六年級上冊數學人教版複習資料

一、學習目標：

1、使學生能在方格紙上用數對確定位置；

2、使學生理解分數乘法的意義，掌握分數乘法的計算法則，並能熟練地進行計算；

3、使學生理解倒數的意義，掌握求倒數的方法；

4、理解並掌握分數除法的計算方法，會進行分數除法計算；

5、理解比的意義，知道比與分數、除法的關係，並能類推出比的基本性質。能夠正確地化簡比和求比值；

6、使學生認識圓，掌握圓的特徵；理解直徑與半徑的相互關係；理解圓周率的意義，掌握圓周率的近似值。

7、使學生理解和掌握求圓的周長與面積的計算公式，並能正確地計算圓的周長與面積。

二、學習難點：

1、能用數對錶示物體的位置，正確區分列和行的順序；

2、使學生理解分數乘整數的意義，掌握分數乘整數的計算方法；

3、掌握求倒數的方法；

4、圓的周長和圓周率的意義，圓周長公式的推導過程；

5、百分數的意義，求一個數是另一個數的百分之幾的應用題；

6、理解圓周率“π”；圓面積計算公式的推導以及畫具有定半徑或直徑的圓；

7、理解比的意義。

三、知識點概念總結：

1、分數乘法：分數的分子與分子相乘，分母與分母相乘，能約分的要先約分。

2、分數乘法的計算法則：分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但分子分母不能爲零。

3、分數乘法意義：分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。一個數與分數相乘，可以看作是求這個數的幾分之幾是多少。

4、分數乘整數：數形結合、轉化化歸

5、倒數：乘積是1的兩個數叫做互爲倒數。

6、分數的倒數：找一個分數的倒數，例如3/4，把3/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子，則是4/3，3/4是4/3的倒數，也可以說4/3是3/4的倒數。

7、整數的倒數：找一個整數的倒數，例如12，把12化成分數，即12/1，再把12/1這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是1/12，12是1/12的倒數。

8、小數的倒數：

普通算法：找一個小數的倒數，例如0、25，把0、25化成分數，即1/4，再把1/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/1

9、用1計算法：也可以用1去除以這個數，例如0、25，1/0、25等於4，所以0、25的倒數4，因爲乘積是1的兩個數互爲倒數。分數、整數也都使用這種規律。

10、分數除法：分數除法是分數乘法的逆運算。

11、分數除法計算法則：甲數除以乙數（0除外），等於甲數乘乙數的倒數。

12、分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數求另一個因數。

13、分數除法應用題：先找單位1、單位1已知，求部分量或對應分率用乘法，求單位1用除法。

14、比和比例：比和比例一直是學數學容易弄混的幾大問題之一，其實它們之間的問題完全可以用一句話概括：比，等同於算式中等號左邊的式子，是式子的一種（如：a：b）；比例，由至少兩個稱爲比的式子由等號連接而成，且這兩個比的比值是相同（如：a：b=c：d）。

所以，比和比例的聯繫就可以說成是：比是比例的一部分；而比例是由至少兩個比值相等的比組合而成的。表示兩個比相等的式子叫做比例，是比的意義。比例有4項，前項後項各2個。

15、比的基本性質：比的前項和後項都乘以或除以一個不爲零的數。比值不變。比的性質用於化簡比。

比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和後項。

比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。

16、比例的性質：在比例裏，兩個外項的乘積等於兩個內項的乘積。比例的性質用於解比例。

17、比和比例的區別：

意義、項數、各部分名稱不同。比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和後項。如：a：b這是比比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。a：b=3：4這是比例。

比的基本性質和比例的基本性質意義不同、應用不同。比的性質：比的前項和後項都乘或除以一個不爲零的數。比值不變。比例的性質：在比例裏，兩個外項的乘積等於兩個內項的乘積相等。比例的性質用於解比例。聯繫：比例是由兩個相等的比組成。

