總結就是把一個時間段取得的成績、存在的問題及得到的經驗和教訓進行一次全面系統的總結的書面材料,它可以促使我們思考,因此十分有必須要寫一份總結哦。那麼總結應該包括什麼內容呢?以下是小編收集整理的高一數學知識點總結,僅供參考,大家一起來看看吧。
高一數學知識點總結1立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結構特徵
(1)棱柱:
定義:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱。
幾何特徵:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點字母,如五棱錐
幾何特徵:側面、對角面都是三角形;平行於底面的截面與底面相似,其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺:
定義:用一個平行於棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺
幾何特徵:①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交於原棱錐的頂點
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線爲軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊爲旋轉軸,旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵:①底面是一個圓;②母線交於圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺:
定義:用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特徵:①上下底面是兩個圓;②側面母線交於原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線爲旋轉軸,半圓面旋轉一週形成的幾何體
幾何特徵:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向後面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關係,即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前後的位置關係,即反映了物體的長度和寬度;
側視圖反映了物體上下、前後的位置關係,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點:
①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度爲原來的一半。
直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角爲0度。因此,傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時,。當時,;當時,不存在。
②過兩點的直線的斜率公式:
注意下面四點:
(1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角爲90°;
(2)k與P1、P2的順序無關;
(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。
冪函數
定義:
形如y=x^a(a爲常數)的函數,即以底數爲自變量冪爲因變量,指數爲常量的函數稱爲冪函數。
定義域和值域:
當a爲不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a爲任意實數,則函數的定義域爲大於0的所有實數;如果a爲負數,則x肯定不能爲0,不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q爲偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數,則函數的定義域爲不等於0的所有實數。當x爲不同的數值時,冪函數的值域的不同情況如下:在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時,則只有同時q爲奇數,函數的值域爲非零的實數。而只有a爲正數,0才進入函數的值域
性質:
對於a的取值爲非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作爲分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數,那麼我們就可以知道:
排除了爲0與負數兩種可能,即對於x>0,則a可以是任意實數;
排除了爲0這種可能,即對於x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;
排除了爲負數這種可能,即對於x爲大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。
指數函數
(1)指數函數的定義域爲所有實數的集合,這裏的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。
(2)指數函數的值域爲大於0的實數集合。
(3)函數圖形都是下凹的。
(4)a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則爲單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6)函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
(7)函數總是通過(0,1)這點。
(8)顯然指數函數無界。
奇偶性
定義
一般地,對於函數f(x)
(1)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫做奇函數。
(2)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函數f(x)就叫做偶函數。
(3)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱爲既奇又偶函數。
(4)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱爲非奇非偶函數。
高一數學知識點總結2內容子交併補集,還有冪指對函數。性質奇偶與增減,觀察圖象最明顯。
複合函數式出現,性質乘法法則辨,若要詳細證明它,還須將那定義抓。
指數與對數函數,國中學習方法,兩者互爲反函數。底數非1的正數,1兩邊增減變故。
函數定義域好求。分母不能等於0,偶次方根鬚非負,零和負數無對數;
正切函數角不直,餘切函數角不平;其餘函數實數集,多種情況求交集。
兩個互爲反函數,單調性質都相同;圖象互爲軸對稱,Y=X是對稱軸;
求解非常有規律,反解換元定義域;反函數的定義域,原來函數的值域。
冪函數性質易記,指數化既約分數;函數性質看指數,奇母奇子奇函數,
奇母偶子偶函數,偶母非奇偶函數;圖象第一象限內,函數增減看正負。
形如y=k/x(k爲常數且k≠0)的函數,叫做反比例函數。
自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函數圖像性質:
反比例函數的圖像爲雙曲線。
由於反比例函數屬於奇函數,有f(-x)=-f(x),圖像關於原點對稱。
另外,從反比例函數的解析式可以得出,在反比例函數的圖像上任取一點,向兩個座標軸作垂線,高中地理,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,爲?k?。
如圖,上面給出了k分別爲正和負(2和-2)時的函數圖像。
當K>0時,反比例函數圖像經過一,三象限,是減函數
當K<0時,反比例函數圖像經過二,四象限,是增函數
反比例函數圖像只能無限趨向於座標軸,無法和座標軸相交。
知識點:
1.過反比例函數圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段,這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積爲k。
2.對於雙曲線y=k/x,若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m爲常數),就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移,減一個數時向右平移)
高一數學知識點總結3一、集合有關概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性如:世界上的山
(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:N
正整數集:N_或N+
整數集:Z
有理數集:Q
實數集:R
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個元素的集合
(2)無限集含有無限個元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關係
1.“包含”關係—子集
注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2.“相等”關係:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即:①任何一個集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那麼AíC
④如果AíB同時BíA那麼A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,記爲Φ
規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
4.子集個數:
有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-1個非空子集,含有2n-1個非空真子集
三、集合的運算
運算類型交集並集補集
定義由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集.記作:AB(讀作‘A並B’),即AB={x|xA,或xB}).
