“平角”和“直線”
射線OA繞點O旋轉，當終止位置OC和起始位置OA成一直線時，所成的角叫做平角，如圖1。
平角的大小爲180°。
由於平角的兩邊成一條直線（圖2），如果不附加某種特殊的標誌，那麼平角的圖形很容易與直線（圖3）的圖形混淆。
爲了避免這種混淆，我們在角的內部，圍繞角的頂點畫一條小圓弧，並註上箭頭（圖4），∠AOB就表示一個平角。這樣就可以把平角的圖形和直線的圖形區別開來了。
與“平角”和“直線”這對容易混淆的概念類似的，還有“周角”與“射線”這對概念。
什麼是周角?射線OA繞點O旋轉，當終止位置與起始位置重合時，所形成的角叫做周角。這時周角的兩邊互相重合，成爲一條射線。
爲了使周角的圖形與射線的圖形區分開來，我們以O爲圓心畫一個小圓，並用箭頭表示旋轉方向，如圖5。
易混概念辨析 直角和90°
“直角”和“90°”
老師問同學：“什麼是直角?”
有的同學回答：“直角就是90°。”
這樣回答對嗎?不對。“直角”和“90°”有着本質的區別。我們先舉一個通俗的例子：
張強的體重是50千克。張強是個人，50千克是他的體重，不能把張強這個人和他的體重50千克兩個不同的概念等同起來。
直角是一個圖形，它是平角的一半。“90°”是一個量，它表示“直角”的大小。不能把一個圖形和這個圖形的大小這兩個不同的概念混淆起來。因此，正確回答“什麼是直角”應該是“直角是平角的一半”或“90°的角是直角”。
長江大橋上急駛而過的火車與橋下航行的一艘輪船運動的軌跡，可以理解爲兩條直線，這是兩條互相垂直的異面直線，它們所成的角是90°。不能把“兩條互相垂直的異面直線”和“90°”混爲一談。
電線杆與地面垂直，可以理解爲一直線垂直於一平面，它們所成的角也是90°。不能把“一直線垂直於一平面”和“90°”混爲一談。
牆壁和地面垂直，是互相垂直的兩個平面，它們所成的角仍然是90°。不能把“互相垂直的兩個平面”與“90°”相混淆。
由此可見，直角、互相垂直的二平面，這些都是圖形，它們的大小皆爲90°，這是一個量。這裏，“90°”和有關圖形的區別是十分明顯的。
與“直角”和“90°”這對容易混淆的概念類似的，“連結兩點的線段”和“兩點的距離”也是一對容易混淆的概念。前者表示線段AB，它是一個圖形。後者表示這條線段的長，它是一個量。
作爲練習，請同學們回答：
什麼叫平角，平角有多大?
什麼叫周角，周角有多大?
什麼叫半圓內的圓周角?半圓內的圓周角有多大?
易混概念辨析 幾何體和物體
“幾何體”和“物體”
在我們的現實生活中，存在着各種各樣的物體：
籃球，足球，排球……
梨子，橘子，蘋果，香蕉……
自來水管，電線杆，筆桿……
冰箱，衣櫃，金字塔，河堤……
各式各樣的建築物；
……
物體有各種性質：
輕重，軟硬，顏色，導電性……這些是物理性質；
組成的元素，氧化、還原性，溶解性……這些是化學性質；
異化作用，新陳代謝，光合作用，呼吸作用……這些是生物性質；
形狀，位置，大小，這些是物體的幾何性質。
只研究物體的形狀、位置和大小，而不研究它們的物理性質、化學性質、生物性質……這樣抽象出來的物體的表象就叫幾何體。例如，同樣大小的鉛球和木球，它們的物理性質不同，化學性質不同，但它們的形狀、大小完全相同，因此，它們是完全相同的幾何體。
整個幾何學所研究的內容，就是各種各樣幾何圖形的形狀、位置和大小關係。例如，在下面這段敘述中：
“在直線l上，自A點起，截取線段AB=a。”
“在直線l上”表示所作圖形的位置；“線段”說明所作圖形的形狀;“AB=a”表示這個圖形的大小。
又如“以O點爲圓心，r爲半徑畫圓”。其中“以O點爲圓心”表示所畫圖形的位置；“以r爲半徑”表示所畫圖形的大小；“圓”表示所畫圖形的形狀。
再如“到空間一定點O距離小於或等於定長r點的軌跡，是以定點O爲球心、半徑爲r的球”。這裏“定點O”是說明圖形的位置，“小於或等於定長r”是說明圖形的大小，“球”是說明圖形的形狀。
易混概念辨析 互斥事件和互逆事件
“互斥事件”和“互逆事件”
世界上很多事情是互相排斥的：有甲便無乙，有乙便無甲，二者不可兼而有之。例如，“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”這兩個預斷就是互相排斥的，因爲明天中午南京的天氣不可能既是晴天又是陰天，不可能在同一時間、同一地點出現又是晴天又是陰天的情形。又如，“兩球外切”與“兩球相離”也是互相排斥的，因爲當兩球球心與半徑一定後，既然它們的位置關係是外切，就不會同時又相離。
如果兩個事件A與B不能同時發生，我們就稱A與B爲互斥事件，或稱爲互不相容的事件，用符號AB=V表示。上面所講“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”就是互斥事件，“兩球外切”與“兩球相離”也是互斥事件。
工廠檢查一件產品，“產品合格”與“產品不合格”是截然相反的兩件事，對於某一件產品而言，二者必居其一，且不可兼而有之。也就是說，這件產品要麼合格，要麼不合格，不可能既合格又不合格。某同學參加一次數學競賽，不是獲勝就是失敗，不可能既是優勝者，又是失敗者。
我們把事件A與事件“非A”叫做互逆事件，又稱爲對立事件。
