本講教育信息】
一. 教學內容：
推理與證明
二. 本週教學目標：
1. 結合已經學過的數學實例和生活實例，瞭解合情推理，能利用歸納和類比等方法進行簡單的推理，體會並認識合情推理在數學中的作用。
2. 結合已經學過的數學實例和生活實例，瞭解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的模式，並能運用它們進行一些簡單的推理。
3. 瞭解直接證明的兩種基本方法——分析法與綜合法;瞭解間接證明的一種基本方法——反證法。
三. 本週知識要點：
(一)合情推理與演繹推理
1. 歸納推理與類比推理
(1)已知數列 的通項公式 ，記 ，試通過計算 的值，推測出 的值。
(2)若數列 爲等差數列，且 ，則 。現已知數列 爲等比數列，且 ，類比以上結論，可得到什麼結論?你能說明結論的正確性嗎?
【學生討論：】(學生討論結果預測如下)
(1)
由此猜想，
(2)結論：
證明：設等比數列 的公比爲 ，則 ，所以
所以
——如(1)是從個別事實中推演出一般結論，像這樣的推理通常稱爲歸納推理。
——如(2)是根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱爲類比推理。
說明：
(1)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那麼推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。
(2)歸納推理的一般步驟：
①通過觀察個別情況發現某些相同的性質。
②從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題(猜想)。
(3)類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性
質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關係就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。
(4)類比推理的一般步驟：
①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。
②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)。
2. 演繹推理
現在冰雪覆蓋的南極大陸，地質學家說它們曾在赤道附近，是從熱帶飄移到現在的位置的，爲什麼呢?原來在它們的地底下，有着豐富的煤礦，煤礦中的樹葉表明它們是闊葉樹。從繁茂的闊葉樹可以推知當時有溫暖溼潤的氣候。所以南極大陸曾經在溫溼的熱帶。
被人們稱爲世界屋脊的西-藏高原上，一座座高山高入雲天，巍然屹立。西-藏高原南端的喜馬拉雅山橫空出世，雄視世界。珠穆朗瑪峯是世界第一高峯，登上珠峯頂，一覽羣山校誰能想到，喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋，高聳的山峯的前身，竟然是深不可測的大海。地質學家是怎麼得出這個結論的呢?
科學家們在喜馬拉雅山區考察時，曾經發現高山的地層中有許多魚類、貝類的化石。還發現了魚龍的化石。地質學家們推斷說，魚類貝類生活在海洋裏，在喜馬拉雅山上發現它們的`化石，說明喜馬拉雅山曾經是海洋。科學家們研究喜馬拉雅變遷所使用的方法，就是一種名叫演繹推理的方法。
1. 演繹推理：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理方法。
2. 演繹推理的一般模式
分析喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋的推理過程：
魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋裏……大前提
在喜馬拉雅山上發現它們的化石……小前提
喜馬拉雅山曾經是海洋……結論
M-P(M是P)
常用格式：
S-M(S是M)
S-P(S是P)
三段論：(1)大前提……已知的一般原理
(2)小前提……所研究的特殊情況
(3)結論……根據一般原理，對特殊情況作出的判斷
用集合論的觀點分析：若集合M中的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那麼S中所有元素也都具有性質P。
練習：分析下面幾個推理是否正確，說明爲什麼?