【基本初等函數】
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念:一般地,如果,那麼叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.
當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數.此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這裏叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand).
當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互爲相反數.此時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合併成±(>0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。
注意:當是奇數時,當是偶數時,
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義,規定:
0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義
指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實數指數冪的運算性質
(二)指數函數及其性質
1、指數函數的概念:一般地,函數叫做指數函數(exponential),其中x是自變量,函數的定義域爲R.
注意:指數函數的底數的取值範圍,底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
【函數的應用】
1、函數零點的概念:對於函數,把使成立的實數叫做函數的零點。
2、函數零點的意義:函數的零點就是方程實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。即:
方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.
3、函數零點的求法:
求函數的零點:
1(代數法)求方程的實數根;
2(幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數的圖象聯繫起來,並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點:
二次函數.
1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數的圖象與軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.
2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.
3)△<0,方程無實根,二次函數的圖象與軸無交點,二次函數無零點.
高一數學知識點總結41.知識網絡圖
複數知識點網絡圖
2.複數中的難點
(1)複數的向量表示法的運算.對於複數的向量表示有些學生掌握得不好,對向量的運算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對此應認真體會複數向量運算的幾何意義,對其靈活地加以證明.
(2)複數三角形式的乘方和開方.有部分學生對運算法則知道,但對其靈活地運用有一定的困難,特別是開方運算,應對此認真地加以訓練.
(3)複數的輻角主值的求法.
(4)利用複數的幾何意義靈活地解決問題.複數可以用向量表示,同時複數的模和輻角都具有幾何意義,對他們的理解和應用有一定難度,應認真加以體會.
3.複數中的重點
(1)理解好複數的概念,弄清實數、虛數、純虛數的不同點.
(2)熟練掌握複數三種表示法,以及它們間的互化,並能準確地求出複數的模和輻角.複數有代數,向量和三角三種表示法.特別是代數形式和三角形式的互化,以及求複數的模和輻角在解決具體問題時經常用到,是一個重點內容.
(3)複數的三種表示法的各種運算,在運算中重視共軛複數以及模的有關性質.複數的運算是複數中的主要內容,掌握複數各種形式的運算,特別是複數運算的幾何意義更是重點內容.
(4)複數集中一元二次方程和二項方程的解法.
高一數學知識點總結5集合的運算
運算類型交 集並 集補 集
定義域 R定義域 R
值域>0值域>0
在R上單調遞增在R上單調遞減
非奇非偶函數非奇非偶函數
函數圖象都過定點(0,1)函數圖象都過定點(0,1)
注意:利用函數的單調性,結合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對於指數函數 ,總有 ;
二、對數函數
(一)對數
1.對數的概念:
一般地,如果 ,那麼數 叫做以 爲底 的對數,記作: ( — 底數, — 真數, — 對數式)
說明:○1 注意底數的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意對數的書寫格式.
兩個重要對數:
○1 常用對數:以10爲底的對數 ;
○2 自然對數:以無理數 爲底的對數的對數 .
指數式與對數式的互化
冪值 真數
= N = b
底數
指數 對數
(二)對數的運算性質
如果 ,且 , , ,那麼:
○1 + ;
○2 - ;
○3 .
注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).
利用換底公式推導下面的結論:(1) ;(2) .
(3)、重要的公式 ①、負數與零沒有對數; ②、 , ③、對數恆等式
(二)對數函數
1、對數函數的概念:函數 ,且 叫做對數函數,其中 是自變量,函數的定義域是(0,+∞).
注意:○1 對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對數函數,而只能稱其爲對數型函數.
○2 對數函數對底數的限制: ,且 .