18、比和比例的意義：

比的意義是兩個數的除又叫做兩個數的比，而比例的意義是表示兩個比相等的式子是叫做比例。比是表示兩個數相除，有兩項；比例是一個等式，表示兩個比相等，有四項。因此，比和比例的意義也有所不同。而且，比號沒有括號的含義而另一種形式，分數有括號的含義！

19、比和比例的聯繫：

比和比例有着密切聯繫。比是研究兩個量之間的關係，所以它有兩項；比例是研究相關聯的兩種量中兩組相對應數的關係，所以比例是由四項組成。比例是由比組成的，如果沒有兩種量的比，比例就不會存在。比例是比的發展，如果把比例式中右邊的比看成一個數，比和比例此時又可以統一起來。如果兩個比相等，那麼這兩個比就可以組成比例。成比例的兩個比的比值一定相等。

20、圓：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。

21、圓心：圓任意兩條對稱軸的交點爲圓心。注：圓心一般符號O表示

22、直徑：通過圓心，並且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

23、半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。d=2r或r=d/2。

圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

24、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

25、圓周率：圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環小數（無理數），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3、14。

直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

26、圓的面積公式：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。πr2；用字母S表示。

一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

27、周長計算公式：

已知直徑：C=πd

已知半徑：C=2πr

已知周長：D=c/π

（4）圓周長的一半：1/2周長（曲線）

（5）半圓的周長：1/2周長+直徑（π÷2+1）

28、面積計算公式：

已知半徑：S=πr2

已知直徑：S=π（d/2）2

已知周長：S=π[c÷（2π）]2

29、百分數與分數的區別：

意義不同。百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數。”它只能表示兩數之間的倍數關係，不能表示某一具體數量。因此，百分數後面不能帶單位名稱。分數是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數”。分數還可以表示兩數之間的倍數關係、

應用範圍不同。百分數在生產、工作和生活中，常用於調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中，得不到整數結果時使用。

書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式，而採用百分號“%”來表示。因此，不論百分數的分子、分母之間有多少個公約數，都不約分；百分數的分子可以是自然數，也可以是小數。

而分數的分子只能是自然數，它的表示形式有：真分數、假分數、帶分數，計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數，是假分數的要化成帶分數。任何一個百分數都可以寫成分母是100的分數，而分母是100的分數並不都具有百分數的意義、

（4）百分數不能帶單位名稱；當分數表示具體數時可帶單位名稱。

30、百分數應用：

百分數一般有三種情況：①100%以上，如：增長率、增產率等。②100%以下，如：發芽率、成長率等。③剛好100%，如：正確率，合格率等。

31、百分數的意義：

百分數只可以表示分率，而不能表示具體量，所以不能帶單位。百分數概念的形成應以學生實際生活中的事例或工農業生產中的事例引入。

32、日常應用：

每天在電視裏的天氣預報節目中，都會報出當天晚上和明天白天的天氣狀況、降水概率等，提示大家提前做好準備，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六級大風，降水概率是10%，早晚應增加衣服。20%、10%讓人一目瞭然，既清楚又簡練。

扇形統計圖

一、扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關係。也就是各部分數量佔總數的百分比(因此也叫百分比圖)。

二、常用統計圖的優點：

1、條形統計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。

2、折線統計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。

3、扇形統計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關係。(要在統計圖上寫出百分率)

三、扇形的面積大小：在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積佔圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數佔圓周角度數的百分比。)

四、應用：

1.會觀察統計圖。

2、你得到什麼數學信息?