(1)因爲指數函數 是增函數，
(2)因爲無理數是無限小數
而 是指數函數 而π是無限小數
所以 是增函數 所以π是無理數
(3)因爲無理數是無限小數，而 (=0.333……)是無限小數，所以 是無理數
說明：在應用“三段論”進行推理的過程中，大前提、小前提或推理形式之一錯誤，都可能導致結論錯誤。
比較：合情推理與演繹推理的區別與聯繫
從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個體到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理;而演繹推理是由一般到特殊的推理。
從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待於進一步證明;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確。
人們在認識世界的過程中，需要通過觀察、實驗等獲取經驗;也需要辨別它們的真僞，或將積累的知識加工、整理，使之條理化，系統化，合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演着重要的角色。
就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程，但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想。
(二)直接證明與間接證明
1. 綜合法與分析法
(1)綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理證明，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法又叫順推證法。
它的基本思路是“由因導果”，即從“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。
(2)分析法
我們從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結爲判定一個明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法，它的特點是：從未知看需知，再逐步靠近已知。
2. 間接證明
反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
(三)數學歸納法
用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：
(1)證明：當n取第一個值 時結論正確;
(2)假設當n=k(k∈ ，且k≥ )時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確。
由(1)，(2)可知，命題對於從n0開始的所有正整數n都正確。
數學歸納法被用來證明與自然數有關的命題： 遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。
【典型例題】
例1. 如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E爲垂足，求證：AB的中點M到D，E的距離相等。
證明：(1)因爲有一個內角爲直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB=90，………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。 ……………………………………結論
同理，△AEB也是直角三角形
(2)因爲直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線，………小前提
所以DM= ，……………………………………………………結論
同理，EM= 。 所以DM=EM
例2. 已知 ，求證： 。
證法一(綜合法)：
證法二(分析法)： ，爲了證明 ，
只需證明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 .
成立，
成立
例3：證明： 不能爲同一等差數列的三項。
證明：假設 、 、 爲同一等差數列的三項，則存在整數m，n滿足
= +md ① = +nd ②
① n-② m得： n- m= (n-m)
兩邊平方得： 3n2+5m2-2 mn=2(n-m)2
左邊爲無理數，右邊爲有理數，且有理數 無理數
所以，假設不正確。即 、 、 不能爲同一等差數列的三項
例4. 通過計算可得下列等式：
……
將以上各式分別相加得：
即：
類比上述求法：請你求出 的值。
解：
……
將以上各式分別相加得：
所以：
例5.自然狀態下魚類是一種可再生資源，爲持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚羣總量的影響，用 表示某魚羣在第 年年初的總量， ，且 >0。不考慮其它因素，設在第 年內魚羣的繁殖量及捕撈量都與 成正比，死亡量與 成正比，這些比例係數依次爲正常數 。
(Ⅰ)求 與 的關係式;
(Ⅱ)猜測：當且僅當 ， 滿足什麼條件時，每年年初魚羣的總量保持不變?(不要求證明)
解：(I)從第n年初到第n+1年初，魚羣的繁殖量爲axn，被捕撈量爲bxn，死亡量爲
(II)若每年年初魚羣總量保持不變，則xn恆等於x1， n∈ ，從而由(*)式得
因爲x1>0，所以a>b。
猜測：當且僅當a>b，且 時，每年年初魚羣的總量保持不變。
【模擬試題】
1. 如果數列 是等差數列，則
A. B.
C. D.
2. 下面使用類比推理正確的是
A. “若 ，則 ”類推出“若 ，則 ”
B. “若 ”類推出“ ”
C. “若 ” 類推出“ (c≠0)”
D. “ ” 類推出“ ”
3. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數”結論顯然是錯誤的，是因爲
A. 大前提錯誤 B. 小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D. 非以上錯誤
4. 設 ， ，n∈N，則
A. B. - C. D. -
5. 在十進制中 ，那麼在5進制中數碼2004摺合成十進制爲
A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
6. 函數 的圖像與直線 相切，則 =
A. B. C. D. 1
7. 下面的四個不等式：① ;② ;③ ;④ 。其中不成立的有
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
8. 類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關係： 。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關係爲 。
9. 從 中，可得到一般規律爲 (用數學表達式表示)
10. 函數y=f(x)在(0，2)上是增函數，函數y=f(x+2)是偶函數，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關係是 。
11. 在△ABC中， ，判斷△ABC的形狀
12. △ABC三邊長 的倒數成等差數列，求證： 。
13. 在各項爲正的數列 中，數列的前n項和 滿足
(1) 求 ;(2) 由(1)猜想數列 的通項公式;(3) 求
