考研數學極限有哪些運算方法和適用情況

極限是整個高等數學學習的工具，我們在考研數學的時候，要掌握好運算方法和適用情況。小編爲大家精心準備了考研數學極限的計算方法指南，歡迎大家前來閱讀。

基礎階段，我們的目標是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎階段學習極限應從兩個方面着手，一是極限的定義，二是極限的運算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思並不是會背誦定義內容，而是能夠領會定義內容背後的所蘊含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。

除定義本身以外，極限的趨近狀態也要注意區分，對於函數來說有六種趨近狀態：各自的含義要非常清楚，而數列只有一種趨近狀態，雖然沒有指明，但是數列裏邊的隱含之意爲。

極限的計算則需要首先掌握考研數學要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。

第一種是四則運算，此方法大家最爲熟悉，但比較容易出錯，需要注意使用四則運算的前提是進行運算的函數極限必須都是存在的;

第二種是等價無窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計算的問題只需經過等價無窮小代換就能得出結果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小纔可代換，另外只能在乘積因子內代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒有十足把握的情況下應避免使用在加減因子中代換);

第三種是洛必達法則，適用於及 型未定式，在使用的過程中需要注意一下幾點：

1、洛必達法則必須結合等價無窮小使用;

2、使用一次整理一次;

3、其他類型未定式需要轉化成 及 型纔可以使用洛必達法則等;

第四種是泰勒展式，這是解決極限問題的利器，在基礎階段不必要求掌握如何使用，只需瞭解泰勒展式的內容即可，具體使用原則會在強化階段給出;

第五種是夾逼定理，主要用於解決含有不等式關係的極限問題，特別應用於 個分式之和的數列極限問題，通過放縮分母來達到出現不等關係的目的;

第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區別，夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題，通過主要的三步：1、提取，2、湊出，3、極限符號及連加符號改寫爲，改寫爲，改寫爲計算定積分即可解決個分式之和的數列極限問題;

第七種方法是適用於數列極限的單調有界性定理，難點在於如何確定證明方向，一般單調有界性定理適用於由遞推公式給出的數列極限問題，因此可採取數學歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調性。

以上，從大的框架結構上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法，希望同學們對這一章有一個宏觀的把握，但是具體的細節掌握還要待進一步細緻的學習。在複習的過程中要多留心多總結把重要的方法記錄下來，錯題記錄下來方便後續的自我檢查。

1.結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性並求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因爲數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那麼第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕鬆解決，因爲對於該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題並不是很多，更多的是要用到第二步。

2.藉助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最爲基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關於中值定理的證明題，可以在直角座標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯繫結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關於零點存在定理的證明題，只要在直角座標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關係恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

3.逆推法

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需藉助導數符號與單調性之間的關係，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這裏所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。

對於那些經常使用如上方法的考生來說，利用三步走就能輕鬆收穫數學證明的12分，但對於從心理上就不自信能解決證明題的考生來說，卻常常輕易丟失12分，後一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

一、複習初期，禁止“眼高、手高“不下手

複習初期，大部分考生的心情還比較浮躁，特別是有部分程度較好的考生，認爲這些內容已經學過了，並且當時學得很好，期末考了很不錯的分數，現在只把教材上的內容掃一遍就可以了，複習時不夠認真，只是看書而疏於動手練習。持續一兩個月之後，這樣的考生就會發現自己經常遇到這樣一種狀況：拿到題目後自己做，沒有思路;看過答案之後，一步一步又好像全都明白，再做，還是無從下手。這正是眼高手低的典型表現。

“眼高手低”是很多考生在複習數學時易犯的錯誤，很多考生對基礎性的東西不屑一顧，認爲這些內容很簡單，用不着下勁複習，還有的考生只是“看”，認爲看懂就行了，很少下筆去做題，結果在最後的考試中眼熟手生，難以取得好的成績。所以，在我們還沒有建立起來完備的知識結構之前，一帶而過的複習必然會難以把握題目中的重點，忽略精妙之處。題目看懂了不代表這個題目就會做了，其實真正動手就會碰到很多問題，去解決這些問題就是提高自己的過程。只有通過動手練習，我們才能規範答題模式，提高解題和運算的熟練程度，這些都要通過自己不斷的摸索練習來加以體會。

二、做題，需要注重總結歸納

有一部分考生認爲：歸納總結是複習進行到後期才做的事情，現在只要能熟悉大綱的知識點及考察重點，把遇到的題都做會就可以了。確實，數學的複習離開了做題不行，但沉浸在題海里，每天做許多題目，從來不總結，這樣的結果往往是做錯的題目再次做時還是會犯錯。及時的歸納和總結，才能將你所做的大量題目變爲自己掌握的知識，將你的數學基礎和結構體系夯實打牢。

比如說：求極限的方法大體超不過七種：1分子分母同乘同除2變量代換3非零因子的提出4羅比答法則5等價無窮小6夾逼7臺勒公式。再比如：級數斂散性的判別方法：1一般比較法2極限比較法3比值法4根值法;再比如線性代數中證明線性無關的方法有：1定義法(同乘或拆項重組)2秩判別法3齊次方程AX=0只有零解4反證法。等等。需要說明的是，方法雖然提倡越多越好，但是課本上沒有的或是超綱的我們就沒有必要深究了，比如說有的考研輔導書所介紹的微分算子法來求解微分方程，我覺得就沒有必要去記憶它，畢竟這個方法有其侷限性，不是面面俱到。若沉迷於此技巧的話，考試中出的'題恰好是它的盲區，那就虧大了!有的書還介紹分佈積分的表格法，速度確實挺快，但是也有侷限性，不太容易靈活應用，況且一般的方法也慢不到哪去，爲什麼還要多此一舉呢?所以說在總結方法時不在於多，而在於精。核心是有助於自己的解題習慣，使自己更加方便的征服考題。

三、堅持到底，拒絕“三天打漁兩天曬網”

還有的考生認爲現在離考試還遠，沒有緊迫感。今天沒事幹就看看書做兩個題，明天有些事情就把書放在一邊不理會了。這樣的結果是看了後面忘了前面，知識沒有連續性，形不成體系。考研的路程是漫長的，數學的學習是枯燥的，在複習過程中需要考生具有堅強的毅力。雖然2013的數學考試大綱未頒佈，但萬變不離其宗，考研數學的基本內容一般變化不大，考生可以參照去年的大綱和試題進行復習。詳細瞭解本專業應考的數學卷種的基本要求，考試的題型、類別和難易度，以便更好的展開復習。凡是在大綱中表述爲“會”、“理解”、“掌握”等的考試內容往往都是主要考點，務必要作爲複習的重點。

數學複習不像英語、政治對輔導書的依賴性很大，主要靠課本來打下堅實的基礎。翻一下數學大[微博]綱，上面列出的知識點全部來源於課本。所以考生一定要老老實實參照大綱的要求把原來的課本找出來，按照大綱對數學基本概念、基本方法、基本定理準確把握。數學學習中最重要的莫過於堅實的基礎，包括對定理公式的深入理解，對基本運算的熟練和高正確率，對最基本的一些解題方法的掌握和運用。

最後，數學教研室李老師提示大家：最深刻的道理，往往存在於最簡單的事實之中。考生們要仔細、認真地分析每道題的考點，無論是多難的題目，最後都歸結到數學課本上的知識點。重視基礎，就是搞好第一輪數學複習的關鍵，更是一種態度，“態度決定一切”。