高三的學子們就要步入大學聯考了，而數學又是其中非常重要的一個科目，分數比例比較大，以下是yjbys網小編整理的關於全國大學聯考數學提升訓練題，供大家練習備考。
【例1】 (08·安徽大學聯考)在某次普通話測試中，爲測試漢字發音水平，設置了10張
卡片，每張卡片印有一個漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有後鼻音“g”.(Ⅰ)
現對三位被測試者先後進行測試，第一位被測試者從這10張卡片總隨機抽取1張，測
試後放回，餘下2位的測試，也按同樣的方法進行。求這三位被測試者抽取的卡片上，
拼音都帶有後鼻音“g”的概率。(Ⅱ)若某位被測試者從10張卡片中一次隨機抽取3張，
求這三張卡片上，拼音帶有後鼻音“g”的卡片不少於2張的概率.
【解】 (Ⅰ)每次測試中，被測試者從10張卡片中隨機抽取1張卡片上，拼音帶有
後鼻音“g”的概率爲10(3，因爲三位被測試者分別隨機抽取一張卡片的事件是相互獨立的，
因而所求的概率爲10(3×10(3×10(3=1000(27.
(Ⅱ)設Ai(i=1，2，3)表示所抽取的三張卡片中，恰有i張卡片帶有後鼻音“g”的事件，
且其相應的概率爲P(Ai)，則P(A2)=7(13(210(310(3=40(7，P(A3)=3(310(310(3=120(1，
因而所求概率爲P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=40(7+120(1=60(11.
【例
2】(08·福建大學聯考)三人獨立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分
別爲5(1，4(1，3(1，且他們是否破譯出密碼互不影響。(Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率;(Ⅱ)“密
碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大?說明理由.
【解】記“第i個人破譯出密碼”爲事件Ai(i=1，2，3)，依題意有
P(A1)=5(1，P(A2)=4(1，P(A3)=3(1，且A1，A2，A3相互獨立.
(Ⅰ)設“恰好二人破譯出密碼”爲事件B，則有
B=A1A2A3(￣+A1A2(￣A3+A1(￣A2A3，且A1A2A3(￣、A1A2(￣A3、A1(￣A2A3彼此互斥
於是P(B)=P(A1A2A3(￣)+P(A1A2(￣A3)+P(A1(￣A2A3)=5(1×4(1×3(2+5(1×4(3×3(1+5(4×4(1×3(1=20(3.
答：恰好二人破譯出密碼的概率爲20(3.
(Ⅱ)設“密碼被破譯”爲事件C，“密碼未被破譯”爲事件D.
D=A1(￣·A2(￣·A3(￣，且A1(￣、A2(￣、A3(￣相互獨立，則P(D)=P(A1(￣)·P(A2(￣)·P(A3(￣)=5(4×4(3×3(2=5(2.
而P(C)=1-P(D)=5(3，故P(C)>P(D).
答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.
【例3】 (08·重慶大學聯考)在每道單項選擇題給出的4個備選答案中，只有一個是正確
的.若對4道選擇題中的每一道都任意選定一個答案，求這4道題中：(Ⅰ)恰有兩道題答
對的概率;(Ⅱ)至少答對一道題的概率.
【解】 “選擇每道題的答案”爲一次試驗，則這是4次獨立重複試驗，且每次試驗中“選
擇正確”這一事件發生的概率爲4(1.由獨立重複試驗的概率計算公式得：
(Ⅰ)恰有兩道題答對的概率爲P4(2)=C4(2(4(1)2(4(3)2=128(27.
(Ⅱ)解法一：至少有一道題答對的概率爲1-P4(0)=1-C4(0(4(1)0(4(3)4=1-256(81=256(175.
解法二：至少有一道題答對的概率爲分爲4類情形：
P4(1)=C4(1(4(1)1(4(3)3=256(108，P4(2)=C4(2(4(1)2(4(3)2=128(27，P4(3)=C4(3(4(1)3(4(3)1=256(12，P4(4)=C4(4(4(1)4(4(3)0=256(1.
所以至少答對一道的概率爲P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=256(108+256(54+256(12+256(1=256(175.
【例4】 (08·湖北理)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號
的有n個(n=1，2，3，4).現從袋中任取一球.ξ表示所取球的標號.(Ⅰ)求ξ的分佈列，期
望和方差;(Ⅱ)若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，試求a，b的值.
