球面幾何與歐式幾何的比較 要說到幾何，大多數人便會想到運用並流傳了幾千年的歐式幾何，這是毋庸置疑的。歐式幾何在我們的生活中運用太廣泛了。從我們開始接觸幾何問題，和我們生活中所接觸到的一些幾何問題大部分都是歐式幾何。歐式幾何是幾何學的一門分科，又稱歐幾里德幾何。公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作爲定義和公理，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。歐式幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。歐式幾何共有五條公理，其中前四個都是可以通過各種方法來證明的，並被衆人接受。唯有公理5使許多人不能被理解所接受。於是由此問題，我們又有了一個巨大的發現，也是人類歷史上的重大轉變。那就是非歐幾何的出現。歐式幾何所能解決的只限於平面，從而偉大的第五公理就這樣在非歐幾何中得證。
球面幾何
球面幾何學是在二維的球面表面上的幾何學，也是非歐幾何的一個例子。在平面幾何中，基本的觀念是點和線。在球面上，點的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點之間最短的距離，稱爲最短線。在球面上，最短線是大圓的弧，所以平面幾何中的線在球面幾何中被大圓所取代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。結果是球面三角學和平常的三角學有諸多不同之處。例如：球面三角形的內角和大於180度。
對比於通過一個點至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲面幾何學，通過特定的點沒有平行線的球面幾何學是橢圓幾何學中最簡單的模式。 球面 幾何學在航海學和天文學都有實際且重要的用途。球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩
通過上面的比較，我們看到，球面上的幾何是與平面幾何不同的'一種幾何理論。平面幾何最早由希臘數學家歐幾里德整理成系統的理論。他的不朽之作《幾何原本》不僅包含了平面幾何，也包含了立體幾何。爲了紀念他對人類做出的偉大貢獻，後來就把這種幾何稱爲歐氏幾何。雖然歐氏幾何在我們的日常生活、生產實踐與科學試驗中有着廣泛的應用，但是在某些領域或某種場合歐氏幾何並不適用。例如在地球上要測量相距較遠的兩地之間的距離，或者較大範圍的面積時，用歐氏幾何的知識會產生很大的誤差，而用球面幾何的知識才能真實地反映出客觀現實。球面上的幾何是與歐氏幾何不同的幾何，所以叫做非歐幾何。非歐幾何往往也有很重要的實際應用價值，也是我們應該學習的重要理論。球面上的幾何與歐氏幾何有不相同之處，但他們之間也有一些共同特徵。
球面上的幾何與歐氏幾何的共同特徵
兩種幾何的這些相同之處，說明它們之間應該有某種內在的聯繫。
首先分析一下球面三角形的面積公式
把這個公式改寫成
這個等式的左端稱爲球面三角形的角超，它反映出球面上的幾何與平面幾何的差距。 在平面幾何中三角形三內角之和等於，角超等於零。 在球面上的幾何中角超大於零。
不難看出當球面半徑R無限增大時，球面逐漸趨向於平面，越來越小，即三角形的角超越來越小，球面三角形逐漸趨向於平面三角形，球面幾何的性質逐漸接近於平面幾何的性質。所以我們可以說：
當球面半徑趨向於無窮大時，球面上的幾何以平面幾何爲極限。
因爲地球的半徑非常大，當我們研究的範圍相對於地球半徑很小時，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面幾何的知識來代替球面幾何知識，所產生的誤差很小。
