高二數學複習知識點

1.不等式證明的依據

(2)不等式的性質(略)

(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)

②a2+b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)

2.不等式的證明方法

(1)比較法：要證明a>b(a0(a-b<0)，這種證明不等式的方法叫做比較法.

用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號.

(2)綜合法：從已知條件出發，依據不等式的性質和已證明過的不等式，推導出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法.

(3)分析法：從欲證的不等式出發，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷爲正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法.

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數學歸納法等.

（1）定義：

對於函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x叫做函數y=f（x）（x∈D）的零點。

（2）函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關係：

方程f（x）=0有實數根？函數y=f（x）的圖象與x軸有交點？函數y=f（x）有零點。

（3）函數零點的判定（零點存在性定理）：

如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f（a）·f（b）<0，那麼，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

二二次函數y=ax2+bx+c（a>0）的圖象與零點的關係

三二分法

對於在區間[a，b]上連續不斷且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分爲二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

1、函數的零點不是點：

函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數根，也就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫座標，所以函數的零點是一個數，而不是一個點。在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字，而不是一個座標。

2、對函數零點存在的判斷中，必須強調：

（1）、f（x）在[a，b]上連續；

（2）、f（a）·f（b）<0；

（3）、在（a，b）內存在零點。

這是零點存在的一個充分條件，但不必要。

3、對於定義域內連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號。

利用函數零點的存在性定理判斷零點所在的區間時，首先看函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是否連續不斷，再看是否有f（a）·f（b）<0。若有，則函數y=f（x）在區間（a，b）內必有零點。

四判斷函數零點個數的常用方法

1、解方程法：

令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點。

2、零點存在性定理法：

利用定理不僅要判斷函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、週期性、對稱性）才能確定函數有多少個零點。

3、數形結合法：

轉化爲兩個函數的圖象的交點個數問題。先畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數。

已知函數有零點（方程有根）求參數取值常用的方法

1、直接法：

直接根據題設條件構建關於參數的不等式，再通過解不等式確定參數範圍。

2、分離參數法：

先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決。

3、數形結合法：

先對解析式變形，在同一平面直角座標系中，畫出函數的圖象，然後數形結合求解。

1.平面向量的數量積

平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角爲，把數量|a||b|cos 叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規定0a=0.

2.向量數量積的運算律

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究] 根據數量積的運算律，判斷下列結論是否成立.

(1)ab=ac，則b=c嗎?

(2)(ab)c=a(bc)嗎?

提示：(1)不一定，a=0時不成立，

另外a0時，ab=ac.由數量積概念可知b與c不能確定;

(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.

第一章：集合和函數的基本概念，錯誤基本都集中在空集這一概念上，而每次考試基本都會在選填題上涉及這一概念，一個不小心就是五分沒了。次一級的知識點就是集合的韋恩圖，會畫圖，集合的“並、補、交、非”也就解決了，還有函數的定義域和函數的單調性、增減性的概念，這些都是函數的基礎而且不難理解。在第一輪複習中一定要反覆去記這些概念，的方法是寫在筆記本上，每天至少看上一遍。

第二章：基本初等函數：指數、對數、冪函數三大函數的運算性質及圖像。函數的幾大要素和相關考點基本都在函數圖像上有所體現，單調性、增減性、極值、零點等等。關於這三大函數的運算公式，多記多用，多做一點練習基本就沒多大問題。函數圖像是這一章的重難點，而且圖像問題是不能靠記憶的，必須要理解，要會熟練的畫出函數圖像，定義域、值域、零點等等。對於冪函數還要搞清楚當指數冪大於一和小於一時圖像的不同及函數值的大小關係，這也是常考常錯點。另外指數函數和對數函數的對立關係及其相互之間要怎樣轉化問題也要了解清楚。

第三章：函數的應用。主要就是函數與方程的結合。其實就是的實根，即函數的零點，也就是函數圖像與X軸的交點。這三者之間的轉化關係是這一章的重點，要學會在這三者之間的靈活轉化，以求能最簡單的解決問題。關於證明零點的方法，直接計算加得必有零點，連續函數在x軸上方下方有定義則有零點等等，這是這一章的難點，這幾種證明方法都要記得，多練習強化。這二次函數的零點的Δ判別法，這個倒不算難。

導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即爲在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱爲不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數f(x)，xf'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱爲求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源於極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最爲基礎的概念。

數列定義：

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

前n項和公式爲：Sn=na1+n（n—1）d/2或Sn=n（a1+an）/2（2）

以上n均屬於正整數。

解釋說明：

從（1）式可以看出，an是n的一次函數（d≠0）或常數函數（d=0），（n，an）排在一條直線上，由（2）式知，Sn是n的二次函數（d≠0）或一次函數（d=0，a1≠0），且常數項爲0。

在等差數列中，等差中項：一般設爲Ar，Am+An=2Ar，所以Ar爲Am，An的等差中項，且爲數列的平均數。

且任意兩項am，an的關係爲：an=am+（n—m）d

它可以看作等差數列廣義的通項公式。

推論公式：

從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an—1=a3+an—2=…=ak+an—k+1，k∈{1，2，…，n}

若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq，Sm—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+1，Sk，S2k—Sk，S3k—S2k，…，Snk—S（n—1）k…或等差數列，等等。

基本公式：

和=（首項+末項）×項數÷2

項數=（末項—首項）÷公差+1

首項=2和÷項數—末項

末項=2和÷項數—首項

末項=首項+（項數—1）×公差

簡單隨機抽樣

1.總體和樣本

在統計學中,把研究對象的全體叫做總體.