回答①、佔總體的百分之幾;

②、佔的百分比最多，佔的百分比最少;

3、你還能提什麼數學問題：和一共佔百分之幾。

數學廣角：數與形

1、每幅圖的圓點總數都可以看作是兩個相同的數相乘的積，這些算式還可以用平方數的形式來表示。1+3=221+3+5=321+3+5+7=42得出：從1起連續奇數的和等於奇數個數的平方。

2、從2起連續偶數的和等於偶數個數的平方加偶數個數(即(n2+n)，或等於偶數個數乘比偶數個數大1的數即n×(n+1)。

圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。

2、圓周率實驗：

在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一週，求出圓的周長。發現一般規律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數（π）。

3。圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。用字母π（pai）表示。

（1）一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。圓周率π是一個無限不循環小數。在計算時，一般取π ≈ 3。14。

（2）在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3。14倍。

（3）世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。

4、圓的周長公式

5、在一個正方形裏畫一個的圓，圓的直徑等於正方形的邊長。

在一個長方形裏畫一個的圓，圓的直徑等於長方形的寬。

6、區分周長的一半和半圓的周長：

（1）周長的一半：等於圓的周長÷2

計算方法：2πr÷2即πr

（2）半圓的周長：等於圓的周長的一半加直徑。

計算方法：πr+2r

用百分數解決問題

(一)一般應用題

1、常見的百分率的計算方法：

一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。

2、求一個數是另一個數的百分之幾用一個數除以另一個數，結果寫爲百分數形式。

例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數佔男生人數的百分之幾。

列式是：15÷20=15/20=75﹪

3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題，數量關係式和分數乘法解決問題中的關係式相同：

(1)百分率前是“的”：單位“1”的量×百分率=百分率對應量

(2百分率前是“多或少”的數量關係：

單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對應量

4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。方法與分數的方法相同。

解法：(1)方程：根據數量關係式設未知量爲X，用方程解答。

(2)算術(用除法)：百分率對應量÷對應百分率=單位“1”的量

5、求一個數比另一個數多(少)百分之幾的方法與分數的方法相同。只是結果要寫爲百分數形式。看百分率前有沒有比多或比少的問題;

百分率前是“多或少”的關係式：

(比少)：具體量÷(1-百分率)=單位“1”的量;

例如:大米有50千克，比麪粉樹少50﹪，麪粉有多少千克。

列式是：50÷(1-50﹪)

(比多)：具體量÷(1+百分率)=單位“1”的量

例如:工人做110個零件，比原計劃多做了10﹪，原計劃做多少個?

列式是：110÷(1+10﹪)

6、求一個數比另一個數多百分之幾的方法：方法與分數的方法相同。

用兩個數的相差量÷單位“1”的量=百分之幾

即①求一個數比另一個數多百分之幾：用(大數–小數)÷另一個數(比那個數就除以那個數)，結果寫爲百分數形式。

甲比乙多幾分之幾的問題，方法A，(甲-乙)÷乙(建議用)

方法B，甲÷乙-100﹪

例如：老師計劃改40本作業，實際改了50本，實際比計劃多改了百分之幾?

列式是：(50-40)÷40=0.25=25﹪

②求一個數比另一個數少幾分之幾：用(大數–小數)÷另一個數(比那個數就除以那個數)，結果寫爲百分數形式。

乙比甲少幾分之幾的問題，方法A,(甲-乙)÷甲(建議用)

方法B，100﹪-乙÷甲

例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾?

(100-90)÷100=0.1=10﹪

說明：多百分之幾不等於少百分之幾，因爲單位一不同。

7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷(1±a﹪)

8、求價格先降a﹪又上升a﹪後的價格：1×(1-a﹪)×(1+a﹪)(假設原來的價格爲“1”。求變化幅度(求降價後的價格是漲價後價格的百分之幾)用1-降價後又上升的百分率。

1、圓的定義：

幾何說：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱爲圓心，定長稱爲半徑。

軌跡說：平面上一動點以一定點爲中心，一定長爲距離運動一週的軌跡稱爲圓周，簡稱圓。

集合說：到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。

2、圓弧和絃：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱爲優弧，小於半圓的弧稱爲劣弧，半圓既不是優弧，也不是劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。圓中最長的弦爲直徑。

3、圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

4、內心和外心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱爲內心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

5、扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱爲圓錐的母線。

6、圓的種類：整體圓形，弧形圓，扁圓，（4）橢形圓，（5）纏絲圓，（6）螺旋圓，（7）圓中圓、圓外圓，（8）重圓，（9）橫圓，（10）豎圓，（11）斜圓。

7、圓和點的位置關係：圓和點的位置關係：以點P與圓O的爲例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O內，0≤PO

