有關奧數行程問題

AB兩地相距30千米，甲乙丙三人同時從A到B，而且要求同時到達。現在有兩輛自行車，但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，後來的人可以接着騎。已知騎自行車的平均速度爲每小時20千米，甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙每小時4千米，那麼三人需要多少小時可以同時到達?

解答：

因爲乙丙步行速度相等，所以他們兩人步行路程和騎車路程應該是相等的。對於甲因爲他步行速度快一些，所以騎車路程少一點，步行路程多一些。

現在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行1千米要用1/5小時，乙多騎車1千米用1/20小時，甲多用1/5-1/20=3/20小時。

甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小時。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/(3/20=1/3.

這樣設乙丙步行路程爲3份，甲步行4份。如下圖安排：

這樣甲騎車行騎車的3/5，步行2/5.

所以時間爲：30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小時。

奧數一直是小升中階段的學習的一個重點。而作爲奧數七大模塊之一的行程問題一直是奧數學習的一個重點和難點。其中的流水問題被稱爲行程問題中的特殊情況，是值得深究的。

流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在國小數學中涉及到的題目，一般是勻速運動的問題。這類問題的主要特點是，水速在船逆行和順行中的作用不同。

流水問題有如下兩個基本公式：

順水速度=船速+水速 （1）

逆水速度=船速-水速 （2）

這裏，順水速度是指船順水航行時單位時間裏所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時間裏所行的路程；水速是指水在單位時間裏流過的路程。

公式（1）表明，船順水航行時的速度等於它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因爲順水時，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進，同時這艘船又在按着水的流動速度前進，因此船相對地面的實際速度等於船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時的速度等於船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據加減互爲逆運算的原理，由公式（1）可得：

水速=順水速度-船速 （3）

船速=順水速度-水速 （4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度 （5）

船速=逆水速度+水速 （6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實際速度和水速這三者中的任意兩個，就可以求出第三個。

另外，已知某船的逆水速度和順水速度，還可以求出船速和水速。因爲順水速度就是船速與水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據和差問題的算法，可知：

船速=（順水速度+逆水速度）÷2 （7）

水速=（順水速度-逆水速度）÷2 （8）

*例1 一隻漁船順水行25千米，用了5小時，水流的速度是每小時1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適於高年級程度）

解：此船的順水速度是：

25÷5=5（千米/小時）

因爲“順水速度=船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順水速度-水速”。

5-1=4（千米/小時）

綜合算式：

25÷5-1=4（千米/小時）

答：此船在靜水中每小時行4千米。

*例2 一隻漁船在靜水中每小時航行4千米，逆水4小時航行12千米。水流的速度是每小時多少千米？（適於高年級程度）

解：此船在逆水中的速度是：

12÷4=3（千米/小時）

因爲逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：

4-3=1（千米/小時）

答：水流速度是每小時1千米。

*例3 一隻船，順水每小時行20千米，逆水每小時行12千米。這隻船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適於高年級程度）

解：因爲船在靜水中的速度=（順水速度+逆水速度）÷2，所以，這隻船在靜水中的速度是：

（20+12）÷2=16（千米/小時）

因爲水流的速度=（順水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：

（20-12）÷2=4（千米/小時）

答略。

*例4 某船在靜水中每小時行18千米，水流速度是每小時2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時？（適於高年級程度）

解：此船逆水航行的速度是：

18-2=16（千米/小時）

甲乙兩地的路程是：

16×15=240（千米）

此船順水航行的速度是：

18+2=20（千米/小時）

此船從乙地回到甲地需要的時間是：

240÷20=12（小時）

答略。

*例5 某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲港開往乙港共用8小時。已知水速爲每小時3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時？（適於高年級程度）

解：此船順水的速度是：

15+3=18（千米/小時）

甲乙兩港之間的路程是：

18×8=144（千米）

此船逆水航行的速度是：

15-3=12（千米/小時）

此船從乙港返回甲港需要的時間是：

144÷12=12（小時）

綜合算式：

（15+3）×8÷（15-3）

=144÷12

=12（小時）

答略。

*例6 甲、乙兩個碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時行20千米，水流速度是每小時4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順水而行需要幾小時，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時？（適於高年級程度）

