對稱性：函數圖象存在的一種對稱關係，包括點對稱和線對稱。
週期性：設函數 的定義域是 ，若存在非零常數 ，使得對任何 ，都有 且 ，則函數 爲周期函數， 爲 的一個週期。
對稱性和週期性是函數的兩大重要性質，他們之間是否存在着內在的聯繫呢?本文就來研究一下它們之間的內在聯繫，有不足之處望大家批評指正。
一、一個函數關於兩個點對稱。
命題1：如果函數 的圖象關於點 和點 對稱，那麼函數 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
證明：∵函數 的圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
從而
即：
是周期函數， 爲函數 的一個週期。
特例：當 時， 爲奇函數，即奇函數 如果又關於點 對稱，那麼函數 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
命題 ：如果函數 的圖象關於兩點 和 對稱，那麼：
當 ， 時， 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
當 ， 時， 不是周期函數。
證明：∵函數 的圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
從而
當 ， 時
即：
當 ， 時， 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
當 ， 時
當 ， 時， 不是周期函數。
當 ， 時
(與條件矛盾，捨去)
綜合得原命題成立。
二、一個函數如果關於一個點和一條線對稱。
命題2：如果函數 的圖象關於點 和直線 對稱，那麼函數 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
證明：∵函數 的圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關於直線 對稱，
對定義域內的所有 成立。
從而
即：
即：
是周期函數， 爲函數 的一個週期。
特例：當 時， 爲奇函數，即奇函數 如果又關於直線 對稱，那麼函數 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
命題 ：如果函數 的圖象關於點 和直線 對稱，那麼函數 是周期函數， 爲函數 的一個週期。
證明：∵函數 的.圖象關於點 對稱，
對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關於直線 對稱，
對定義域內的所有 成立。
從而
即：
即：
是周期函數， 爲函數 的一個週期。
三、一個函數如果關於兩條線對稱。
命題3：如果函數 的圖象關於直線 和直線 對稱，那麼函數 是以 爲週期的周期函數。
證明：∵函數 的圖象關於直線 對稱，
對定義域內的所有 成立。
又∵函數 的圖象關於直線 對稱，
對定義域內的所有 成立。
從而
即：
是以 爲週期的周期函數。