【解】 (Ⅰ)ξ的分佈列爲：
∴Eξ=0×2(1+1×20(1+2×10(1+3×20(3+4×5(1=1.5.
Dξ=(0-1.5)2×2(1+(1-1.5)2×20(1+(2-1.5)2×10(1+(3-1.5)2×20(3+(4-1.5)2×5(1=2.75.
(Ⅱ)由Dη=a2Dξ，Eη=aEξ+b，得 ( 1.5a+b=1(a2×2.75=11，解得 ( b=-2(a=2或 ( b=4(a=-2.
【例5】 (08全國Ⅱ大學聯考)購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a
元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年
度內有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立.已知保險公司在一年
度內至少支付賠償金10000元的概率爲1-0.999 (104.(Ⅰ)求一投保人在一年度內出險的概
率p;(Ⅱ)設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本爲50000元，爲保證盈利的期
望不小於0，求每位投保人應交納的最低保費(單位：元).
【解】 各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，
記投保的10000人中出險的人數爲ξ，則ξ～B(104，p).
(Ⅰ)記A表示事件：保險公司爲該險種至少支付10000元賠償金，則A(￣發生當且僅當ξ=0，
P(A)=1-P(A(￣)=1-P(ξ=0)=1-(1-p) (104
又P(A)=1-0.999 (104，故p=0.001.
(Ⅱ)該險種總收入爲10000a元，支出是賠償金總額與成本的和.
支出 10000ξ+50000，
盈利 η=10000a-(10000ξ+50000)，
盈利的期望爲 Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B(104，10-3)知，Eξ=104×10-3，
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.
Eη≥0Û104a-104×104×10-3-5×104≥0Ûa≥15(元).
故每位投保人應交納的最低保費爲15元.
【例6】 (08·江西大學聯考)因冰雪災害，某柑桔基地果林嚴重受損，爲此有關專家提出
兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施;若實施方案一，預計當年可以使柑桔
產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的.概率分別是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑
桔產量爲上一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實施方案二，預計當年
可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5;第二年
可以使柑桔產量爲上一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實施每種方案，第
二年與第一年相互獨立。令ξi(i=1，2)表示方案實施兩年後柑桔產量達到災前產量的
倍數.(Ⅰ)寫出ξ1、ξ2的分佈列;(Ⅱ)實施哪種方案，兩年後柑桔產量超過災前產量
(Ⅱ)令A、B分別表示方案一、方案二兩年後柑桔產量超過災前產量這一事件，
P(A)=0.15+0.15=0.3，P(B)=0.24+0.08=0.32,
可見，方案二兩年後柑桔產量超過災前產量的概率更大.
(Ⅲ)令η1表示方案所帶來的效益，則
所以Eη1=10×0.35+15×0.35+20×0.3=14.75，
Eη2=10×0.35+15×0.18+20×0.32=14.75，
【例7】 (08·陝西)某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵.爲調查樹苗的生長情
況，採用分層抽樣的方法抽取一個容量爲150的樣本，則樣本中松樹苗的數量爲( )
A.30 B.25 C.20 D.15
【解】 設樣本中松樹苗的數量爲，則30000(150=4000(x，解得x=20.
【例8】 (08·廣東)爲了調查某廠工人生產某種產品的能力，
隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量.產品數量的分組區間爲[45，55]，[55，65]，
[65，75]，[75，85]，[85，95)，由此得到頻率分佈直方圖如圖3，則這20名工人中一天
生產該產品數量在[55，75)，的人數是________.
【解】 20×(0.040×10+0.025×10)=13.
點評：解答此類問題主要有三條途徑：①利用所有分組對應的頻率之和爲1;②利用公
式：頻率=條形圖的面積=縱座標×橫座標，或利用公式頻數=樣本容量×頻率;③利用
頻率分佈圖中相關數據;④利用頻率分佈表繪製頻率分佈直方圖.
的概率更大?(Ⅲ)不管哪種方案，如果實施兩年後柑桔產量達不到災前產量，預計可
帶來效益10萬元;兩年後柑桔產量恰好達到災前產量，預計可帶來效益15萬元;柑桔
產量超過災前產量，預計可帶來效益20萬元;問實施哪種方案所帶來的平均效益更大?
【解】(Ⅰ)ξ1的所有取值爲0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值爲0.8、0.96、
1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2的分佈列分別爲：
