“平角”和“直線”
射線OA繞點O旋轉,當終止位置OC和起始位置OA成一直線時,所成的角叫做平角,如圖1。
平角的大小為180°。
由於平角的兩邊成一條直線(圖2),如果不附加某種特殊的標誌,那麼平角的圖形很容易與直線(圖3)的圖形混淆。
為了避免這種混淆,我們在角的內部,圍繞角的頂點畫一條小圓弧,並註上箭頭(圖4),∠AOB就表示一個平角。這樣就可以把平角的圖形和直線的圖形區別開來了。
與“平角”和“直線”這對容易混淆的概念類似的,還有“周角”與“射線”這對概念。
什麼是周角?射線OA繞點O旋轉,當終止位置與起始位置重合時,所形成的角叫做周角。這時周角的兩邊互相重合,成為一條射線。
為了使周角的圖形與射線的圖形區分開來,我們以O為圓心畫一個小圓,並用箭頭表示旋轉方向,如圖5。
易混概念辨析 直角和90°
“直角”和“90°”
老師問同學:“什麼是直角?”
有的同學回答:“直角就是90°。”
這樣回答對嗎?不對。“直角”和“90°”有著本質的區別。我們先舉一個通俗的例子:
張強的體重是50千克。張強是個人,50千克是他的體重,不能把張強這個人和他的體重50千克兩個不同的概念等同起來。
直角是一個圖形,它是平角的一半。“90°”是一個量,它表示“直角”的大小。不能把一個圖形和這個圖形的大小這兩個不同的概念混淆起來。因此,正確回答“什麼是直角”應該是“直角是平角的一半”或“90°的角是直角”。
長江大橋上急駛而過的火車與橋下航行的一艘輪船運動的軌跡,可以理解為兩條直線,這是兩條互相垂直的異面直線,它們所成的角是90°。不能把“兩條互相垂直的異面直線”和“90°”混為一談。
電線杆與地面垂直,可以理解為一直線垂直於一平面,它們所成的角也是90°。不能把“一直線垂直於一平面”和“90°”混為一談。
牆壁和地面垂直,是互相垂直的兩個平面,它們所成的角仍然是90°。不能把“互相垂直的兩個平面”與“90°”相混淆。
由此可見,直角、互相垂直的二平面,這些都是圖形,它們的大小皆為90°,這是一個量。這裡,“90°”和有關圖形的區別是十分明顯的。
與“直角”和“90°”這對容易混淆的概念類似的,“連結兩點的線段”和“兩點的距離”也是一對容易混淆的概念。前者表示線段AB,它是一個圖形。後者表示這條線段的長,它是一個量。
作為練習,請同學們回答:
什麼叫平角,平角有多大?
什麼叫周角,周角有多大?
什麼叫半圓內的圓周角?半圓內的圓周角有多大?
易混概念辨析 幾何體和物體
“幾何體”和“物體”
在我們的現實生活中,存在著各種各樣的物體:
籃球,足球,排球……
梨子,橘子,蘋果,香蕉……
自來水管,電線杆,筆桿……
冰箱,衣櫃,金字塔,河堤……
各式各樣的建築物;
……
物體有各種性質:
輕重,軟硬,顏色,導電性……這些是物理性質;
組成的元素,氧化、還原性,溶解性……這些是化學性質;
異化作用,新陳代謝,光合作用,呼吸作用……這些是生物性質;
形狀,位置,大小,這些是物體的幾何性質。
只研究物體的形狀、位置和大小,而不研究它們的物理性質、化學性質、生物性質……這樣抽象出來的物體的表象就叫幾何體。例如,同樣大小的鉛球和木球,它們的物理性質不同,化學性質不同,但它們的形狀、大小完全相同,因此,它們是完全相同的幾何體。
整個幾何學所研究的內容,就是各種各樣幾何圖形的形狀、位置和大小關係。例如,在下面這段敘述中:
“在直線l上,自A點起,擷取線段AB=a。”
“在直線l上”表示所作圖形的位置;“線段”說明所作圖形的形狀;“AB=a”表示這個圖形的大小。
又如“以O點為圓心,r為半徑畫圓”。其中“以O點為圓心”表示所畫圖形的位置;“以r為半徑”表示所畫圖形的大小;“圓”表示所畫圖形的形狀。
再如“到空間一定點O距離小於或等於定長r點的軌跡,是以定點O為球心、半徑為r的球”。這裡“定點O”是說明圖形的位置,“小於或等於定長r”是說明圖形的大小,“球”是說明圖形的形狀。
易混概念辨析 互斥事件和互逆事件
“互斥事件”和“互逆事件”
世界上很多事情是互相排斥的:有甲便無乙,有乙便無甲,二者不可兼而有之。例如,“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”這兩個預斷就是互相排斥的,因為明天中午南京的天氣不可能既是晴天又是陰天,不可能在同一時間、同一地點出現又是晴天又是陰天的情形。又如,“兩球外切”與“兩球相離”也是互相排斥的,因為當兩球球心與半徑一定後,既然它們的位置關係是外切,就不會同時又相離。
如果兩個事件A與B不能同時發生,我們就稱A與B為互斥事件,或稱為互不相容的事件,用符號AB=V表示。上面所講“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”就是互斥事件,“兩球外切”與“兩球相離”也是互斥事件。
工廠檢查一件產品,“產品合格”與“產品不合格”是截然相反的兩件事,對於某一件產品而言,二者必居其一,且不可兼而有之。也就是說,這件產品要麼合格,要麼不合格,不可能既合格又不合格。某同學參加一次數學競賽,不是獲勝就是失敗,不可能既是優勝者,又是失敗者。
我們把事件A與事件“非A”叫做互逆事件,又稱為對立事件。