解：順水而行的時間是：

144÷（20+4）=6（小時）

逆水而行的時間是：

144÷（20-4）=9（小時）

答略。

*例7 一條大河，河中間（主航道）的水流速度是每小時8千米，沿岸邊的水流速度是每小時6千米。一隻船在河中間順流而下，6.5小時行駛260千米。求這隻船沿岸邊返回原地需要多少小時？（適於高年級程度）

解：此船順流而下的速度是：

260÷6.5=40（千米/小時）

此船在靜水中的速度是：

40-8=32（千米/小時）

此船沿岸邊逆水而行的速度是：

32-6=26（千米/小時）

此船沿岸邊返回原地需要的時間是：

260÷26=10（小時）

綜合算式：

260÷（260÷6.5-8-6）

=260÷（40-8-6）

=260÷26

=10（小時）

答略。

*例8 一隻船在水流速度是2500米/小時的水中航行，逆水行120千米用24小時。順水行150千米需要多少小時？（適於高年級程度）

解：此船逆水航行的速度是：

120000÷24=5000（米/小時）

此船在靜水中航行的速度是：

5000+2500=7500（米/小時）

此船順水航行的速度是：

7500+2500=10000（米/小時）

順水航行150千米需要的時間是：

150000÷10000=15（小時）

綜合算式：

150000÷（120000÷24+2500×2）

=150000÷（5000+5000）

=150000÷10000

=15（小時）

答略。

*例9 一隻輪船在208千米長的水路中航行。順水用8小時，逆水用13小時。求船在靜水中的速度及水流的速度。（適於高年級程度）

解：此船順水航行的速度是：

208÷8=26（千米/小時）

此船逆水航行的速度是：

208÷13=16（千米/小時）

由公式船速=（順水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在靜水中的速度是：

（26+16）÷2=21（千米/小時）

由公式水速=（順水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：

（26-16）÷2=5（千米/小時）

答略。

*例10 A、B兩個碼頭相距180千米。甲船逆水行全程用18小時，乙船逆水行全程用15小時。甲船順水行全程用10小時。乙船順水行全程用幾小時？（適於高年級程度）

解：甲船逆水航行的速度是：

180÷18=10（千米/小時）

甲船順水航行的速度是：

180÷10=18（千米/小時）

根據水速=（順水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：

（18-10）÷2=4（千米/小時）

乙船逆水航行的速度是：

180÷15=12（千米/小時）

乙船順水航行的速度是：

12+4×2=20（千米/小時）

乙船順水行全程要用的時間是：

180÷20=9（小時）

綜合算式：

180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]

=180÷[12+（18-10）÷2×2]

=180÷[12+8]

=180÷20

=9（小時）

答略。

奧數的學習，需要一個細緻的學習過程。寧波奧數網希望相信通過以上流水問題的講解，大家能夠攻破流水問題中的考點。

45名學生要到離學校30千米的郊外勞動。學校只有一輛汽車能乘坐15人，汽車的速度是每小時60千米。學生步行的速度是每小時4千米。爲使他們儘早到達勞動地點，他們最少要用幾小時才能全部到達?

[解答]：

45人分三組出發，每組15人。

爲了儘快到達，三組必須同時到達。

每一組都是步行了一些路程，坐車行了一些路程。

由於同時到達，所以每一組坐車的時間相等，當然步行的時間也相等。

汽車速度是步行速度的15倍，所以如果時間相同，汽車行的路程是人步行路程的15倍。

我們設第二組第一條紅色線段的長度爲1份。

可得出第一條藍色線段=8份，當然，第3條，第5條藍色線段的長度也等於8份。

還可以得到第三組的紅色線段=2份，當然，第1組的紅色線段也等於2份。

所以全程是8+2=10份，8份路程坐車，2份路程步行。

每份長度爲30÷10=3公里。

所以坐車時間爲3×8÷60=0.4小時

步行時間爲3×2÷4=1.5小時

一共需要0.4+1.5=1.9小時。

1、李華步行以每小時4千米的速度從學校出發到20.4千米處的冬令營報道。半小時後，營地老師聞訊來接，每小時比李華多走1.2千米。又過了1.5小時，張明從學校騎車去營地報到，結果三個人同時在途中某地相遇。問，張明每小時行駛多少千米？