8、百分數的由來：200多年前，瑞士數學家歐拉，在《通用算術》一書中說，要想把7米長的一根繩子分成三等份是不可能的，因爲找不到一個合適的數來表示它。如果我們把它分成三等份，每份是7/3米，就是一種新的數，我們把它叫做分數。而後，人們在分數的基礎上又以100做基數，發明了百分數。

數與代數

一、分數乘法

（一）分數乘法的計算法則：

1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）

2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

3、爲了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。

注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。

（二）規律：（乘法中比較大小時）

一個數（0除外）乘大於1的數，積大於這個數。

一個數（0除外）乘小於1的數（0除外），積小於這個數。

一個數（0除外）乘1，積等於這個數。

（三）分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。

（四）整數乘法的交換律、結合律和分配律，對於分數乘法也同樣適用。

乘法交換律：a×b=b×a

乘法結合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：（a+b）×c=ac+bcac+bc=（a+b）×c

二、分數乘法的解決問題（詳細見重難點分解）

（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）

1、找單位“1”：在分率句中分率的前面；或“佔”、“是”、“比”的後面

2、求一個數的幾倍：一個數×幾倍；求一個數的幾分之幾是多少：一個數×。

3、寫數量關係式技巧：

“的”相當於“×”（乘號）

“佔”、“是”、“比”“相當於”相當於“=”（等號）

分率前是“的”：

單位“1”的量×分率=分率對應量

分率前是“多或少”的意思：

單位“1”的量×（1±分率）=分率的對應量

分數除法

（一）倒數

1、倒數的意義：乘積是1的兩個數互爲倒數。

強調：互爲倒數，即倒數是兩個數的關係，它們互相依存，倒數不能單獨存在。（要說清誰是誰的倒數）。

2、求倒數的方法：（原數與倒數之間不要寫等號哦）

求分數的倒數：交換分子分母的位置。

求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。

求帶分數的倒數：把帶分數化爲假分數，再求倒數。

（4）求小數的倒數：把小數化爲分數，再求倒數。

3、因爲1×1=1，1的倒數是1；

因爲找不到與0相乘得1的數0沒有倒數。

4、對於任意數a（a≠0），它的倒數爲1/a；非零整數a的倒數爲1/a；分數b/a的倒數是a/b；

5、真分數的倒數大於1；假分數的倒數小於或等於1；帶分數的倒數小於1。

（二）分數除法

1、分數除法的意義：

分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。

2、分數除法的計算法則：除以一個不爲0的數，等於乘這個數的倒數。

3、規律（分數除法比較大小時）：

當除數大於1，商小於被除數；

當除數小於1（不等於0），商大於被除數；

、當除數等於1，商等於被除數。

4、“[]”叫做中括號。一個算式裏，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號裏面的，再算中括號裏面的。

