初等函數的定義是什麼

初等函數是由冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數與常數經過有限次的有理運算及有限次函數複合所產生，並且能用一個解析式表示的函數。下面是本站小編給大家整理的初等函數的定義簡介，希望能幫到大家!

初等函數是由冪函數(power function)、指數函數(exponential function)、對數函數(logarithmic function)、三角函數(trigonometric function)、反三角函數(inverse trigonometric function)與常數經過有限次的有理運算(加、減、乘、除、有理數次乘方、有理數次開方)及有限次函數複合所產生，並且能用一個解析式表示的函數。

它是最常用的一類函數，包括常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(以上是基本初等函數)，以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的複合而得的所有函數。即基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的函數複合所構成並可以用一個解析式表出的函數，稱爲初等函數。

還有一系列雙曲函數也是初等函數，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦，cosh是雙曲餘弦或超餘弦，tanh是雙曲正切，coth是雙曲餘切，sech是雙曲正割，csch是雙曲餘割。初等函數在其定義域內連續。

一個初等函數，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式。例如 ，三角函數 y=sinx 可以用無窮級數表爲y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函數是最先被研究的一類函數，它與人類的生產和生活密切相關，並且應用廣泛。爲了方便，人們編制了各種函數表，如平方表、開方表、對數表、三角函數表等。

復變三角函數

例如將y=sinx和y=cosx中變量x換爲復變量z，則得到復變三角函數w=sinz和w=cosz，它們是整函數。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數。它們具有實三角函數的很多類似性質：週期性、微商性質、三角恆等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是對任何z都成立。三角函數與指數函數密切聯繫，因此應用時很方便。sinz的單葉性區域將Gk單葉並共形地映爲全平面上除去實軸上線段[-1，1]和負虛軸後得到的區域;它將Rk單葉並共形地映爲全平面除去實軸上兩條射線( ,-1]和[1, )後得到的區域。類似地可以指出cosz的單葉性區域。

復變指數函數

在指數函數式w=ex中將x換爲復變量z，便得到復變指數函數w=ez。復變指數函數有類似於實指數函數的性質：ez是一整函數且對任何複數z，ez≠0;它滿足ez1·ez2=ez1+z2;ez以2kπi爲週期，ez=ez+2kπi;並且它的導數與本身相同，即 (ez)'=ez。函數w=ez在全平面實現共形映射。任何一個區域，只要對區域內任兩點，其虛部之差小於2π，它就是ez的單葉性區域。例如，指數函數把直線x=x0變爲圓周，把直線y=y0變爲射線argw=y0，因而把區域Sk變爲區域0w<2π，把寬度爲β的.帶形區域α0<α0+β(β≤2π)變爲開度爲β的角形域α0w<α0+β。

復變對數函數

對數函數w=lnz是指數函數w=ez的反函數，它有無窮多個值2kπ(k 爲整數)，稱爲它的分支。每一個分支在區域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。對數函數把這個區域單葉地變爲帶形區域θ0w<θ0+2π，也把開度爲β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)變爲寬度爲β的帶形區域θ0w<θ0+β。 像實對數函數一樣，它滿足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。

復變反三角函數

w=arcsinz，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz，cosz和tanz的反函數，並稱復變反三角函數。它們能由對數函數合成。它們都是多值函數。

復變雙曲函數

將實雙曲函數推廣到複數域得復變雙曲函數。像實雙曲函數一樣，復變雙曲函數能由復變指數函數合成。

復變冪函數

將實冪函數的實變量用複數替換即得復變冪函數。一般來說，它是多值函數。

實係數多項式稱爲整有理函數。其中最簡單的是線性函數 y=α0+α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點的斜率爲α1的直線。二次整有理函數y=α0+α1x+α2x2的圖象爲拋物線。

兩個整有理函數之比爲分式有理函數。分式有理函數其中最簡單的是反比例函數，其圖象爲雙曲線。整有理函數和分式有理函數統稱有理函數。有理函數起源於代數學。