一、分解因式
1.2x4y2-4x3y2+10xy4。
2. 5xn+1-15xn+60xn-1。
4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2
5. x4-1
6.-a2-b2+2ab+4分解因式。
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
11.x2-2x-8
12.3x2+5x-2
13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
15.把多項式3x2+11x+10分解因式。
16.把多項式5x2―6xy―8y2分解因式。
二證明題
17.求證：32000-431999+1031998能被7整除。
18.設 爲正整數，且64n-7n能被57整除，證明： 是57的倍數.
19.求證：無論x、y爲何值， 的值恆爲正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三 求值。
21.已知a,b,c滿足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .
22.已知x2+3x+6是多項式x4-6x3+mx2+nx+36的一個因式，試確定m,n的值，並求出它的其它因式。
因式分解精選練習答案
一分解因式
1. 解：原式=2xy2x3-2xy22x2+2xy25y2
=2xy2 (x3-2x2+5y2)。
提示：先確定公因式，找各項係數的最大公約數2;各項相同字母的最低次冪xy2，即公因式2xy2，再把各項的公因式提到括號外面，把多項式寫成因式的積。
2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次冪是xn-1，提公因式時xn+1提取xn-1後爲x2，xn提取xn--1後爲x。
解：原式=5 xn--1x2-5xn--13x+5xn--112
=5 xn--1 (x2-3x+12)
3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)
=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)
提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)
立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)
所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)
4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2
=(ax+bx-ay+by)2[
提示：將(a+b)x和(a-b)y視爲 一個整體。
5.解：原式=( x2+1)( x2-1)
=( x2+1)(x+1)(x-1)
提示：許多同學分解到(x2+1)( x2-1)就不再分解了，因式分解必須分解到不能再分解爲止。
6.解：原式=-(a2-2ab+b2-4)
=-(a-b+2)(a-b-2)
提示：如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。但也不能見負號就先提，要對全題進行分析.防止出現諸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤。
7. 解： 原式= x4-x3-(x-1)
= x3(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x3-1)
=(x-1)2(x2+x+1)
提示：通常四項或者以上的因式分解，分組分的要合適，否則無法分解。另外，本題的結果不可寫成(x-1)(x-1)( x2+x+1),能寫成乘方的形式的，一定要寫成乘方的形式。*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)( x2+x+1)
8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4
=y2(x+y-6)2-y4
=y2[(x+y-6)2-y2]
=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)
= y2(x+2y-6)(x-6)
9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4
=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]
=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)
= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=(a2+b2 +2ab)+2bc+2ac+c2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=(a+b+c)2
提示：*將(a+b)視爲 1個整體。
11.解：原式=x2-2x+1-1-8 *
=(x-1)2-32
=(x-1+3)(x-1-3)
= (x+2)(x-4)
提示：本題用了配方法，將x2-2x加上1個1又減了一個1，從而構成完全平方式。
12.解：原式=3(x2+ x)-2
=3(x2+ x+ - )-2 *
=3(x+ )2-3 -2
=3(x+ )2-
=3[(x+ )2- ]
=3(x+ + )(x+ - )
=3(x+2)(x- )
=(x+2)(3x-1)
提示：*這步很重要，根據完全平方式的結構配出來的。對於任意二次三項式ax2+bx+c(a0)可配成a(x+ )2+ .
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=( x2+5x+4)( x2+5x+6)+1
令x2+5x=a,則 原式=(a+4)(a+6)+1
=a2+10a+25
=(a+5)2
=(x2+5x+5)
提示：把x2+5x看成一個整體。
14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
=( x2+5x+6)( x2+5x+4)-120
令 x2+5x=m, 代入上式,得
原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96
=(m+16)(m-6)=( x2+5x+16)( x2+5x-6)=( x2+5x+16)(x+6)(x-1)
提示：把x2+5x看成一個整體。
15.解：原式=(x+2)(3x+5)
提示：把二次項3x2分解成x與3x(二次項一般都只分解成正因數)，常數項10可分成110=-1(-10)=25=-2(-5)，其中只有11x=x5+3x2。
說明：十字相乘法是二次三項式分解因式的一種常用方法，特別是當二次項的係數不是1的時候，給我們的分解帶來麻煩，這裏主要就是講講這類情況。分解時，把二次項、常數項分別分解成兩個數的積，並使它們交叉相乘的積的各等於一次項。需要注意的.是:⑴如果常數項是正數，則應把它分解成兩個同號的因數，若一次項是正，則同正號;若一次項是負，則應同負號。⑵如果常數項是負數，則應把它分解成兩個異號的因數，交叉相乘所得的積中，絕對值大的與一次項的符號相同(若一次項是正，則交叉相乘所得的積中，絕對值大的就是正號;若一次項是負，則交叉相乘所得的積中，絕對值大的就是負號)。
ax c
二次項 常數項
bx d
adx+bcx=(ad+bc)x 一次項
ab x2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)
16. 解：原式=(x-2y)(5x+4y)
x -2y
5x 4y
-6xy
二證明題
17.證明： 原式=31998(32-43+10)= 319987，
能被7整除。
18.證明：
=8(82n-7n)+87n+7n+2
=8(82n-7n)+7n(49+8)
=8(82n-7n)+57 7n
是57的倍數.
19.證明：
=4 x2-12x+9+9 y2+30y+25+1
=(2x-3) 2+(3y+5) 2+1
1.
20.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0
x2-4x+4+y2+6y+9=0
(x-2) 2+(y+3) 2=0
(x-2) 20, (y+3) 20.
x-2=0且y+3=0
x=2,y=-3
三 求值。
21.解：∵a-b=8
a=8+b
又ab+c2+16=0
即(b+8)b+c2+16=0
即(b+4)2+c2=0
又因爲，(b+4) 20，C20,
b+4=0,c=0,
b=-4,c=0,a=b+8=4
a+b+c=0.
22. 解：設它的另一個因式是x2+px+6,則
X4-6x3+mx2+nx+36
=(x2+px+6)(x2+3x+6)
=x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36