（三）分數除法解決問題（詳細見重難點分解）

（未知單位“1”的量（用除法）：已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。）

1、數量關係式和分數乘法解決問題中的關係式相同：

分率前是“的”：

單位“1”的量×分率=分率對應量

分率前是“多或少”的意思：

單位“1”的量×（1分率）=分率對應量

2、解法：（建議：用方程解答）

方程：根據數量關係式設未知量爲x，用方程解答。

算術（用除法）：分率對應量÷對應分率=單位“1”的量

3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就用一個數÷另一個數

4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾：

①求多幾分之幾：大數÷小數–1

②求少幾分之幾：1—小數÷大數

或①求多幾分之幾（大數—小數）÷小數

②求少幾分之幾：（大數—小數）÷大數

（四）比和比的應用

1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。

2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示）。

例如

15：10=15÷10=1、5

∶∶∶∶

前項比號後項比值

3、比可以表示兩個相同量的關係，即倍數關係。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。

例：路程÷速度=時間。

4、區分比和比值

比：表示兩個數的關係，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。

比值：相當於商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。

5、根據分數與除法的關係，兩個數的比也可以寫成分數形式。

6、比和除法、分數的聯繫：

7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關係。

8、根據比與除法、分數的關係，可以理解比的後項不能爲0。

體育比賽中出現兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關係。

（五）比的基本性質

1、根據比、除法、分數的關係：

商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0除外），分數值不變。

比的基本性質：比的前項和後項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。

2、最簡整數比：比的前項和後項都是整數，並且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。

3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。

4、化簡比：

用比的基本性質化簡

①用比的前項和後項同時除以它們的公因數。

②兩個分數的比：用前項後項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。

③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。

用求比值的方法。注意：最後結果要寫成比的形式。

5、按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

如：已知兩個量之比爲，則設這兩個量分別爲。

6、路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則爲5：4）

工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。

（如：工作總量相同，工作時間比是3：2，工作效率比則是2：3）

百分數

（一）百分數的意義和寫法

1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。

百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。

2、百分數和分數的主要聯繫與區別：

聯繫：都可以表示兩個量的倍比關係。

區別：

①意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關係，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；

分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關係，表示具本數時可以帶單位。

②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；

分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。

3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子後面加上“%”來表示。

（二）百分數與小數的互化：

1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分號。

2、百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。

（三）百分數的和分數的互化

1、百分數化成分數：

先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否100的分數，能約分要約成最簡分數。

2、分數化成百分數：

①用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。

②先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。

（四）常見的分數與小數、百分數之間的互化

分數乘法

（一）分數乘法的意義：

1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。都是求幾個相同加數的和的簡便運算。

例如：65×5表示求5個65的和是多少？1/3×5表示求5個1/3的和是多少？

2、一個數乘分數的意義是求一個數的幾分之幾是多少。

例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少。

（二）、分數乘法的計算法則：

1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）

2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。

3、爲了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。（儘量約分，不會約分的就不約，常考的質因數有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4、小數乘分數，可以先把小數化爲分數，也可以把分數化成小數再計算（建議把小數化分數再計算）。

（三）、乘法中比較大小的規律

一個數（0除外）乘大於1的數，積大於這個數。

一個數（0除外）乘小於1的數（0除外），積小於這個數。

一個數（0除外）乘1，積等於這個數。

（四）、分數混合運算的.運算順序和整數的運算順序相同。整數乘法的交換律、結合律和分配律，對於分數乘法也同樣適用。

乘法交換律：a × b = b × a

乘法結合律：（a × b）×c = a ×（b × c）

乘法分配律：（a + b）×c = a c + b c

圓的面積

1、圓的面積：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。用字母S表示。

2、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。

3、圓面積公式的推導：

（1）、用逐漸逼近的轉化思想：體現化圓爲方，化曲爲直；化新爲舊，化未知爲已知，化複雜爲簡單，化抽象爲具體。

（2）、把一個圓等分（偶數份）成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。

（3）、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關係。

4、環形的面積：

一個環形，外圓的半徑是R，內圓的半徑是r。（R=r+環的寬度。）

S環= πR？—πr？或

環形的面積公式：S環=π（R？—r？）。

5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。

而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。

例如：

在同一個圓裏，半徑擴大3倍，那麼直徑和周長就都擴大3倍，而面積擴大9倍。

6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等於這比的平方。

例如：

兩個圓的半徑比是2∶3，那麼這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9

7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π

8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。

9、確定起跑線：

（1）、每條跑道的長度=兩個半圓形跑道合成的圓的周長+兩個直道的長度。

（2）、每條跑道直道的長度都相等，而各圓周長決定每條跑道的總長度。（因此起跑線不同）

（3）、每相鄰兩個跑道相隔的距離是：2×π×跑道的寬度

（4）、當一個圓的半徑增加a釐米時，它的周長就增加2πa釐米；當一個圓的直徑增加a釐米時，它的周長就增加πa釐米。

11、常用各π值結果：

2π = 6。28 3π = 9。42

4π = 12。56 5π = 15。7

6π = 18。84 7π = 21。98

8π = 25。12 9π = 28。26

10π = 31。4 16π = 50。24

25π = 78。5 36π = 113。04

64π = 200。96 96π = 301。44

百分數

一、百分數的意義和寫法

(一)、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。

(二)、百分數和分數的主要聯繫與區別：

聯繫：都可以表示兩個量的倍比關係。

區別：①、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關係，不能表示具體的數量，所以不能帶單位;