2、對數函數的性質:
a>10
定義域x>0定義域x>0
值域爲R值域爲R
在R上遞增在R上遞減
函數圖象都過定點(1,0)函數圖象都過定點(1,0)
(三)冪函數
1、冪函數定義:一般地,形如 的函數稱爲冪函數,其中 爲常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義並且圖象都過點(1,1);
(2) 時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間 上是增函數.特別地,當 時,冪函數的圖象下凸;當 時,冪函數的圖象上凸;
(3) 時,冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內,當 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當 趨於 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第四章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念:對於函數 ,把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義:函數 的零點就是方程 實數根,亦即函數 的圖象與 軸交點的橫座標。
即:方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.
3、函數零點的求法:
○1 (代數法)求方程 的實數根;
○2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數 的圖象聯繫起來,並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點:
二次函數 .
(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數的圖象與 軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.
(2)△=0,方程 有兩相等實根,二次函數的圖象與 軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.
(3)△<0,方程 無實根,二次函數的圖象與 軸無交點,二次函數無零點.
5.函數的模型
高一數學知識點總結61.“包含”關係—子集
注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2.“相等”關係(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等於集合B,即:A=B
①任何一個集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那麼AíC
④如果AíB同時BíA那麼A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,記爲Φ
規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
高一數學知識點總結7一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角爲0度。因此,傾斜角的取值範圍是0180
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時,。當時,;當時,不存在。
②過兩點的直線的斜率公式:
注意下面四點:
(1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角爲90
(2)k與P1、P2的順序無關;
(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。
(3)直線方程
①點斜式:直線斜率k,且過點
注意:當直線的斜率爲0時,k=0,直線的方程是y=y1。當直線的斜率爲90時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫座標都等於x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:,直線斜率爲k,直線在y軸上的截距爲b
③兩點式:()直線兩點,
④截矩式:其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別爲。
⑤一般式:(A,B不全爲0)
⑤一般式:(A,B不全爲0)
注意:○1各式的適用範圍
○2特殊的方程如:平行於x軸的直線:(b爲常數);平行於y軸的直線:(a爲常數);
(4)直線系方程:即具有某一共同性質的直線
(一)平行直線系
平行於已知直線(是不全爲0的常數)的直線系:(C爲常數)
(二)過定點的直線系
(ⅰ)斜率爲k的直線系:直線過定點;
(ⅱ)過兩條直線,的交點的直線系方程爲(爲參數),其中直線不在直線系中。
(5)兩直線平行與垂直;
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否。
(6)兩條直線的交點
相交:交點座標即方程組的一組解。方程組無解;方程組有無數解與重合
(7)兩點間距離公式:設是平面直角座標系中的兩個點,則
(8)點到直線距離公式:一點到直線的距離
(9)兩平行直線距離公式:在任一直線上任取一點,再轉化爲點到直線的距離進行求解。
高一數學知識點總結8一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性:
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
? 注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集) 記作:N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
1) 列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關係
1.“包含”關係—子集
注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.“相等”關係:A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那麼 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記爲Φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集.記作:A B(讀作‘A並B’),即A B ={x|x A,或x B}).
設S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或餘集)
二、函數的有關概念
1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B爲從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的`值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.
注意:
1.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱爲函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數爲零底不可以等於零,
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角座標系中,以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x爲橫座標,函數值y爲縱座標的點P(x,y)的集合C,叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的座標(x,y)均滿足函數關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y爲座標的點(x,y),均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法:
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示.
5.映射
一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A B爲從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的並集.
補充:複合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱爲f、g的複合函數。
二.函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
(1)增函數
設函數y=f(x)的定義域爲I,如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱爲y=f(x)的單調減區間.
注意:函數的單調性是函數的局部性質;
(2) 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
○5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)複合函數的單調性
複合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:“同增異減”
注意:函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
8.函數的奇偶性(整體性質)
(1)偶函數
一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函數.
(2).奇函數
一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函數.
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.
利用定義判斷函數奇偶性的步驟:
○1首先確定函數的定義域,並判斷其是否關於原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關係;
○3作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理,或藉助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
(1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關係時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.
(2)求函數的解析式的主要方法有:
1) 湊配法
2) 待定係數法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值
○2 利用圖象求函數的最大(小)值
○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
高一數學知識點總結9函數圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角座標系中,以函數y=f(x),(x∈A)中的x爲橫座標,函數值y爲縱座標的點P(x,y)的函數C,叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的座標(x,y)均滿足函數關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y爲座標的點(x,y),均在C上.
