1。排列及計算公式
從n個不同元素中，任取m（mn）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號p（n，m）表示。
p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n！/（n—m）！（規定0！=1）。
2。組合及計算公式
從n個不同元素中，任取m（mn）個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號c（n，m）表示。
c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（—m）！*m！）；c（n，m）=c（n，n—m）；
3。其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。
n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1，n2，。。。nk這n個元素的全排列數爲n！/（n1！*n2！*。。。*nk！）。
k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數爲c（m+k—1，m）。
排列（Pnm（n爲下標，m爲上標））
Pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）！（注：！是階乘符號）；Pnn（兩個n分別爲上標和下標）=n！；0！=1；Pn1（n爲下標1爲上標）=n
組合（Cnm（n爲下標，m爲上標））
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n—m）！；Cnn（兩個n分別爲上標和下標）=1；Cn1（n爲下標1爲上標）=n；Cnm=Cnn—m
2008—07—0813：30
公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N—元素的總個數R參與選擇的元素個數！—階乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數r個，表達式應該爲n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；
因爲從n到（n—r+1）個數爲n—（n—r+1）=r
舉例：
Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數？
A1：123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬於排列P計算範疇。
上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988，997之類的組合，我們可以這麼看，百位數有9種可能，十位數則應該有9—1種可能，個位數則應該只有9—1—1種可能，最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P（3，9）=9*8*7，（從9倒數3個的乘積）
Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表三國聯盟，可以組合成多少個三國聯盟？
A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬於組合C計算範疇。
上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重複的個數即爲最終組合數C（3，9）=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設有3名學生和4個課外小組。
（1）每名學生都只參加一個課外小組；
（2）每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加。各有多少種不同方法？
解
（1）由於每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數，因此共有種不同方法。
（2）由於每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法。
點評
由於要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算。
例2排成一行
其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分爲第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可採用畫樹圖的方式逐一排出：符合題意的不同排法共有9種。
點評
按照分類的思路，本題應用了加法原理。爲把握不同排法的規律，樹圖是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數問題的一種數學模型。
例3判斷
下列問題是排列問題還是組合問題？並計算出結果。
（1）高三年級學生會有11人：
①每兩人互通一封信，共通了多少封信？
②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年級數學課外小組共10人：
①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？
②從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數：
①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商？
②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？
（4）有8盆花：
①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析（1）
①由於每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的`兩封信，所以與順序有關是排列；
②由於每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題。其他類似分析。
（1）①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手（次）。
（2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
（3）①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積。
（4）①是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
等式成立。
點評這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，並利用階乘的性質，可使變形過程得以簡化。
例5化簡。
解法一原式
解法二原式
點評解法一選用了組合數公式的階乘形式，並利用階乘的性質；解法二選用了組合數的兩個性質，都使變形過程得以簡化。
例6解方程：（1）；（2）。
解（1）原方程
解得。
（2）原方程可變爲
原方程可化爲。
即，解得
第六章排列組合、二項式定理
一、考綱要求
1。掌握加法原理及乘法原理，並能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題。
2。理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質，並能用它們解決一些簡單的問題。
3。掌握二項式定理和二項式係數的性質，並能用它們計算和論證一些簡單問題。
二、知識結構
三、知識點、能力點提示
（一）加法原理乘法原理
說明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎，掌握此兩原理爲處理排列、組合中有關問題提供了理論根據。
