一.知識歸納:
1.集合的有關概念。
1)集合(集):某些指定的對象集在一起就成爲一個集合(集).其中每一個對象叫元素 注意:①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無限集,空集。
4)常用數集:N,Z,Q,R,N*
2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。
1)子集:若對x∈A都有x∈B,則A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;記爲A B(或 ,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)並集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)補集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:①? A,若A≠?,則? A ;
②若 , ,則 ;
③若 且 ,則A=B(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關係,掌握有關的術語和符號,特別要注意以下的符號:(1) 與 、?的區別;(2) 與 的區別;(3) 與 的區別。
4.有關子集的幾個等價關係
①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、並集運算的性質
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6.有限子集的個數:設集合A的元素個數是n,則A有2n個子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集。
二.例題講解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},則M,N,P滿足關係
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:從判斷元素的共性與區別入手。
解答一:對於集合M:{x|x= ,m∈Z};對於集合N:{x|x= ,n∈Z}
對於集合P:{x|x= ,p∈Z},由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數,而6m+1表示被6除餘1的數,所以M N=P,故選B。
分析二:簡單列舉集合中的'元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},這時不要急於判斷三個集合間的關係,應分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
變式:設集合 , ,則( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
當 時,2k+1是奇數,k+2是整數,選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A*B的子集個數爲
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:確定集合A*B子集的個數,首先要確定元素的個數,然後再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n個來求解。
解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有兩個元素,故A*B的子集共有22個。選D。
變式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,則6?a∈M,那麼集合M的個數爲
A)5個 B)6個 C)7個 D)8個
變式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 評析 本題集合A的個數實爲集合{c,d,e}的真子集的個數,所以共有 個 .