一.觀察法
通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。
例1求函式y=3+√(2-3x)的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函式的值域為{y∣y≥3｝.
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。練習：求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函式法
當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。
例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。
解：顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。
這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。練習：求函式y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函式的值域為{y∣y1｝)
三.配方法
當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域
例3：求函式y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]
點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。
配方法是數學的一種重要的思想方法。練習：求函式y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四.判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。
例4求函式y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當y=2時,方程(*)無解。∴函式的值域為2點評：把函式關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。
練習：求函式y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y0)。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函式的值域。
練習：若√x為實數，則函式y=x2+3x-5的值域為()A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。
例6求函式y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。
解：原函式化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函式值y≥3,所以，函式值域[3，+∞]。
點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函式值域的方法較多，還適應通過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。
七.單調法
利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函式y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函式是複合函式，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函式值域為{y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。
練習：求函式y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。
例8求函式y=x-3+√2x+1的值域。
點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，確定原函式的值域。
解：設t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函式的值域為{y|y≥-7/2｝。
點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，通過求出二次函式的最值，從而確定出原函式的.值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函式y=√x-1–x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
九.構造法
根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例9求函式y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。
解：原函式變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關係知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。∴原函式的值域為{y|y≥5｝。
點評：對於形如函式y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
練習：求函式y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
十.比例法
對於一類含條件的函式的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函式，進而求出原函式的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設定引數，代入原函式。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為引數)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=-3/5時，x=3/5,y=-4/5時，zmin=1。函式的值域為{z|z≥1｝.
點評：本題是多元函式關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設引數，可將原函式轉化為單函式的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。
練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函式f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
十一.利用多項式的除法
例11求函式y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函式，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函式y的值域為y≠3的一切實數。
點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函式均可利用這種方法。
練習：求函式y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
十二.不等式法
例12求函式Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥：先求出原函式的反函式，根據自變數的取值範圍，構造不等式。
解：易求得原函式的反函式為y=log3[x/(1-x)],由對數函式的定義知x/(1-x)0，1-x≠0。解得：01或y