2、一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次1:2:3。某人走各段路程所用時間之比依次是4:5:6。已知他上坡時速度爲每小時3千米，路程全長50千米，那麼此人走完全程用了多少小時？

3、客車和貨車同時從甲乙兩地相向開出，客車行完全程需10小時，貨車行完全程需15小時，兩車在途中相遇後，客車又行了96千米，這時 客車所行路程與剩下的路程的比是7：3，甲乙兩地相距多少千米？

4、甲、乙兩車分別從A，B兩地出發，相向而行，出發時，甲、乙的速度比是5：4，相遇後，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當甲到達B時，乙離A地還有10千米。那麼A，B兩地相距多少千米？

5、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發相向而行，甲車速度爲32千米／時，乙車速度爲48千米／時．它們分別到達B地和A地後，甲車速度提高四分之一，乙車速度減少六分之一。如果它們第一次相遇與第二次相遇地點相距74千米，那麼A、B兩地相距多少千米？

6、甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂後就立即下山，他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時，乙距山頂還有400米；甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂的距離。

7、有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從某地出發同向而行．乙比丙晚出發10分鐘，出發後40分鐘追上丙；甲比乙晚出發20分鐘，出發後1小時40分鐘追上丙．請問：甲出發多少分鐘後才能追上乙？

8、爺爺坐汽車，小李騎自行車，沿一條公路同時從A地去B地。汽車每小時行40千米，是自行車速度的2．5倍。結果爺爺比小李提前3小時到達B地。A、B兩地間的路程是多少千米?

1.甲乙兩碼頭相距560千米,一隻船從甲碼頭順水航行20小時到達乙碼頭,已知船在靜水中每小時行駛24千米,問這船返回甲碼頭需幾小時?

2.靜水中,甲船速度是每小時22千米,乙船速度是每小時18千米,乙船先從某港開出順水航行,2小時後甲船同方向開出,若水流速度爲每小時4千米,求甲船幾小時可以追上乙船?

3.一條輪船在兩碼頭間航行,順水航行需4小時,逆水航行需5小時,水速是2千米,求這輪船在靜水中的速度.

4.甲、乙兩港相距360千米,一輪船往返兩港需要35小時,逆流航行比順流航行多花5小時,另一機帆船每小時行12千米,這隻機帆船往返兩港需要多少小時?

5.一隻船在河中航行,水速爲每小時2千米,它在靜水中航行每小時行8千米,順水航行50千米需用_______小時.

6.某船在靜水中的速度是每小時13.5千米,水流速度是每小時3.5千米,逆水而行的速度是每小時_______千米.

7.某船的航行速度是每小時10千米,水流速度是每小時_____千米,逆水上行5小時行40千米.

8.一隻每小時航行13千米的客船在一條河中航行,這條河的水速爲每小時7千米,那麼這隻船行140千米需______小時(順水而行).

9.一艘輪船在靜水中的速度是每小時15公里,它逆水航行11小時走了88公里,這艘船返回需______小時.

10.一隻小船第一次順流航行56公里,逆水航行20公里,共用12小時;第二次用同樣的時間,順流航行40公里,逆流航行28公里,船速______,水速_______.

11.甲、乙兩個港口相距77千米,船速爲每小時9千米,水流速度爲每小時2千米,那麼由甲港到乙港順水航行需_______小時.

12.甲、乙兩個碼頭相距144千米,汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭,又知汽船在靜水中每小時行21千米,那麼汽船順流開回乙碼頭需要_______小時.

13.甲、乙兩港相距192千米,一艘輪船從甲港到乙港順水而下行16小時到達乙港,已知船在靜水中的速度是水流速度的5倍,那麼水速______,船速是______.

