排列組合公式/排列組合計算公式
排列P------和順序有關
組合C-------不牽涉到順序的問題
排列分順序，組合不分
例如把5本不同的書分給3個人，有幾種分法.排列
把5本書分給3個人，有幾種分法組合
1.排列及計算公式
從n個不同元素中，任取m(mn)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號p(n，m)表示.
p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(規定0!=1).
2.組合及計算公式
從n個不同元素中，任取m(mn)個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號
c(n，m)表示.
c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);
3.其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.
n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1，n2，這n個元素的全排列數爲
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數爲c(m+k-1，m).
排列(Pnm(n爲下標，m爲上標))
Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號);Pnn(兩個n分別爲上標和下標)=n!;0!=1;Pn1(n爲下標1爲上標)=n
組合(Cnm(n爲下標，m爲上標))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別爲上標和下標)=1;Cn1(n爲下標1爲上標)=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數R參與選擇的元素個數!-階乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數r個，表達式應該爲n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因爲從n到(n-r+1)個數爲n-(n-r+1)=r
舉例：
Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數?
A1：123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬於排列P計算範疇。
上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988，997之類的組合，我們可以這麼看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P(3，9)=9*8*7，(從9倒數3個的乘積)
Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表三國聯盟，可以組合成多少個三國聯盟?
A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬於組合C計算範疇。
上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重複的個數即爲最終組合數C(3，9)=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?
解(1)由於每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數，因此共有種不同方法.
(2)由於每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法.
點評由於要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算.
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種?
解依題意，符合要求的排法可分爲第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可採用畫樹圖的方式逐一排出：
符合題意的不同排法共有9種.
點評按照分類的思路，本題應用了加法原理.爲把握不同排法的規律，樹圖是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數問題的一種數學模型.
例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?並計算出結果.
(1)高三年級學生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信?②每兩人互握了一次手，共握了多少次手?
(2)高二年級數學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法?
(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數：①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的`商?②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積?
(4)有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?
分析(1)①由於每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關是排列;②由於每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題.其他類似分析.
(1)①是排列問題，共用了封信;②是組合問題，共需握手(次).
(2)①是排列問題，共有(種)不同的選法;②是組合問題，共有種不同的選法.
(3)①是排列問題，共有種不同的商;②是組合問題，共有種不同的積.
(4)①是排列問題，共有種不同的選法;②是組合問題，共有種不同的選法.
例4證明.
證明左式
右式.
等式成立.
點評這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，並利用階乘的性質，可使變形過程得以簡化.
例5化簡.
解法一原式
解法二原式
點評解法一選用了組合數公式的階乘形式，並利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質，都使變形過程得以簡化.
例6解方程：(1);(2).
解(1)原方程
解得.
(2)原方程可變爲
∵，，
原方程可化爲.
即，解得
第六章排列組合、二項式定理
一、考綱要求
1.掌握加法原理及乘法原理，並能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.
2.理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質，並能用它們解決一些簡單的問題.
3.掌握二項式定理和二項式係數的性質，並能用它們計算和論證一些簡單問題.
二、知識結構
三、知識點、能力點提示
(一)加法原理乘法原理
說明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎，掌握此兩原理爲處理排列、組合中有關問題提供了理論根據.
