相遇問題奧數解析

甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘，離甲後5分鐘又遇乙，從乙身邊開過，只用了7秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇?

答案與解析：

要求過幾分鐘甲、乙二人相遇，就必須求出甲、乙二人這時的距離與他們速度的關係，而與此相關聯的是火車的運動，只有通過火車的運動才能求出甲、乙二人的距離.火車的運行時間是已知的，因此必須求出其速度，至少應求出它和甲、乙二人的速度的比例關係.由於本問題較難，故分步詳解如下：

①求出火車速度V車與甲、乙二人速度V人的關係，設火車車長爲l，則：

(i)火車開過甲身邊用8秒鐘，這個過程爲追及問題：故l=(V車-V人)×8;(1)

(ii)火車開過乙身邊用7秒鐘，這個過程爲相遇問題：故l=(V車+V人)×7.(2)

由(1)、(2)可得：8(V車-V人)=7(V車+V人)，所以，V車=l5V人。

②火車頭遇到甲處與火車頭遇到乙處之間的距離是：(8+5×6O)×(V車+V人)=308×16V人=4928V人。

③求火車頭遇到乙時甲、乙二人之間的距離。火車頭遇甲後，又經過(8+5×60)秒後，火車頭才遇乙，所以，火車頭遇到乙時，甲、乙二人之間的距離爲：4928V人-2(8+5×60)V人=4312V人。

④求甲、乙二人過幾分鐘相遇?

相遇問題

重點理解關鍵詞：同時 相對(相向)而行 速度和 兩地路程 相遇

相遇問題基本數量關係式：

兩地距離=速度和×相遇時間

練習：

1.兩列火車同時從兩地對開。甲車每小時行62千米，乙車每小時行70千米，經過 時兩車相遇。兩地間的鐵路長多少千米?

2.兩臺機器生產同一種零件。第一臺 時生產20個零件，第二臺每小時生產80個零件。兩臺機器同時生產98個零件需要幾小時?

3.甲乙兩車同時從相距90千米的兩地相對開出， 時後兩車在途中相遇。已知甲車每小時行60千米，那麼乙車每小時行多少千米?

4.兩列火車同時從兩地對開。甲車每小時行62km，乙車每小時行70km，經過 時兩車還相距12km。兩地間的鐵路長多少km?

5.一輛客車從A市行駛到B市，60km/時，2時後一輛貨車從B市行駛到A市, 80km/時，貨車行了5時正好與客車相遇。A B兩市公路長多少km?

“有的母牛比一般人具有更健全的頭腦，有一位農夫就曾這樣認爲”，瞧!有一天我的那頭老傢伙，有着斑紋的母牛正站在距離橋樑中心點5英尺遠的地方，平靜地注視着河水發呆，突然，他發現一列特別快車以每小時90英里的速度向它奔馳而來，此時，火車已經到達靠近母牛一端的橋頭附近，只有兩座橋長的距離了。母牛毫不猶豫，馬上不失時機地迎着飛奔而來的火車作了一次猛烈衝刺，終於得救了。

此時距離火車頭只剩1英尺了，如果母牛按照人的本能，以同樣的速度離開火車逃跑，那麼母牛的屁股將有3英寸要留在橋上!試問：橋樑的長度是多少?這隻母牛狂奔的速度是多少?(1英尺=12英寸)

【解答】整體思考，相遇和追及，母牛跑了1個橋長少3英寸，火車行了5個橋長少12+3=15英寸，火車速度剛好是母牛速度的5倍，則母牛每小時行90÷5=18英里。

迎面而行時，母牛行了0.5個橋長少5英尺，那麼火車應該行了0.5×5=2.5個橋長多5×5=25英尺，也是2個橋長少1英尺，相比較2.5-2=0.5個橋長是25-1=24英尺，那麼橋長是24÷0.5=48英尺。

1.甲乙同時從東西兩鎮相向步行，在距離西鎮20千米處相遇，相遇後兩人繼續前進，甲至西鎮，乙至東鎮後立即返回，兩人又在距東鎮15千米處相遇，求東西兩鎮的距離？

2.快慢車同時從甲乙兩站相對出發，6小時相遇，這時快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需15小時，兩車到站後，快車停車0.5小時，慢車停一小時返回，從第一次相遇到途中在相遇，經過多少小時？

1.(沒想到好的算術解法，先用方程做一下）

設兩鎮相距x千米

第一次相遇時，甲走了x-20千米，乙走了20千米

第二次相遇時，甲走了2x-15千米，一走了x+15千米

兩人的速度比是一定的，那麼在相同時間內的路程比也是一定的

(x-20)/20=(2x-15)/(x+15)

x^2-45x=0,x不可能爲0

所以x=45千米

2.

快車離乙站還有240千米，即慢車在6小時內走了240千米

慢車每小時走：240/6=40千米

兩站相距：40×15=600千米

快車6小時內走了600-240=360千米

所以快車每小時走：360/6=60千米

快車到達乙站需要：600/60=10小時

慢車到達甲站需要：600/40=15小時

等到慢車從甲站再次出發時，

快車已經離開乙站，走了15-10-0.5+1=5.5小時

走了5.5×60=330千米

此時兩車相距600-330=270千米

兩車相遇還需要270/(60+40)=2.7小時

所以兩車從出發到第二次相遇一共經過：

10+0.5+5.5+2.7=18.7小時

從第一次相遇到途中再次相遇，經過：18.7-6=12.7小時

兄妹二人在周長30米的`圓形水池邊玩，從同一地點同時背向繞水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他們第十次相遇時，妹妹還需走()米才能回到出發點．