(2)畫法
A、描點法:
B、圖象變換法
常用變換方法有三種
1)平移變換
2)伸縮變換
3)對稱變換
4.高中數學函數區間的概念
(1)函數區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
5.映射
一般地,設A、B是兩個非空的函數,如果按某一個確定的對應法則f,使對於函數A中的任意一個元素x,在函數B中都有確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:AB爲從函數A到函數B的一個映射。記作“f(對應關係):A(原象)B(象)”
對於映射f:A→B來說,則應滿足:
(1)函數A中的每一個元素,在函數B中都有象,並且象是的;
(2)函數A中不同的元素,在函數B中對應的象可以是同一個;
(3)不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。
6.高中數學函數之分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的並集.
補充:複合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱爲f、g的複合函數。
高一數學知識點總結10(1)指數函數的定義域爲所有實數的集合,這裏的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函數的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。
(2)指數函數的值域爲大於0的實數集合。
(3)函數圖形都是下凹的。
(4)a大於1,則指數函數單調遞增;a小於1大於0,則爲單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0),函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6)函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
(7)函數總是通過(0,1)這點。
(8)顯然指數函數無界。
奇偶性
定義
一般地,對於函數f(x)
(1)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫做奇函數。
(2)如果對於函數定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函數f(x)就叫做偶函數。
(3)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱爲既奇又偶函數。
(4)如果對於函數定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱爲非奇非偶函數。
對於a的取值爲非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作爲分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數,那麼我們就可以知道:
排除了爲0與負數兩種可能,即對於x>0,則a可以是任意實數;
排除了爲0這種可能,即對於x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;
排除了爲負數這種可能,即對於x爲大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。
總結起來,就可以得到當a爲不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a爲任意實數,則函數的定義域爲大於0的所有實數;
如果a爲負數,則x肯定不能爲0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q爲偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數,則函數的定義域爲不等於0的所有實數。
在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。
在x小於0時,則只有同時q爲奇數,函數的值域爲非零的實數。
而只有a爲正數,0才進入函數的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
(2)當a大於0時,冪函數爲單調遞增的,而a小於0時,冪函數爲單調遞減函數。
(3)當a大於1時,冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時,冪函數圖形上凸。
(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大於0,函數過(0,0);a小於0,函數不過(0,0)點。
(6)顯然冪函數無界。
定義:
x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角爲0度。
範圍:
傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°。
理解:
(1)注意“兩個方向”:直線向上的方向、x軸的正方向;
(2)規定當直線和x軸平行或重合時,它的傾斜角爲0度。
意義:
①直線的傾斜角,體現了直線對x軸正向的傾斜程度;
②在平面直角座標系中,每一條直線都有一個確定的傾斜角;
③傾斜角相同,未必表示同一條直線。
公式:
k=tanα
k>0時α∈(0°,90°)
k<0時α∈(90°,180°)
k=0時α=0°
當α=90°時k不存在
ax+by+c=0(a≠0)傾斜角爲A,
則tanA=-a/b,
A=arctan(-a/b)
當a≠0時,
傾斜角爲90度,即與X軸垂直
高一數學知識點總結11棱錐
棱錐的定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的的性質:
(1)側棱交於一點。側面都是三角形
(2)平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方
正棱錐
正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,並且頂點在底面內的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質:
(1)各側棱交於一點且相等,各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個特殊的直角三角形
esp:
a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影爲底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影爲底面三角形的垂心。
高一數學知識點總結12數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。小編準備了高一數學必修1期末考知識點,希望你喜歡。
一、集合有關概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成爲一個集合,其中每一個對象叫元素.
2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對於一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3、集合的表示:{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列舉法與描述法.
注意啊:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:N
正整數集 N*或N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R
關於屬於的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬於集合A 記作 AA ,相反,a不屬於集合A 記作 a?A
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然後用一個大括號括上.
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法.
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數學式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}
4、集合的分類:
1.有限集 含有有限個元素的集合
2.無限集 含有無限個元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合間的基本關係
1.包含關係子集
注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合.
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.相等關係(55,且55,則5=5)
實例:設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同
結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等於集合B,即:A=B
① 任何一個集合是它本身的子集
②真子集:如果AB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那麼 AC
④ 如果AB 同時 BA 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記爲
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三、集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.
記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}.