14.一隻船在河裏航行,順流而下,每小時行18千米,船下行2小時與上行3小時的路程相等,那麼船速______,水速_______.

15.甲、乙兩地相距48千米,一船順流由甲地去乙地,需航行3小時;返回時間因雨後漲水,所以用了8小時纔回到乙地,平時水速爲4千米,漲水後水速增加多少?

16.靜水中甲、乙兩船的速度爲22千米、18千米,兩船先後自港口順水開出,乙比甲早出發2小時,若水速是每小時4千米,問甲開出後幾小時可追上乙?

17.一支運貨船隊第一次順水航行42千米,逆水航行8千米,共用了11小時;第二次用同樣的時間,順水航行了24千米,逆水航行了14千米,求這支船隊在靜水中的速度和水流速度?

18.已知80千米水路,甲船順流而下需要4小時,逆流而上需要10小時,如果乙船順流而下需5小時,問乙船逆流而上需要幾小時?

1．（3分）一隻船在河中航行，水速爲每小時2千米，它在靜水中航行每小時行8千米，順水航行50千米需用 _________ 小時．

2．（3分）某船在靜水中的速度是每小時13.5千米，水流速度是每小時3.5千米，逆水而行的速度是每小時 _________ 千米．

3．（3分）某船的航行速度是每小時10千米，水流速度是每小時 _________ 千米，逆水上行5小時行40千米．

4．（3分）一隻每小時航行13千米的客船在一條河中航行，這條河的水速爲每小時7千米，那麼這隻船行140千米需 _________ 小時（順水而行）．

5．（3分）一艘輪船在靜水中的速度是每小時15公里，它逆水航行11小時走了88公里，這艘船返回需 _________ 小時．

A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車同時從兩地相對開出，甲車每小時行38千米，乙車每小時行行42千米，一隻燕子以每小時50千米的速度和甲車同時出發向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車飛去，這樣一直飛，燕子飛了多少千米，兩車才能相遇？

考點：相遇問題．

分析：要求燕子飛了多少千米，就要知道燕子飛行所用的時間和燕子的速度，燕子的速度是每小時50千米，關鍵的問題是求出燕子飛行所用的時間，燕子飛行的時間就是甲乙兩車的相遇時間，甲乙兩車的相遇時間是400÷（38+42）=5（小時），求燕子飛了多少千米，列式爲50×5，計算即可．

解答：解：燕子飛行的時間就是甲乙兩車的相遇時間，即：

400÷（38+42），

=400÷80，

=5（小時）；

燕子飛行的距離：

50×5=250（千米）；

答：燕子飛了250千米兩車才能相遇．

點評：本題解題的關鍵是要知道燕子飛行的時間就是甲乙兩車的相遇時間，同時考查了下列關係式：總路程÷速度和=相遇時間、速度×時間=路程．

【例1】

龜兔賽跑，全程5.4千米，兔子每小時跑25千米，烏龜每小時跑4千米，烏龜不停的跑，但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分，然後再玩15分，又跑2分，玩15分，再跑3分，玩15分，……，那麼先到達終點的比後到達終點的快幾分鐘呢?

【例2】

在一條公路上，甲、乙兩個地點相距600米。張明每小時行走4千米，李強每小時5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發相向而行，1分鐘後他們都的掉頭反向而行，再過3分鐘，他們又掉頭相向而行，依次按照1，3，5，7，9，……分鐘數掉頭行走，那麼，張、李二人相遇時間是8點幾分呢?

5.多人行程---這類問題主要涉及的人數爲3人，主要考察的.問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉化爲尋找兩兩人之間的關係。

【例1】

有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲於乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出發後，甲和乙相遇後3分鐘又與丙相遇。這花圃的周長是多少?

【例2】

甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米。甲從A地，乙和丙從B出發相向而行，甲和乙相遇後，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地的距離。

數學是一門基礎學科,被譽爲科學的皇后。對於我們的廣大國小生來說,數學水平的高低,直接影響到以後的學習，國小頻道特地爲大家整理了國小奧數行程問題例題花圃周長，希望對大家有用！

有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇後3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米?

