(一)教學目標
1.知識與技能:通過實例理解等比數列的概念;探索並掌握等比數列的通項公式;理解這種數列的模型應用,體會等比數列與指數函數的關係.
2.過程與方法:通過豐富實例抽象出等比數列模型,經歷由發現幾個具體數列的等比關係,歸納出等比數列的定義;通過與等差數列的通項公式的推導類比,探索等比數列的通項公式;通過與指數函數的圖象比較,探索等比數列的通項公式的圖象特徵及與與指數函數的關係。通過例題體會通項公式與方程、方程組之間的聯繫。
3.情態與價值:感受數列是反映現實生活的模型,體會數學是來源於現實生活,並應用於現實生活的,培養學生從實際問題中抽象出數列模型的能力.
(二)教學重、難點
重點:等比數列的定義和通項公式
難點:等比數列通項公式的推導過程
(三)學法與教學用具
學法:首先由幾個具體實例抽象出等比數列的模型,從而歸納出等比數列的定義;與等差數列通項公式的'推導類比,推導等比數列通項公式,通過與指數函數的圖象比較,探索等比數列的通項公式的圖象特徵及與指數函數的關係。
教學用具:投影儀
(四)教學設想
首先先創設情境,從具體四個實例引入新課,得到四組數列;通過類比等差數列得出等比數列的定義;類比等差中項得出等比中項;探究首項和公比是決定一個等比數列的必要條件;類比等差數列的通項公式得出等比數列通項公式;例題鞏固;等比數列的對稱性;探究等比數列與指數函數的關係,小結。
(五)教學過程
Ⅰ.課題導入
1、複習:等差數列的定義:一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,那麼這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做等差數列的公差;公差通常用字母d表示
-=d,(n2,nN)
等差數列是一類特殊的數列,在現實生活中,除了等差數列,我們還會遇到下面一類特殊的數列。
2、[創設情景]解答下列問題(課本P41頁的4個例子):【多媒體展示4個問題】
①觀察圖書P54 2.4-1,細胞的分裂有什麼規律,你能寫出一個數列來表示細胞的分裂的個數嗎?
【1,2,4,8,16,】
②《莊子》中有這樣的論述一尺之錘,日取其半,萬世不竭。你能用現代語言敘述這段話嗎?若把一尺之錘看成單位1,那麼日取其半會得到一個怎樣的數列?
【1,,,,,】
③一種計算機病毒可以查找計算機中的地址簿,通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱爲第一輪,郵件接收者發送病毒稱爲第二輪,依次類推。假設每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機,那麼在不重複的情況下,你能寫出一個數列描述這種病毒每一輪感染的計算機數嗎?
【1,20,,,,】
④我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式除了單利,還有一種支付利息的方式――複利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計算下一期的利息,也就是通常說的利滾利。
學生觀察書上的表格,列出5年內各年末本利和,說說它們是怎樣得到的?
【,,,,,】
3、[探索研究]問題:【多媒體展示問題】
(1)、請同學們回憶數列的等差關係和等差數列的定義,並仔細觀察一下,以上①、②、③、④四個數列是等差數列嗎?若不是,看看它們有什麼共同特徵?該叫什麼數列呢?
【共同特點:從第二項起,每一項與前一項的比都等於同一個常數。即具有等比關係】
(2)、如果我們將具有這樣特點的數列稱之爲等比數列,那麼你能給出等比數列一個什麼樣的定義?可類比等差數列完成。
Ⅱ.講授新課
1.等比數列:一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,那麼這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比;公比通常用字母q表示(q0),即:=q(q0)。
與等差數列定義區別在哪裏?
1從第二項起與前一項之比爲常數(q)
{}成等比數列=q(,q0)
2隱含:任一項
3q= 1時,{an}爲常數。
2、類比等差中項的定義【多媒體展示定義】,得等比中項
若三個 數a,A,b組成的等差數列,則A叫做a與b的等差中項。且,或A-=-A由此可可得:成等差數列
類比等差中項的概念,請學生自己給出等比中項的概念。
如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那麼G叫做a與b的等差中項。
這時a、b的符號有什麼特點?你能用a與b表示G嗎?
這時,a,b一定同號,G2=ab
與等差數列等差中項區別在哪裏?
3、探究【多媒體展示問題】:決定一個等比數列的必要條件
(1)既是等差數列又是等比數列的數列存在嗎?如果存在,你能舉出例子嗎?
(2)寫出一個首項爲1的等比數列的前5項,同桌的互相比較是否相同?
寫出一個公比爲2的等比數列的前5項,同桌的互相比較是否相同?
(3)兩個數列的任一項{an}及公比q相同,則這兩個數列相同嗎?
(4)若兩個等比數列相同,需要什麼條件?
【學生先完成,討論交流,解答完成】
探究目的是爲了說明首項和公比是決定一個等比數列的必要條件,爲等比數列的通項公式的推導做準備。
4.問題:回顧等差數列的通項公式的推導過程【多媒體展示推導過程】,你能推導等比數列的通項公式嗎?【學生分三組分別就三種方法完成,學生上臺板書過程】
等比數列的通項公式1:
方法1:
由等比數列的定義,有:
;;;
方法2:由=====q,
得
觀察上式,每一道式子裏,項的下標與q的指數,你能發現什麼共同的特徵嗎?
【項的下標與q的指數的和都是n】
等比數列的通項公式2:
方法3:由=====q,
得:=q,=q,=q,==q
= qn-1
等差數列與等比數列的通項公式區別在哪裏?
5、[範例講解]
例1P58例3【多媒體展示例題】一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18,求它的第1項和第2項。
解:設這個等比數列的第一項是a1,公比q,
那麼a1q2=12 ,a1q3=18
解得:a1=q=
a2=8
例2、課本P57例1、【多媒體展示例題】某種放射性物質不斷變化爲其他物質,每經過一年剩留的這種物質是原來的84%。這種物質的的半衰期爲多少(精確到1年)?
解:設這種物質最初的質量是1,經過n年,剩餘量是。由條件可得,數列{}是一個等比數列,其中:a1=0.84,q=0.84.
設an=0.5,則0.84n=0.5.
兩邊取對數,得nlg0.84=lg0.5.n4.
答:這種物質的的半衰期爲4年。