2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集.記作:AB(讀作A並B),即AB={x|xA,或xB}.
3、交集與並集的性質:AA = A, A=, AB = BA,AA = A,
A= A ,AB = BA.
4、全集與補集
(1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或餘集)
(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.
(3)性質:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U
高一數學知識點總結13集合具有某種特定性質的事物的總體。這裏的事物可以是人,物品,也可以是數學元素。
例如:
1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。
2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素:有理數的~。
3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念,如集合論:集合是現代數學的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論。康託(Cantor,G、F、P、,1845年1918年,德國數學家先驅,是集合論的,目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合,在數學上是一個基礎概念。
什麼叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過直觀、公理的方法來下定義。
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起,使之成爲一個整體(或稱爲單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱爲這一集合的元素(或簡稱爲元)。
集合與集合之間的關係
某些指定的對象集在一起就成爲一個集合集合符號,含有有限個元素叫有限集,含有無限個元素叫無限集,空集是不含任何元素的集,記做。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性。
(說明一下:如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素,則A稱作是B的子集,寫作AB。若A是B的子集,且A不等於B,則A稱作是B的真子集,一般寫作AB。中學教材課本里將符號下加了一個符號,不要混淆,考試時還是要以課本爲準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。)
高一數學知識點總結14一:函數及其表示
知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關係的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等
1. 函數與映射的區別:
2. 求函數定義域
常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下:
①當f(x)爲整式時,函數的定義域爲R.
②當f(x)爲分式時,函數的定義域爲使分式分母不爲零的實數集合。
③當f(x)爲偶次根式時,函數的定義域是使被開方數不小於0的實數集合。
④當f(x)爲對數式時,函數的定義域是使真數爲正、底數爲正且不爲1的實數集合。
⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的,那麼函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合,即求各部分有意義的實數集合的交集。
⑥複合函數的定義域是複合的各基本的函數定義域的交集。
⑦對於由實際問題的背景確定的函數,其定義域除上述外,還要受實際問題的制約。
3. 求函數值域
(1)、觀察法:通過對函數定義域、性質的觀察,結合函數的解析式,求得函數的值域;
(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式,那麼將這個函數的右邊配方,通過自變量的範圍可以求出該函數的值域;
(3)、判別式法:
(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象,運用數形結合的方法得到函數的值域;
(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量,使函數轉化爲以新變量爲自變量的函數形式,進而求出值域;
(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的,那麼就可以利用端點的函數值來求出值域;
(7)、利用基本不等式:對於一些特殊的分式函數、高於二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;
(8)、最值法:對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;
(9)、反函數法:如果函數在其定義域內存在反函數,那麼求函數的值域可以轉化爲求反函數的定義域。
高一數學知識點總結151.多面體的結構特徵
(1)棱柱有兩個面相互平行,其餘各面都是平行四邊形,每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。
正棱柱:側棱垂直於底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多邊形,側棱垂直於底面,側面是矩形。
(2)棱錐的底面是任意多邊形,側面是有一個公共頂點的三角形。
正棱錐:底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地,各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來,正棱錐的底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。
(3)棱臺可由平行於底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相似多邊形。
2.旋轉體的結構特徵
(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一週得到.
(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一週得到.
(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉一週或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉半周得到,也可由平行於底面的平面截圓錐得到。
(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉一週或圓面繞直徑旋轉半周得到。
3.空間幾何體的三視圖
空間幾何體的三視圖是用平行投影得到,這種投影下,與投影面平行的平面圖形留下的影子,與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的,三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖。
三視圖的長度特徵:“長對正,寬相等,高平齊”,即正視圖和側視圖一樣高,正視圖和俯視圖一樣長,側視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實、虛線的畫法。
4.空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,基本步驟是:
(1)畫幾何體的底面
在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交於點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應的x′軸、y′軸,兩軸相交於點O′,且使∠x′O′y′=45°或135°,已知圖形中平行於x軸、y軸的線段,在直觀圖中平行於x′軸、y′軸.已知圖形中平行於x軸的線段,在直觀圖中長度不變,平行於y軸的線段,長度變爲原來的一半。
(2)畫幾何體的高
在已知圖形中過O點作z軸垂直於xOy平面,在直觀圖中對應的z′軸,也垂直於x′O′y′平面,已知圖形中平行於z軸的線段,在直觀圖中仍平行於z′軸且長度不變。