事件“非A”通常用表示，叫做A的逆事件。顯然，在每一次實踐中，A與不可能同時發生，又二者必居其一。事件A與B爲互逆事件用下列兩個等式表示：AB=V，A∪B=U（意即“A與B至少發生其一”)。上面所講“產品合格”與“產品不合格”，“獲勝”與“失敗”，都是互逆事件。
互斥事件與互逆事件是概率計算中需要用到的一對概念，在實際中是很有用處的。
可以看出，互逆事件必爲互斥事件。如“這件產品是合格的”與“這件產品不合格”不可能同時出現，所以它們是互逆的，也是互斥的。但是互斥事件則未必爲互逆事件。如“晴朗’與“陰天”是互斥的，但不是互逆的。因爲，不是說天氣“不晴朗”就一定是“陰天”。天氣不晴朗，可能是下雨、下雪。又如“兩球外切”與“兩球相離”是互斥的，但也不是互逆的。因爲，不能說“兩球不外切”，就一定是兩球相離。兩球不外切，還可能內切，內含，相交。
所以互逆事件是互斥事件的特例，互斥事件是互逆事件的一般形式。
易混概念辨析 餘子式和代數餘子式
“餘子式”和“代數餘子式”
行列式是解線性方程組的有力工具。但是，行列式的展開，對於二階、三階行列式來說還比較方便，而對於高於三階行列式的展開，則沒有一般規律可循。這時，把高階行列式降階，使它轉化爲較低階的行列式，則是一條可行的道路。“餘子式”和“代數餘子式”就是適應這種需要而產生的.。
把行列式中某一元素所在的行與列劃去後，剩下的元素按行列順序排列所組成的行列式，叫做原行列式中對應於這個元素的餘子式。
例如，在行列式
中，對應於元素a2的餘子式爲
設行列式中某一元素位於第i行第j列，把對應於這個元素的餘子式乘上(-1)i+j後，所得到的式子叫做原行列式中對應於這個元素的代數餘子式。
例如，在上面的行列式D中，元素a2位於第二行第一列，即i=2，j=1，則i+j=2+1=3。
所以，對應於a2的代數餘子式爲
即
下面舉一個例子，幫助大家掌握餘子式和代數餘子式的概念。
例：已知行列式
求行列式中元素-5的餘子式與代數餘子式。
解：-5的餘子式爲：
-5的代數餘子式爲：
有了餘子式和代數餘子式的概念，根據下述定理，我們就可以展開任意一個行列式。
定理：行列式等於它的任意一行（或一列）的所有元素與它們各自對應的代數餘子式的乘積的和。
下面我們舉一個例子，說明如何用這個定理展開一個行列式，從而降階求值。
例：把行列式
按第一行展開，然後進行計算。
易混概念辨析 每一個和有一個
“每一個”和“有一個”
數學是研究數量關係的科學。在數學裏，對數量用詞要予以特別謹慎。“每一個”和“有一個”，兩者僅一字之差，但意義完全不同。
如果對所討論對象每一個元素都下了判斷，那麼這樣的命題叫做“全稱命題”。“每一個”就是一種全稱量詞。全稱量詞還常與副詞“都”聯用。如“對頂角都相等”，就是“每一對對頂角都是相等的”。在數學中，常會遇到全稱命題。
例如，對於函數y=f(x)，若對每一個x，都有
f(-x)=-f(x)
我們就把函數y=f(x)稱爲奇函數。
又如，對於數列{an｝，若對於每一個自然數n，都有
an＜an+1
則稱數列{an｝爲遞增數列。
要證明一個全稱命題爲真，主要有兩種思路：
第一種是用完全歸納法，包括數學歸納法；
第二種是在所討論的對象中，挑出一個具有充分代表性的元素，然後證明它有某種性質。由於這一個具有代表性的元素有某種性質，所以所討論對象裏每一個元素也都有這一性質。
例1：從A、B、C、D、E、F六個人中選三人。(1)A、B都選；(2)A、B都不選；(3)A、B不都選。三種情形各有幾種選法?
解：(1)因爲共選三人，A、B都要選，只要再選一人就可以了。而這一人只能從C、D、E、F四人中選。所以有即4種方法。
(2)A、B都不選，那麼只能從餘下的四人中選三人，所以有即4種方法。
(3)A、B不都選，有三種可能：
“有一個”叫特稱量詞。特稱量詞還可以表示爲“有”、“存在着”、“存在一個”、“至少存在一個”。
易混概念辨析 排列數和一個排列
“排列數”和“一個排列”
“一個排列”指的是“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事。
“排列數”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數。
例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb
其中每一種都叫做一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。
與此類似的，要區分“組合數”和“一個組合”這兩個概念。
“一個組合”是指“從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素併成一組”，它不是一個數，而是具體的一件事；組合數是指從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數，它是一個數。
例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素的組合爲
ab，ac，bc
其中每一種都叫做一個組合，共有3種，而數字3就是組合數，符號表示組合數。
