【內容概述】涉及知識點多、解題過程比較複雜的整數綜合題，以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題.
1.如果把任意n個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩種可能，那麼n是多少?
【分析與解】我們知道如果有5個連
續的自然數，因為其內必有2的倍數，也有5的倍數，則它們乘積的個位數字只能是0。
所以n小於5.
第一種情況:當n為4時，如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5)，顯然其內含有2的倍數，那麼它們乘積的個位數字為0;
如果不含有5的倍數，則這4個連續的個位數字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它們的積的個位數字都是4;
所以，當n為4時，任意4個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩科可能.
第二種情況：當n為3時，有1×2×3的個位數字為6，2×3×4的個位數字為4，3×4×5的`個位數字為0，……，不滿足.
第三種情況：當n為2時，有1×2，2×3，3×4，4×5的個位數字分別為2，6，4，0，顯然不滿足.
至於n取1顯然不滿足了.
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個兩位質數a，b，c，d兩兩不同，並且滿足，等式a+b=c+d.那麼，
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析與解】兩位的質數有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，
67，71，73，79，83，89，97.
可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168.
3.如果某整數同時具備如下3條性質：
①這個數與1的差是質數;
②這個數除以2所得的商也是質數;
③這個數除以9所得的餘數是5.
那麼我們稱這個整數為幸運數.求出所有的兩位幸運數.
【分析與解】條件①也就是這個數與1的差是2或奇數，這個數只能是3或者偶數，再根據條件③，除以9餘5，在兩位的偶數中只有14，32，50，68，86這5個數滿足條件.
其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14.
所以兩位幸運數只有14.
4.在555555的約數中，最大的三位數是多少?
【分析與解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
顯然其最大的三位數約數為777.
5.從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長儘可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那麼在剩下的紙片上再剪下一個邊長儘可能大的正方形.按照上面的過程不斷地重複，最後剪得正方形的邊長是多少毫米?
【分析與解】從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商.而餘數恰好是剩下的長方形的寬，於是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77.231÷77=3.
不難得知，最後剪去的正方形邊長為77毫米.
6.已知存在三個小於20的自然數，它們的最大公約數是1，且兩兩均不互質.請寫出所有可能的答案.
【分析與解】設這三個數為a、b、c，且a
小於20的合數有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1種因數的合數不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數，但是14=2×7，其中質因數7只有14含有，無法找到兩個不與14互質的數.
所以只剩下6，10，12，15，18這5個數存在可能的排列.
