理科數學是一門邏輯性較強的學科,但大學聯考數學的題型基本是保持不變的，我們可以通過多做一些大學聯考數學模擬試卷來提高自己的理科數學成績，以下是本站小編爲你整理的2018屆天津市河東區大學聯考理科數學模擬試卷，希望能幫到你。
一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知複數 , ,若 爲實數,則實數 的值是( )
A. B.-1 C. D.1
2. 設集合 , ,則 ( )
A.(0,1) B.(-1,2) C. D.
3. 已知函數 ( ).若 ,則 ( )
A. B. C.2 D. 1
4. 若 , ，直線 : ,圓 : .命題 :直線 與圓 相交;命題 ： .則 是 的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件
5. 爲豐富少兒文體活動，某學校從籃球，足球，排球，橄欖球中任選2種球給甲班學生使用，剩餘的2種球給乙班學生使用，則籃球和足球不在同一班的概率是( )
A. B. C. D.
6. 已知拋物線 的準線與雙曲線 相交於 ， 兩點，點 爲拋物線的焦點， 爲直角三角形，則雙曲線的離心率爲( )
A.3 B. C.2 D.
7. 若數列 ， 的通項公式分別爲 ， ，且 ，對任意 恆成立，則實數 的取值範圍是( )
A. B.[-1,1) C.[-2,1) D.
8. 已知函數 ，若函數 恰有三個不同的零點，則實數 的取值範圍是( )
A.[-1,1) B.[-1,2) C. [-2,2) D.[0,2]
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空題(每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上)
9.函數 的單調遞增區間爲 .
10.執行如圖所示的程序框圖，若輸入的 ， 值分別爲0和9，則輸出的 值爲 .
11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積爲 .
12.已知 ， ，且 ，則 的最小值是 .
13.已知 ，在函數 與 的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離爲 ，則 值爲 .
14.如圖，已知 中，點 在線段 上，點 在線段 上，且滿足 ，若 ， ， ，則 的值爲 .
三、解答題 (本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15. 已知函數 .
(Ⅰ)求函數 的最小正週期和圖象的對稱軸方程;
(Ⅱ)討論函數 在區間 上單調性求出的值域.
16. 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別爲 與 ，且乙投球2次均未命中的概率爲 .
(Ⅰ)求乙投球的命中率 ;
(Ⅱ)若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記爲 ，求 的分佈列和數學期望.
17. 如圖，直三棱柱 中， ， ， ， ，點 在線段 上.
(Ⅰ)證明 ;
(Ⅱ)若 是 中點，證明 平面 ;
(Ⅲ)當 時，求二面角 的餘弦值.
18. 已知數列 的前 項和 ， 是等差數列，且 .
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)令 ，求數列 的前 項和 .
19. 在平面直角座標系 中，橢圓 ： 的離心率爲 ，直線 被橢圓 截得的線段長爲 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)過原點的直線與橢圓 交於 ， 兩點( ， 不是橢圓 的`頂點)，點 在橢圓 上，且 .直線 與 軸、 軸分別交於 ， 兩點.設直線 ， 的斜率分別爲 ， ，證明存在常數 使得 ，並求出 的值.
20.選修4-4：座標系與參數方程
設函數 ， .
(Ⅰ)當 時，求函數 的極小值;
(Ⅱ)討論函數 零點的個數;
(Ⅲ)若對任意的 ， 恆成立，求 的取值範圍.
2018屆天津市河東區大學聯考理科數學模擬試卷答案一、選擇題
1-5:ADABC 6-8:ADB
二、填空題
9. 10.3 11. 12. 13. 14.-2
三、解答題
15.解：(Ⅰ)
.
∴週期 .
由 ，得 .
∴函數圖象的對稱軸方程爲 .
(Ⅱ)∵ ，∴ .
在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減，
當 時， 取最大值1.
∵ .
∴ ， .
所以值域爲 .
16.解：(Ⅰ)設“甲投球一次命中”爲事件 ，“乙投球一次命中”爲事件 .
由題意得
，
解得 或 (捨去)，所以乙投球的命中率爲 .
(Ⅱ)由題設和(Ⅰ)知 ， ， ， .
可能的取值爲0,1,2,3，故
，
0 1 2 3
所以 .
17. 解：(Ⅰ)證明：如圖，以 爲原點建立空間直角座標系 .則 ， ， ， ， .
， ，
，所以 .
(Ⅱ)解法一：
設平面 的法向量 ，
由 ，
且 ，
令 得 ，
所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ;
解法二：證明：連接 ，交 於 ， .
因爲直三棱柱 ， 是 中點，
所以側面 爲矩形， 爲 的中位線.
所以 ，
因爲 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 ，
設 ，
因爲點 在線段 上，且 ，即 .
所以 ， ， .
所以 ， .
平面 的法向量爲 .
設平面 的法向量爲 ，
由 ， ，得 ，
所以 ， ， .
設二面角 的大小爲 ，
所以 .
所以二面角 的餘弦值爲 .
18. 解：(Ⅰ)由題知，當 時， ;當 時， ，符合上式.
所以 .設數列 的公差 ，由 即爲 ，解得 ， ，所以 .
(Ⅱ) ， ，則
，
，
兩式作差，得
.
所以 .
19. 解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ，∴ .①
設直線 與橢圓 交於 ， 兩點，不妨設點 爲第一象限內的交點.∴ ，∴ 代入橢圓方程可得 .②
由①②知 ， ，所以橢圓的方程爲： .
(Ⅱ)設 ，則 ，直線 的斜率爲 ，又 ，故直線 的斜率爲 .設直線 的方程爲 ，由題知
， 聯立 ，得 .
∴ ， ，由題意知 ，
∴ ，直線 的方程爲 .
令 ，得 ，即 ，可得 ，∴ ，即 .
因此存在常數 使得結論成立.
20. 解：(1)由題設，當 時， ，易得函數 的定義域爲 ，
.∴當 時， ， 在 上單調遞減;
∴當 時， ， 在 上單調遞增;所以當 時， 取得極小值 ，所以 的極小值爲2.
(2)函數 ，令 ，得 .
設 ，則 .
∴當 時， ， 在(0,1)上單調遞增;
∴當 時， ， 在 上單調遞減;
所以 的最大值爲 ，又 ，可知：
①當 時，函數 沒有零點;
②當 時，函數 有且僅有1個零點;
③當 時，函數 有2個零點;
④當 時，函數 有且只有1個零點.
綜上所述：
當 時，函數 沒有零點;當 或 時，函數 有且僅有1個零點;當 時，函數 有2個零點.
(3)對任意 ， 恆成立，等價於 恆成立. .
設 ，∴ 等價於 在 上單調遞減.
∴ 在 上恆成立，
∴ 恆成立，
∴ (對 ， 僅在 時成立).
∴ 的取值範圍是 .