考點：多次相遇問題．

分析：第十次相遇，妹妹已經走了：30×10÷（1.3+1.2）×1.2=144 （米）． 144÷30=4（圈）…24（米）． 30-24=6 （米）．還要走6米回到出發點．

解答：解：第十次相遇時妹妹已經走的路程：

30×10÷（1.3+1.2）×1.2，

=300÷2.5×1.2，

=144（米）．

144÷30=4（圈）…24（米）．

30-24=6 （米）．

還要走6米回到出發點．

故答案爲6米．

點評：此題屬於多次相遇問題，關鍵在於先求出第十次相遇時妹妹已經走的路程．

有人沿公路前進，對面來了一輛汽車，他問司機：“後面有自行車嗎？”司機回答：“十分鐘前我超過一輛自行車”，這人繼續走了十分鐘，遇到自行車，已知自行車速度是人步行速度的三倍，問汽車的速度是步行速度的（）倍．

考點：多次相遇問題．

分析：人遇見汽車的時候，離自行車的路程是：（汽車速度-自行車速度）×10，這麼長的路程要自行車和人合走了10分鐘，即：（自行車+步行）×10，等式：（汽車速度-自行車速度）×10=（自行車+步行）×10，即：汽車速度-自行車速度=自行車速度+步行速度．汽車速度=2×自行車速度+步行速度，又自行車的速度是步行的3倍，所以汽車速度是步行的7倍．

解答：（汽車速度-自行車速度）×10=（自行車+步行）×10，

即：汽車速度-自行車速度=自行車速度+步行速度．

汽車速度=2×自行車速度+步行，又自行車的速度是步行的3倍，

所以汽車速度=（2×3+1）×步行速度=步行速度×7．

故答案爲：7．

點評：解答此題的關鍵是要推出：汽車與自行車的速度差等於人與自行車的速度和．

1.甲、乙兩個運動員分別從相距100米的直跑道兩端同時相對出發，甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度來回勻速跑步，他們共同跑了8分32秒，在這段時間內兩人多次相遇（兩人同時到達同一地點叫做相遇）．他們最後一次相遇的地點離乙的起點有()米．甲追上乙()次，甲與乙迎面相遇()次．

分析：8分32秒=512（秒）．

①當兩人共行1個單程時第1次迎面相遇，共行3個單程時第2次迎面相遇，共行2n-1個單程時第n次迎面相遇．

因爲共行1個單程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），所以第n次相遇需10×（2n-1）秒，

由10×（2n-1）=510，解得n=26，即510秒時第26次迎面相遇．

②此時，乙共行3.75×510=1912.5（米），離10個來回還差200×10-1912.5=87.5（米），即最後一次相遇地點距乙的起點87.5米．

③類似的，當甲比乙多行1個單程時，甲第1次追上乙，多行3個單程時，甲第2次追上乙，多行2n-1個單程時，甲第n次追上乙．因爲多行1個單程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．當n=6時，40×（2n

-1）=440＜512；當n=7時，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒內甲共追上乙6次．

解答：解：①當兩人共行1 個單程時第1 次迎面相遇，共行3 個單程時第2 次迎面相遇，共行2n-1個單程時第n次迎面相遇．

因爲共行1 個單程需100÷（6.25+3.75）=10（秒），

8 分32秒=512秒，（512-10）÷（10×2）≈25（次），所以25+1=26（次）．

②最後一次相遇地點距乙的起點：

200×10-3.75×510，

=20xx-1912.5，

=87.5（米）．

③多行1個單程需100÷（6.25-3.75）=40（秒），所以第n次追上乙需40×（2n-1）秒．

當n=6時，40×（2n-1）=440＜512；當n=7時，40×（2n-1）=520＞512，所以在512秒內甲共追上乙6次．

故答案爲：87.5米；6次；26次．

1.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發相向而行，速度分別爲每小時40千米和50千米，到達目的地後立即返回，如此反覆運行多次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？

分析：在往返來回相遇問題中，第一次相遇兩人合走完一個全程，以後每次再相遇，都合走完兩個全程．即：兩人相遇時是在他們合走完1，3，5個全程時．然後根據路程÷速度和=相遇時間解答即可．

解答：解答：①第三次相遇時兩車的路程和爲：

90+90×2+90×2，

=90+180+180，

=450（千米）；

②第三次相遇時，兩車所用的時間：

450÷（40+50）=5（小時）；

③距礦山的距離爲：40×5-2×90=20（千米）；

答：兩車在第三次相遇時，距礦山20千米．

點評：在多次相遇問題中，相遇次數n與全程之間的關係爲：1+（n-1）×2個全程=一共行駛的路程．

王明從A城步行到B城，同時劉洋從B城騎車到A城，1.2小時後兩人相遇．相遇後繼續前進，劉洋到A城立即返回，在第一次相遇後45分鐘又追上了王明，兩人再繼續前進，當劉洋到達B城後立即折回．兩人第二次相遇後()小時第三次相遇．

考點：多次相遇問題．

分析：由題意知道兩人走完一個全程要用1.2小時．從開始到第三次相遇，兩人共走完了三個全程，故需3.6小時．第一次相遇用了一小時，第二次相遇用了40分鐘，那麼第二次到第三次相遇所用的時間是：3.6小時-1.2小時-45分鐘據此計算即可解答．

解答：解：45分鐘=0.75小時，

從開始到第三次相遇用的時間爲：

1.2×3=3.6（小時）；

第二次到第三次相遇所用的時間是：

3.6-1.2-0.75

=2.4-0.75，

=1.65（小時）；

答：第二次相遇後1.65小時第三次相遇．

故答案爲：1.65．

點評：本題主要考查多次相遇問題，解題關鍵是知道第三次相遇所用的時間．