考生備考大學聯考理科數學的時候要階段性地用大學聯考理科數學模擬試卷進行自我檢測，看看自己備考的效果，並隨時修改備考計劃。下面是小編爲大家精心推薦的2018屆三明市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，則實數 的取值範圍是( )
A. B. C. D.
2.已知 是虛數單位，則複數 的共軛複數在複平面內對應的點所在的象限爲( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.6名同學合影留念，站成兩排三列，則其中甲乙兩人不在同一排也不在同一列的概率爲( )
A. B. C. D.
4.設 爲雙曲線 的左、右焦點， 爲 上一點， 與 軸垂直，直線 的斜率爲 ，則雙曲線 的漸近線方程爲( )
A. B. C. D.
5.執行如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入 的值爲2，則輸出 的值爲( )
A.64 B.84 C.340 D.1364
6.已知數列 的前 項和爲 ，且 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
7.已知函數 的圖象關於直線 對稱，則 ( )
A. B. C. D.
8.在區域 中，若滿足 的區域面積佔 面積的 ，則實數 的值是( )
A. B. C. D.
9.在四面體 中，若 ， ， ，則直線 與 所成角的餘弦值爲( )
A. B. C. D.
10.函數 的圖象大致是( )
A. B. C. D.
11.已知 是橢圓 的左、右焦點，點 在橢圓 上，線段 與圓 相切於點 ，且點 爲線段 的中點，則 (其中 爲橢圓 的離心率)的最小值爲( )
A. B. C. D.
12.“牟合方蓋”是我國古代數學家劉微在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優美的幾何體，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).如圖，正邊形 是爲體現其直觀性所作的輔助線，若該幾何體的正視圖與側視圖都是半徑爲 的圓，根據祖𣈶原理，可求得該幾何體的體積爲( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.已知向量 滿足 ， ，且 ，則實數 .
14. 的展開式中 的係數是20，則實數 .
15.已知函數 ，數列 滿足 ，則 .
16.對於定義域爲 的函數 ，若滿足① ;②當 ，且 時，都有 ;③當 ，且 時， ，則稱 爲“偏對稱函數”.現給出四個函數： ; ;
; .
則其中是“偏對稱函數”的函數個數爲 .
三、解答題 ：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.在 中，角 所對的邊分別爲 ，且 ， .
(Ⅰ)若 ，求角 的正弦值及 的面積;
(Ⅱ)若 在線段 上，且 ， ，求 的`長.
18.如圖，在四棱錐 中，側面 底面 ，底面 是平行四邊形， ， ， ， 爲 的中點，點 在線段 上.
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)試確定點 的位置，使得直線 與平面 所成的角和直線 與平面 所成的角相等.
19.某市政府爲了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅(一套住宅爲一戶)的月用水量爲基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費;若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費;若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.80元/噸計算水費.爲了瞭解全市居民月用水量的分佈情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量(單位：噸)，將數據按照 分成8組，製成瞭如圖1所示的頻率分佈直方圖.
(Ⅰ)假設用抽到的100戶居民月用水量作爲樣本估計全市的居民用水情況.
(ⅰ)現從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率;
(ⅱ)試估計全市居民用水價格的期望(精確到0.01);
(Ⅱ)如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費 (元)與月份 的散點圖，其擬合的線性迴歸方程是 .若李某2016年1～7月份水費總支出爲294.6元，試估計李某7月份的用水噸數.
20.已知橢圓 的右焦點 ，橢圓 的左，右頂點分別爲 .過點 的直線 與橢圓交於 兩點，且 的面積是 的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)若 與 軸垂直， 是橢圓 上位於直線 兩側的動點，且滿足 ，試問直線 的斜率是否爲定值，請說明理由.
21.已知函數 ， .
(Ⅰ)當 時，求證：過點 有三條直線與曲線 相切;
(Ⅱ)當 時， ，求實數 的取值範圍.
請考生在(22)、(23)兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目記分，做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號後的方框塗黑.
22.選修4-4：座標系與參數方程
在平面直角座標系 中，以 爲極點， 軸的正半軸爲極軸建立極座標系，若直線 的極座標方程爲 ，曲線 的極座標方程爲： ，將曲線 上所有點的橫座標縮短爲原來的一半，縱座標不變，然後再向右平移一個單位得到曲線 .
(Ⅰ)求曲線 的直角座標方程;
(Ⅱ)已知直線 與曲線 交於 兩點，點 ，求 的值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數 ， .
(Ⅰ)當 時，求關於 的不等式 的解集;
(Ⅱ)當 時， ，求實數 的取值範圍.
2018屆三明市大學聯考理科數學模擬試卷答案一、選擇題
1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC
二、填空題
13. 14.2 15. 16.2
三、解答題
17.解：(Ⅰ) ， ， ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
又 ，所以 ，則 爲銳角，所以 ，
則 ，
所以 的面積 .