分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關係，表示具體數時可以帶單位。

②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數;

分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。

3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子後面加上“%”來表示，讀作百分之。

二、百分數和分數、小數的互化

(一)百分數與小數的互化：

1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位(數位不夠用0補足)，同時在後面添上百分號。

2.百分數化成小數：把小數點向左移動兩位(數位不夠用0補足)，同時去掉百分號。

(二)百分數的和分數的互化

1、百分數化成分數：先把百分數改寫成分母是100的分數，能約分要約成最簡分數。

2、分數化成百分數：

①用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。

②先把分數化成小數(除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。(建議用這種方法)

(三)常見分數小數百分數之間的互化;

認識圓

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對摺兩次，摺痕相交於圓中心的一點，這一點叫做圓心。

一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等。

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。

把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。

直徑是一個圓內最長的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同圓或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7。在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的。

用字母表示爲：d=2r或r=d/2

8、軸對稱圖形：

如果一個圖形沿着一條直線對摺，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。

摺痕所在的這條直線叫做對稱軸。（經過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有1一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

只有2條對稱軸的圖形是：長方形

只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形

只有4條對稱軸的圖形是：正方形

有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環。

(一)、比的意義

1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。

2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。

例如15：10=15÷10=3/2(比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示)

15∶10=3/2

前項比號後項比值

3、比可以表示兩個相同量的關係，即倍數關係。例：長是寬的幾倍。

也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：路程÷速度=時間。

4、區分比和比值

比：表示兩個數的關係，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。

比值：相當於商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。

5、根據分數與除法的關係，兩個數的比也可以寫成分數形式。

6、比和除法、分數的聯繫：

比前項比號“：”後項比值

除法被除數除號“÷”除數商

分數分子分數線“—”分母分數值

7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關係。

8、根據比與除法、分數的關係，可以理解比的後項不能爲0。

9、體育比賽中出現兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關係。

10、求比值：用前項除以後項，結果是寫爲分數(不會約分的就不約分)

例如：15∶10=15÷10=15/10=3/2

(二)、比的基本性質

1、根據比、除法、分數的關係：

商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外)，商不變。

分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時(0除外)，分數值不變。

比的基本性質：比的前項和後項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。

2、最簡整數比：比的前項和後項都是整數，並且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。

3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。

4.化簡比：

(2)用求比值的方法。注意：最後結果要寫成比的形式。

例如：15∶10=15÷10=15/10=3/2=3∶2

還可以15∶10=15÷10=3/2最簡整數比是3∶2

5、比中有單位的，化簡和求比值時要把單位化相同再化簡和求比值，結果沒有單位。

6.按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法

1，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉化成分率。要先求出總份數，再求出幾份佔總份數的幾分之幾，最後再用總量分別乘幾分之幾。

例如：有糖水25克，糖和水的比爲1:4，糖和水分別有幾克?

1+4=5糖佔1/5用25×1/5得到糖的數量，水佔4/5用25×4/5得到水的數量。

2，用份數解：要先求出總份數，再求出每一份是多少，最後分別求出幾份是多少。

例如：有糖水25克，糖和水的比爲1:4，糖和水分別有幾克?

糖和水的份數一共有1+4=5一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

圓的認識

一、認識圓形

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對摺兩次，摺痕相交於圓中心的一點，這一點叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等.

