不等式的證明
1.比較法
作差作商後的式子變形，判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0。
作商比較法---已知a,b都是正數，要證明a>b,只要證明a/b>1
例1 求證：x2+3>3x
證明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3
= + ≥ >0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,bÎR+，並且a≠b，求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,bÎR+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因爲a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,bÎR+，求證：aabb≥abba
證明： = ∵a,bÎR+,當a>b時， >1,a-b>0， >1;
當a≤b時, ≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
綜合法
瞭解算術平均數和幾何平均數的概念，能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,bÎR，那麼a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時勸=”號）
證明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號。所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號)。
定理2 如果a,b,cÎR+，那麼a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時勸=”號）
證明：∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯，當且僅當a=b=c時取等號。
例1 已知a,b,c是不全等的正數，求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法
這也是分析法的一種特殊情況，它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b，b≤c，則a≤c，只要證明“大於或等於a的”b≤c就行了。
例,證明當k是大於1的整數時， ，
我們可以用放縮法的一支——“逐步放大-法”，證明如下：
分析法
從要證明的不等式出發，尋找使這個不等式成立的某一“充分的”條件，爲此逐步往前追溯(執果索因)，一直追溯到已知條件或一些真命題爲止。例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一“充分的”條件是a2-2ab+b2≥0，即(a-b)2≥0就行了。由於是真命題，所以a2+b2≥2ab成立。分析法的證明過程表現爲一連串的“要證……，只要證……”，最後推至已知條件或真命題
例 求證： 證明:
構造圖形證明不等式
例：已知a、b、c都是正數，求證：
+ > 分析與證明：觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式，聯想到餘弦定理：c2=a2+b2-2ab•CosC,爲了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°，
這樣： 可以看成a、b爲鄰邊，夾角爲120°的的三角形的第三邊
可以看成b、c爲鄰邊，夾角爲120°的.的三角形的第三邊
120°
120°
120°
a
b
c
C
A
B
可以看成a、c爲鄰邊，夾角爲120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下，
AB= ,
BC= ,
AC= 顯然AB+BC>AC，故原不等式成立。
數形結合法
數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題。數量關係如果藉助於圖形性質，可以使許多抽象概念和關係直觀而形象，有利於解題途徑的探求，這通常爲以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化爲數量關係的研究，又可獲得簡捷而一般化的解法，即所謂的以數解形。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識、數形的轉化，可以培養思維的靈活性、形象性。通過數形結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化。
例．證明,當x>5時, ≤x-2
解:令y1= , y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函數y1>y2的x的取值範圍。在同一座標系中分別作出兩個函數的圖象。設它們交點的橫座標是x0, 則 =x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1(舍)。根據圖形,很顯然成立.
反證法
先假定要證不等式的反面成立，然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論，從而斷定反證假定錯誤，因而要證不等式成立。
窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況，加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況)。
注意：在證明不等式時，應靈活運用上述方法，並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力。