(Ⅱ)設 ，則 ， ，又 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
則 ，所以 ，
在直角 中， .
18.解：(Ⅰ)證明：在平行四邊形 中，連接 ，因爲 ， ， ，
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 平面 ，所以 .
(Ⅱ)側面 底面 ， ，所以 底面 ，所以直線 兩兩互相垂直，以 爲原點，直線 爲座標軸，建立如圖所示空間直角座標系 ，則 ，所以 ， ， ，
設 ，
則 ， ，
所以 ，
易得平面 的法向量 .
設平面 的法向量爲 ，
由 ， ，
得 ，令 ，得 .
因爲直線 與平面 所成的角和此直線與平面 所成的角相等，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
19.解：(Ⅰ)(ⅰ)由題意，從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率爲 ，因此這5戶居民恰好3戶居民的月用水量都超過12噸的概率爲
.
(ⅱ)由題設條件及月均用水量的頻率分佈直方圖，可得居民每月的水費數據分組與概率分佈表如下：
月用水量 (噸)
價格 (元/噸)
4 4.20 4.60
概率
0.9 0.06 0.04
所以全市居民用水價格的期望 噸.
(Ⅱ)設李某2016年1～6月份的月用水費 (元)與月份 的對應點爲 ，它們的平均值分別爲 ，則 ，又點 在直線 上，所以 ，因此 ，所以7月份的水費爲 元.
設居民月用水量爲 噸，相應的水費爲 元，則
，即 ，
當 時， ，
所以李某7月份的用水噸數約爲13噸.
20.解法一：(Ⅰ)因爲 的面積是 的面積的3倍，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
則橢圓 的方程爲 .
(Ⅱ)當 ，則 ，
設直線 的斜率爲 ，則直線 的斜率爲 ，
不妨設點 在 軸上方， ，設 ，
則 的直線方程爲 ，代入 中整理得
，
;
同理 .
所以 ， ，
則 ，
因此直線 的斜率是定值 .
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)依題意知直線 的斜率存在，所以設 方程： 代入 中整理得
，設 ，
所以 ， ，
當 ，則 ，不妨設點 在 軸上方， ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，所以 或 .
當 時，直線 過定點 ，不合題意;
當 時， ，符合題意，
所以直線 的斜率是定值 .
21.解法一：(Ⅰ)當 時， ，
設直線與曲線 相切，其切點爲 ，
則曲線 在點 處的切線方程爲： ，
因爲切線過點 ，所以 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
設 ，
∵ ， ， ，
∴ 在三個區間 上至少各有一個根
又因爲一元三次方程至多有三個根，所以方程 恰有三個根，
故過點 有三條直線與曲線 相切.
(Ⅱ)∵當 時， ，即當 時，
∴當 時， ，
設 ，則 ，
設 ，則 .
(1)當 時，∵ ，∴ ，從而 (當且僅當 時，等號成立)
∴ 在 上單調遞增，
又∵ ，∴當 時， ，從而當 時， ，
∴ 在 上單調遞減，又∵ ，
從而當 時， ，即
於是當 時， .
(2)當 時，令 ，得 ，∴ ，
故當 時， ，
∴ 在 上單調遞減，
又∵ ，∴當 時， ，
從而當 時， ，
∴ 在 上單調遞增，又∵ ，
從而當 時， ，即
於是當 時， ，
綜合得 的取值範圍爲 .
解法二：(Ⅰ)當 時， ，
，
設直線與曲線 相切，其切點爲 ，
則曲線 在點 處的切線方程爲 ，
因爲切線過點 ，所以 ，
即 ，
∵ ，∴
設 ，則 ，令 得
當 變化時， ， 變化情況如下表：
+ 0 - 0 +
↗ 極大值
↘ 極小值
↗
∴ 恰有三個根，
故過點 有三條直線與曲線 相切.
(Ⅱ)同解法一.
22.解：(Ⅰ)曲線 的直角座標方程爲 ，
∴ 的直角座標方程爲 .
(Ⅱ)由直線 的極座標方程： ，得
所以直線 的直角座標方程爲： ，又點 在直線 上，
所以直線 的參數方程爲： ( 爲參數)，
代入 的直角座標方程得 ，
設 對應的參數分別爲 ，
∴ ，∴ .
23.解：(Ⅰ)當 時，不等式 爲
若 時，不等式可化爲 ，解得 ，
若 時，不等式可化爲 ，解得 ，
若 時，不等式可化爲 ，解得 ，
綜上所述，關於 的不等式 的解集爲 .
(Ⅱ)當 時， ，
所以當 時， 等價於 ，
當 時，等價於 ，解得 ，
當 時，等價於 ，解得 ，
所以 的取值範圍爲 .
