一般地,對於函數y =f(x),x1,x2是其定義域內不同的兩點,那麼函數的變化率可用式表示,我們把這個式子稱爲函數f(x)從x1到x2的平均變化率,習慣上用表示,即平均變化率
上式中的值可正可負,但不爲0.f(x)爲常數函數時,
瞬時速度:
如果物體的運動規律是s=s(t),那麼物體在時刻t的瞬時速度v就是物體在t到這段時間內,當時平均速度的極限,即
若物體的運動方程爲s=f(t),那麼物體在任意時刻t的瞬時速度v(t)就是平均速度v(t,d)爲當d趨於0時的極限.
函數y=f(x)在x=x0處的導數的定義:
一般地,函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是,我們稱它爲函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作或,即。
導函數:
如果函數y =f(x)在開區間(a,6)內的每一點都可導,則稱在(a,b)內的值x爲自變量,以x處的導數稱爲f(x爲函數值的函數爲fx)在(a,b)內的導函數,簡稱爲f(x)在(a,b)內的導數,記作f′(x)或y′.即f′(x)=
切線及導數的幾何意義:
(1)切線:PPn爲曲線f(x)的割線,當點Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲線f(x)趨近於點P(x0,f(x0))時,割線PPn趨近於確定的位置,這個確定的位置的直線PT稱爲點P處的切線。
(2)導數的幾何意義:函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k=。
瞬時速度特別提醒:
①瞬時速度實質是平均速度當時的極限值.
②瞬時速度的計算必須先求出平均速度,再對平均速度取極限,
函數y=f(x)在x=x0處的導數特別提醒:
①當時,大學聯考化學,比值的極限存在,則f(x)在點x0處可導;若的極限不存在,則f(x)在點x0處不可導或無導數.
②自變量的增量可以爲正,也可以爲負,還可以時正時負,但.而函數的增量可正可負,也可以爲0.
③在點x=x0處的導數的定義可變形爲:
導函數的特點:
①導數的`定義可變形爲:
②可導的偶函數其導函數是奇函數,而可導的奇函數的導函數是偶函數,
③可導的周期函數其導函數仍爲周期函數,
④並不是所有函數都有導函數.
⑤導函數與原來的函數f(x)有相同的定義域(a,b),且導函數在x0處的函數值即爲函數f(x)在點x0處的導數值.
⑥區間一般指開區間,因爲在其端點處不一定有增量(右端點無增量,左端點無減量).
導數的幾何意義(即切線的斜率與方程)特別提醒:
①利用導數求曲線的切線方程.求出y=f(x)在x0處的導數f′(x);利用直線方程的點斜式寫出切線方程爲y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函數在x= x0處可導,則圖象在(x0,f(x0))處一定有切線,但若函數在x= x0處不可導,則圖象在(x0,f(x0))處也可能有切線,即若曲線y =f(x)在點(x0,f(x0))處的導數不存在,但有切線,則切線與x軸垂直.
③注意區分曲線在P點處的切線和曲線過P點的切線,前者P點爲切點;後者P點不一定爲切點,P點可以是切點也可以不是,一般曲線的切線與曲線可以有兩個以上的公共點,
④顯然f′(x0)>0,切線與x軸正向的夾角爲銳角;f′(x0)<o,切線與x軸正向的夾角爲鈍角;f(x0)=0,切線與x軸平行;f′(x0)不存在,切線與y軸平行.