事件“非A”通常用表示,叫做A的逆事件。顯然,在每一次實踐中,A與不可能同時發生,又二者必居其一。事件A與B為互逆事件用下列兩個等式表示:AB=V,A∪B=U(意即“A與B至少發生其一”)。上面所講“產品合格”與“產品不合格”,“獲勝”與“失敗”,都是互逆事件。
互斥事件與互逆事件是概率計算中需要用到的一對概念,在實際中是很有用處的。
可以看出,互逆事件必為互斥事件。如“這件產品是合格的”與“這件產品不合格”不可能同時出現,所以它們是互逆的,也是互斥的。但是互斥事件則未必為互逆事件。如“晴朗’與“陰天”是互斥的,但不是互逆的。因為,不是說天氣“不晴朗”就一定是“陰天”。天氣不晴朗,可能是下雨、下雪。又如“兩球外切”與“兩球相離”是互斥的,但也不是互逆的。因為,不能說“兩球不外切”,就一定是兩球相離。兩球不外切,還可能內切,內含,相交。
所以互逆事件是互斥事件的特例,互斥事件是互逆事件的一般形式。
易混概念辨析 餘子式和代數餘子式
“餘子式”和“代數餘子式”
行列式是解線性方程組的有力工具。但是,行列式的展開,對於二階、三階行列式來說還比較方便,而對於高於三階行列式的展開,則沒有一般規律可循。這時,把高階行列式降階,使它轉化為較低階的行列式,則是一條可行的道路。“餘子式”和“代數餘子式”就是適應這種需要而產生的.。
把行列式中某一元素所在的行與列劃去後,剩下的元素按行列順序排列所組成的行列式,叫做原行列式中對應於這個元素的餘子式。
例如,在行列式
中,對應於元素a2的餘子式為
設行列式中某一元素位於第i行第j列,把對應於這個元素的餘子式乘上(-1)i+j後,所得到的式子叫做原行列式中對應於這個元素的代數餘子式。
例如,在上面的行列式D中,元素a2位於第二行第一列,即i=2,j=1,則i+j=2+1=3。
所以,對應於a2的代數餘子式為
即
下面舉一個例子,幫助大家掌握餘子式和代數餘子式的概念。
例:已知行列式
求行列式中元素-5的餘子式與代數餘子式。
解:-5的餘子式為:
-5的代數餘子式為:
有了餘子式和代數餘子式的概念,根據下述定理,我們就可以展開任意一個行列式。
定理:行列式等於它的任意一行(或一列)的所有元素與它們各自對應的代數餘子式的乘積的和。
下面我們舉一個例子,說明如何用這個定理展開一個行列式,從而降階求值。
例:把行列式
按第一行展開,然後進行計算。
易混概念辨析 每一個和有一個
“每一個”和“有一個”
數學是研究數量關係的科學。在數學裡,對數量用詞要予以特別謹慎。“每一個”和“有一個”,兩者僅一字之差,但意義完全不同。
如果對所討論物件每一個元素都下了判斷,那麼這樣的命題叫做“全稱命題”。“每一個”就是一種全稱量詞。全稱量詞還常與副詞“都”聯用。如“對頂角都相等”,就是“每一對對頂角都是相等的”。在數學中,常會遇到全稱命題。
例如,對於函式y=f(x),若對每一個x,都有
f(-x)=-f(x)
我們就把函式y=f(x)稱為奇函式。
又如,對於數列{an},若對於每一個自然數n,都有
an<an+1
則稱數列{an}為遞增數列。
要證明一個全稱命題為真,主要有兩種思路:
第一種是用完全歸納法,包括數學歸納法;
第二種是在所討論的物件中,挑出一個具有充分代表性的元素,然後證明它有某種性質。由於這一個具有代表性的元素有某種性質,所以所討論物件裡每一個元素也都有這一性質。
例1:從A、B、C、D、E、F六個人中選三人。(1)A、B都選;(2)A、B都不選;(3)A、B不都選。三種情形各有幾種選法?
解:(1)因為共選三人,A、B都要選,只要再選一人就可以了。而這一人只能從C、D、E、F四人中選。所以有即4種方法。
(2)A、B都不選,那麼只能從餘下的四人中選三人,所以有即4種方法。
(3)A、B不都選,有三種可能:
“有一個”叫特稱量詞。特稱量詞還可以表示為“有”、“存在著”、“存在一個”、“至少存在一個”。
易混概念辨析 排列數和一個排列
“排列數”和“一個排列”
“一個排列”指的是“從n個不同元素中,任取出m個元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個數,而是具體的一件事。
“排列數”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”,它是一個數。
例如,從3個元素a、b、c中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb
其中每一種都叫做一個排列,共有6種,而數字6就是排列數,符號表示排列數。
與此類似的,要區分“組合數”和“一個組合”這兩個概念。
“一個組合”是指“從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素併成一組”,它不是一個數,而是具體的一件事;組合數是指從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數,它是一個數。
例如,從3個元素a、b、c中每次取出2個元素的組合為
ab,ac,bc
其中每一種都叫做一個組合,共有3種,而數字3就是組合數,符號表示組合數。