等式叫做一元一次不等式

數學歸納法的基本原理、步驟和使用範圍

(1)在數學裏，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結論，那麼結論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫枚舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的結論不一定可靠。數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數有無限多個，我們不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數進行驗證所得到的結論，是不一定可靠的

例如一個數列的通項公式是an(n25n5)2

容易驗證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結論——對於任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯誤的.

事實上，a5=25≠1.

因此，就需要尋求證明這一類命題的`一種切實可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數學歸納法.

(2)數學歸納法是一種重要的數學證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地説，多米諾骨牌遊戲是遞推思想的一個模型，數學歸納法的基本原理相當於有無限多張牌的多米諾骨牌遊戲，其核心是歸納遞推.

一般地，當要證明一個命題對於不小於某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用一下兩個步驟：(1)證明當n=n0(例如n0=1或2等)時命題成立;

(2)假設當n=k(kN，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以後，就可以斷定命題對於不小於n0所有自然數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.

自然數公理(皮亞諾公理)中的“歸納公理”是數學歸納法的理論根據，數學歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所説的兩個性質.數學歸納法的適用範圍僅限於與自然數n有關的命題.這裏的n是任意的正整數，它可取無限多個值.

附錄：下面是自然數的皮亞諾公理，供有興趣的同學閲讀.

任何一個象下面所説的非空集合N的元素叫做自然數，在這個集合中的某些元素a與b之間存在着一種基本關係：數b是數a後面的一個“直接後續”數，並且滿足下列公理：

①1是一個自然數;

②在自然數集合中，每個自然數a有一個確定“直接後續”數a’;

③a’≠1,即1不是任何自然數的“直接後續”數;

④由a’ =b’推出a=b,這就是説，每個自然數只能是另一個自然數的“直接後續”數;

⑤設M是自然數的一個集合，如果它具有下列性質：(Ⅰ)自然數1屬於M,(Ⅱ)如果自然數a屬於M，那麼它的一個“直接後續”數a’也屬於M，則集合M包含一切自然數.

其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數學歸納法的依據.

(3)數學歸納法可以證明與自然數有關的命題，但是，並不能簡單地説所有涉及正整數n的命題都可以用數學歸納法證明.

例如用數學歸納法證明(1+1)n(n N)的單調性就難以實現.一般來説，n

從k=n到k=n+1時，如果問題中存在可利用的遞推關係，則數學歸納法有用武之地，否則使用數學歸納法就有困難.