把每個研究對象叫做個體.

把總體中個體的總數叫做總體容量.

爲了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：

研究，我們稱它爲樣本.其中個體的個數稱爲樣本容量.

2.簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨

機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的`基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才採用這種方法。

3.簡單隨機抽樣常用的方法：

抽籤法;隨機數表法;計算機模擬法;使用統計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況;②允許誤差範圍;③概率保證程度。

4.抽籤法:

(1)給調查對象羣體中的每一個對象編號;

(2)準備抽籤的工具，實施抽籤

(3)對樣本中的每一個個體進行測量或調查

例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。

5.隨機數表法：

例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

系統抽樣

1.系統抽樣(等距抽樣或機械抽樣)：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然後按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本採用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K(抽樣距離)=N(總體規模)/n(樣本規模)

前提條件：總體中個體的排列對於研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規則分佈。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分佈承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。

2.系統抽樣，即等距抽樣是實際中最爲常用的抽樣方法之一。因爲它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更爲重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。

分層抽樣

1.分層抽樣(類型抽樣)：

先將總體中的所有單位按照某種特徵或標誌(性別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然後再在各個類型或層次中採用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最後，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

1.先以分層變量將總體劃分爲若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2.先以分層變量將總體劃分爲若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最後用系統抽樣的方法抽取樣本。

2.分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

(1)以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作爲分層的標準。

(2)以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作爲分層變量。

(3)以那些有明顯分層區分的變量作爲分層變量。

3.分層的比例問題：

(1)按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目佔總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

(2)不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時採用該方法，主要是便於對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。

用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵

1、本均值：

2、樣本標準差：

3.用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那麼樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數據得到的分佈、均值和標準差並不是總體的真正的分佈、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4.(1)如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變

(2)如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變爲原來的k倍

(3)一組數據中的值和最小值對標準差的影響，區間的應用;

“去掉一個分，去掉一個最低分”中的科學道理

兩個變量的線性相關

1、概念:

(1)迴歸直線方程(2)迴歸係數

2.最小二乘法

3.直線迴歸方程的應用

(1)描述兩變量之間的依存關係;利用直線迴歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關係

(2)利用迴歸方程進行預測;把預報因子(即自變量x)代入迴歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計，即可得到個體Y值的容許區間。

(3)利用迴歸方程進行統計控制規定Y值的變化，通過控制x的範圍來實現統計控制的目標。如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的迴歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4.應用直線迴歸的注意事項

(1)做迴歸分析要有實際意義;

(2)迴歸分析前,先作出散點圖;

(3)迴歸直線不要外延。

等腰直角三角形面積公式：S=a2/2，S=ch/2=c2/4(其中a爲直角邊，c爲斜邊，h爲斜邊上的高)。

面積公式

若假設等腰直角三角形兩腰分別爲a,b，底爲c，則可得其面積：

S=ab/2。

且由等腰直角三角形性質可知：底邊c上的高h=c/2，則三角面積可表示爲：

S=ch/2=c2/4。

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質：穩定性，兩直角邊相等直角邊夾一直角銳角45°，斜邊上中線角平分線垂線三線合一。

　　一、隨機事件

主要掌握好（三四五）

（1）事件的三種運算：並（和）、交（積）、差；注意差A—B可以表示成A與B的逆的積。

（2）四種運算律：交換律、結合律、分配律、德莫根律。

（3）事件的五種關係：包含、相等、互斥（互不相容）、對立、相互獨立。

　二、概率定義

（1）統計定義：頻率穩定在一個數附近，這個數稱爲事件的概率；（2）古典定義：要求樣本空間只有有限個基本事件，每個基本事件出現的可能性相等，則事件A所含基本事件個數與樣本空間所含基本事件個數的比稱爲事件的古典概率；

（3）幾何概率：樣本空間中的元素有無窮多個，每個元素出現的可能性相等，則可以將樣本空間看成一個幾何圖形，事件A看成這個圖形的子集，它的概率通過子集圖形的大小與樣本空間圖形的大小的比來計算；

（4）公理化定義：滿足三條公理的任何從樣本空間的子集集合到[0，1]的映射。

　三、概率性質與公式

（1）加法公式：P（A+B）=p（A）+P（B）—P（AB），特別地，如果A與B互不相容，則P（A+B）=P（A）+P（B）；

（2）差：P（A—B）=P（A）—P（AB），特別地，如果B包含於A，則P（A—B）=P（A）—P（B）；

（3）乘法公式：P（AB）=P（A）P（B|A）或P（AB）=P（A|B）P（B），特別地，如果A與B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）；

（4）全概率公式：P（B）=∑P（Ai）P（B|Ai）。它是由因求果，

貝葉斯公式：P（Aj|B）=P（Aj）P（B|Aj）/∑P（Ai）P（B|Ai）。它是由果索因；

如果一個事件B可以在多種情形（原因）A1，A2，...，An下發生，則用全概率公式求B發生的概率；如果事件B已經發生，要求它是由Aj引起的概率，則用貝葉斯公式。

（5）二項概率公式：Pn（k）=C（n，k）p^k（1—p）^（n—k），k=0，1，2，...，n。當一個問題可以看成n重貝努力試驗（三個條件：n次重複，每次只有A與A的逆可能發生，各次試驗結果相互獨立）時，要考慮二項概率公式。