分析：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。

第一個相遇：在3分鐘的時間裏，甲、丙的路程和爲(40+36)×3=228(米)

第一個追擊：這228米是由於在開始到甲、乙相遇的時間裏，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間爲228÷(38-36)=114(分鐘)

第二個相遇：在114分鐘裏，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周長爲(40+38)×114=8892(米)

甲、乙兩車都從A地出發經過B地駛往C地，A，B兩地的距離等於B，C兩地的距離.乙車的速度是甲車速度的80%.已知乙車比甲車早出發11分鐘，但在B地停留了7分鐘，甲車則不停地駛往C地.最後乙車比甲車遲4分鐘到C地.那麼乙車出發後幾分鐘時，甲車就超過乙車.

　答案與解析：

乙車比甲車多行11-7+4=8分鐘。

說明乙車行完全程需要8÷(1-80%)=40分鐘，甲車行完全程需要40×80%=32分鐘

當乙車行到B地並停留完畢需要40÷2+7=27分鐘。

甲車在乙車出發後32÷2+11=27分鐘到達B地。即在B地甲車追上乙車。

這道行程問題還是相對來說比較典型的。大家可以記下來，多加練習。

典型例題1

甲、乙兩地之間的距離是420千米，兩輛汽車同時從甲地開往乙地，第一輛汽車每小時行42千米，第二輛汽車每小時行38千米，第一輛汽車到達乙地立即返回，兩輛車從開出到相遇共用了多少小時?

舉一反三1

1、甲、乙兩地之間的距離是360千米，兩輛汽車同時從甲地開往乙地，第一輛汽車每小時行40千米，第二輛汽車每小時行50千米，第二輛汽車到達乙地立即返回，兩輛車從開出到相遇共用了多少小時?

2、A、B兩城之間的距離是880千米，甲車和乙車同時從A城開往B城，甲車每小時行60千米，乙車車每小時行50千米，甲車車到達B城立即返回，兩輛車從開出到相遇共用了多少小時?

3、東、西兩城之間的距離是600千米，客車和貨車同時從東城開往西城，客車每小時行65千米，貨車車每小時行55千米，客車車到達西城立即返回，客車從開出到與貨車相遇共用了多少小時?

典型例題2

甲、乙兩人同時從東村騎車到西村去，經過4.5小時甲到達西村後立即返回東村，在距離西村15千米處遇到乙。已知甲每小時比乙快6千米，求東西兩村相距多少千米?

舉一反三2

1、小黃和小林同時從學校去電影院，小黃每分鐘比小林多走20米，30分鐘後，小黃剛到電影院立即返回，在距離電影院350米處遇到小林，小黃每分鐘走多少米?

2、甲、乙兩輛汽車同時從南站開往北站，甲車每小時比乙車多行12千米，甲車行駛4個半小時到達北站後，沒有停留，立即從原路返回，在距離北站30千米的地方和乙車相遇。求兩站之間的距離。

3、甲、乙兩輛汽車同時從東站開往西站，甲車每小時比乙車多行14千米。甲車行駛5小時到達西站後，立即按原路返回，在離西站42千米處於乙車相遇。求東西兩站之間的距離。

典型例題3

A、B兩地相距21千米，上午8時甲、乙兩車分別從A、B兩地出發，相向而行，甲到達B地後立即返回，乙到達A地後也立即返回，上午10時他們第二次相遇，此時甲走的路程比乙多9千米。甲共行了多少千米?甲每小時行多少千米?

舉一反三3

1、A、B兩地相距21千米，上午9時整，甲、乙兩人分別從A、B兩地出發，相向而行，甲到達B地後立即返回，乙到達A地後立即返回，上午11時他們第二次相遇。此時，甲行的路程比乙行的路程多5千米。甲每小時行多少千米?

2、A、B兩城相距160千米，早晨6時整，甲車和乙車分別從A、B兩城出發，相向而行，甲車到達B城後立即返回，乙車到達A城後立即返回，12時整他們第二次相遇。此時，甲行的路程比乙行的路程多24千米。甲車每小時行多少千米?