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個圓內最長的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同一個圓內或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的1/2。用字母表示爲：d=2r或r=d/2

8、軸對稱圖形：如果一個圖形沿着一條直線對摺，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。摺痕所在的這條直線叫做對稱軸。

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有1條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對稱軸的圖形是：長方形;只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形;只有4條對稱軸的圖形是：正方形;有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環。

11、畫對稱軸要用鉛筆畫，同時要用尺子(三角板)畫出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點。

二、圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。

2、圓周率實驗：(滾動法)在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一週，得到圓的周長。或者用線圍繞圓形紙片一週量出線的長度就是圓的周長(測繩法)。

發現，圓周長與它直徑的比值(圓周長除以直徑)是一個固定數即3倍多一點，我們把它叫做圓周率用字母π表示。

3、圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai)表示。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。

(1)、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。圓周率π是一個無限不循環小數。在計算時，一般取π≈3.14。

(2)、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。

4、圓的周長公式：圓的周長等於圓周率乘直徑用字母表示C=πd

(1)、已知圓的周長求直徑用圓的周長除以圓周率，用字母表示

d=C÷π或圓的周長等於2乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr

(2)、已知圓的周長求半徑用圓的周長除以圓周率的2倍，

用字母表示r=C÷2π(r=C/2π)

5、在一個正方形裏畫一個的圓，圓的直徑等於正方形的邊長。在一個長方形裏畫一個的圓，圓的直徑等於長方形的寬。

6、區分周長的一半和半圓的周長：

(1)、周長的一半：等於圓的周長÷2

計算方法：2πr÷2即C半=πr

(2)半圓的周長：等於圓的周長的一半加直徑。計算方法：半圓的周長=5.14r(推導過程C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r)

三、圓的面積

1、圓的面積：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。用字母S表示。

2、圓面積公式的推導：(1)把一個圓等分(偶數份)成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。長方形的長相當於圓的周長的一半，長方形的寬相當於圓的半徑。

(2)拼出的圖形與圓的周長和半徑的關係。

圓的半徑=長方形的寬

圓的周長的一半=長方形的長

3、圓面積的計算方法：因爲：長方形面積=長×寬

所以：圓的面積=圓周長的一半×圓的半徑

即S圓=C÷2×r=πr×r=πr

圓的面積公式：S圓=πr→r=S圓÷π

4、環形的面積：一個環形，外圓的半徑用字母R表示，內圓的半徑用字母r表示。(R=r+環的寬度.)

S環=πR-πr或環形的面積公式：S環=π(R-r)(建議用這個公式)。

5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。

例如：在同一個圓裏，半徑擴大3倍，那麼直徑和周長就都擴大3倍，而面積擴大3的平方倍得到9倍。

6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比;而面積比等於這比的平方。

例如：兩個圓的半徑比是2∶3，那麼這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9

7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π

8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。

9、常用各π值結果：π=3.14;2π=6.28;5π=15.7

10、外方內圓(內切圓)公式S=0.86r推導過程：S=S正-S圓=d-πr=2r×2r-πr=4r-πr=r×(4-π)=0.86r

11、外圓內方(外切圓)公式S=1.14r推導過程：S=S圓-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×(π-2)=1.14r(把正方形看成兩個面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑)

12、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關。

13、S扇=S圓×n/360;S扇環=S環×n/360

14、扇形也是軸對稱圖形，有一條對稱軸。

15、常見半徑與直徑的周長和麪積的結果。

半徑半徑的平方直徑周長面積

1126.283.14

24412.5612.56

39618.8428.26

416825.1250.24

5251031.478.5

6361237.68113.04

7491443.96153.86

8641650.24200.96

9811856.52254.34

101002062.8314

1.52.2539.427.065

2.56.25515.719.625

3.512.25721.9838.465

4.520.35928.2663.585

5.530.251134.5494.985

7.556.251547.1176.625

扇形統計圖

一、扇形統計圖的意義：

用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關係。

也就是各部分數量佔總數的百分比（因此也叫百分比圖）。

二、常用統計圖的優點：

1、條形統計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。

2、折線統計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。

3、扇形統計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關係。

三、扇形的面積大小：

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積佔圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數佔圓周角度數的百分比。）