按照機械運動及幾何學的觀點，對平面結構或體系的組成情況進行分析，稱爲平面體 系的幾何組成分析。
一、名詞定義
(一)剛片和剛片系
不會產生變形的剛性平面體稱爲剛片。在體系的幾何組成分析中，不考慮杆件微小的 應變，這種不計應變的平面杆件就是剛片，由剛片組成的體系稱爲剛片系。
(二)幾何可變體系和幾何不變體系
當不考慮材料的應變時，體系中各杆的相對位置或體系的形狀可以改變的體系稱爲幾 何可變體系。否則，體系就稱爲幾何不變體系。一般的實際結構，都必須是幾何不變體系。
(三)自由度、約束和對象
物體運動時的獨立幾何參數數目稱爲自由度。例如一個點在平面內的自由度爲2，一個剛片在平面內的自由度爲3。
減少體系獨立運動參數的裝置稱爲約束，被約束的物體稱爲對象。使體系減少一個獨立運動參數的裝置稱爲一個約束。例如一根鏈杆相當於一個約束;一個連接兩個剛片的單鉸相當於二個約束;一個連接n個剛片的復鉸相當於n—1個單鉸;一個連接二個剛片的單剛性節點相當於三個約束;一個連接n個剛片的復剛性節點相當於n—1個單剛性節點。
一個平面體系的`自由度w可按下式確定
W=3n—2H—R
其中n爲體系中的剛片總數，H、R分別爲體系中的單鉸總數和支桿總數。例如圖1-1所示體系的自由度分別爲1和0。自由度大於零的體系一定是幾何可變的。自由度等於零及小於零的體系，可能是幾何不變的也可能是幾何可變的，要根據體系中的約束佈置情況確定。
(a) (b)
圖1-1
(四)必要約束和多餘約束
如果在體系中增加一個約束，體系減少一個獨立的運動參數，則此約束稱爲必要約束。如果在體系中增加一個約束，體系的獨立運動參數並不減少，則此約束稱爲多餘約束。平面內一個無鉸的剛性閉合杆(或稱單閉合杆)具有三個多餘約束。
(五)等效代替
1.等效剛片
幾何組成分析時，一個內部幾何不變的平面體系，可用一個相應的剛片來代替，此剛片稱爲等效剛片。
2.等效鏈杆
幾何組成分析時，一根兩端爲鉸的非直線形杆件，可用一根相應的兩端爲鉸的直線形 鏈杆來代替，此直線形鏈杆稱爲等效鏈杆。
3.虛鉸
連接兩個剛片的兩根鏈杆的交叉點或其延長線的交點稱爲虛鉸(如圖1-2)。兩根鏈杆對兩個剛片運動的約束效果與相應的虛鉸是等效的。
(a) (b)
圖1-2
二、平面體系的幾何組成分析
(一)平面幾何不變體系的基本組成規則及瞬變體系、常變體系
判定體系是否滿足幾何不變的充分條件是幾何不變體系的基本組成規則。
1.兩剛片連接規則
兩個剛片用不相交於一點或不互相平行的三根鏈杆連接成的體系，是內部幾何不變且無多餘約束的體系。
2.三剛片連接規則
三個剛片用三個不在一條直線上的單鉸(虛鉸或實鉸)兩兩相連而成的體系，是內部幾何不變且無多餘約束的體系。
兩剛片、三剛片連接規則實際上是可以相互變換溝通的。
3.兩元片和一元片規則
由上述兩剛片、三剛片連接規則可得如下的兩元片和一元片規則。由兩根不在同一直線上的鏈杆連接一個新節點的裝置稱爲兩元片;由三根不相交於一點的鏈杆連接一個剛片的裝置稱爲一元片。在一個體繫上增加或去除兩元片、一元片，不影響原體系的幾何不變性或可變性。
4.瞬變體系和常變體系
只能作微小運動的體系稱爲瞬變體系。例如圖1-3所示的體系均爲瞬變體系。能作非常微小運動的體系稱爲常變體系。如一個實鉸連接兩個剛片的體系及用三根等長且都平行的鏈杆連接兩個剛片的體系都是常變體系。
(a) (b) (c)
圖1-3
(二)幾何組成分析例題
[例1-1] 分析圖1-4(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-4
[解] 體系的自由度W=3×3-2×2-5=0。根據兩元片規則，將地基延伸至固定鉸A、C處，並將地基作爲剛片I，將杆件BEFG作爲剛片Ⅱ(圖1-4(b))，剛片I和Ⅱ由支座鏈杆B、等效鏈杆AE、CG相連接，這三根鏈杆不相交於一點，體系是幾何不變的，且無多餘約束。
[例1-2] 分析圖1-5(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-5
[解] 體系的自由度W=3×10—2×12—6=0。將地基並連同杆件ACG、BFJ作爲剛片I、杆件DH、EI作爲剛片Ⅱ、Ⅲ(圖1-5(b))，則剛片I、Ⅱ、Ⅲ由三個虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，其中虛鉸(ⅡⅢ)由一組平行鏈杆形成，而虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)的連接線平行於形成虛鉸(ⅡⅢ)的兩根平行鏈杆，可視爲三虛鉸在同一直線上，體系爲瞬變體系。
[例1-3] 分析圖1-6(a)所示體系的幾何組成。
[解] 體系的自由度W=3×8—2×10-4=0。根據兩元片規則，將地基延伸至固定鉸A處，並將地基作爲剛片I，將CEF作爲等效剛片Ⅱ，DB杆作爲剛片Ⅲ，這三個剛片由三個虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，如圖1-6(b)所示。因形成無窮遠處的兩個虛鉸(IⅢ)、(ⅡⅢ)的兩組平行鏈杆不相互平行，故體系是無多餘約束的幾何不變體。
(a) (b)
圖1-6
[例1-4] 分析圖1-7(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-7
[解] 體系的自由度W=3×9—2×12—3=0。根據一元片規則，去除圖1-7(a)所示體系的一元片，得圖1-7(b)所示體系。再將杆件AB、CE、DF分別作爲剛片I、Ⅱ、ⅡⅢ，這三個剛片由三組平行鏈杆形成的三個無窮遠處的虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，根據三剛片連接規則，體系爲無多餘約束的幾何可變體系(無窮遠處的三個點在一廣義直線上)。
