大學聯考文科數學想要獲得好成績，一定要多做大學聯考文科數學模擬試卷來查漏補缺，從而安排出適合自己的大學聯考數學備考方案，下面是小編爲大家精心推薦的2018屆鄭州市大學聯考文科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合A={x|x﹣x2>0}，B={x|(x+1)(m﹣x)>0}，則“m>1”是“A∩B≠∅”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.爲了解600名學生的視力情況，採用系統抽樣的方法，從中抽取容量爲20的樣本，則需要分成幾個小組進行抽取( )
A.20 B.30 C.40 D.50
3.已知z=m﹣1+(m+2)i在複平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值範圍是( )
A.(﹣1，2) B.(﹣2，1) C.(1，+∞) D.(﹣∞，﹣2)
4.中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：
表示一個多位數時，像阿拉伯計數一樣，把各個數位的數碼從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是： ，則5288用算籌式可表示爲( )
A. B. C. D.
5.已知 ，則 的值等於( )
A. B. C. D.
6.已知f'(x)=2x+m，且f(0)=0，函數f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線的斜率爲3，數列 的前n項和爲Sn，則S2017的值爲( )
A. B. C. D.
7.如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體體積是( )
A. B. C. D.
8.已知等比數列{an}，且a6+a8=4，則a8(a4+2a6+a8)的值爲( )
A.2 B.4 C.8 D.16
9.若實數a、b、c>0，且(a+c)•(a+b)=6﹣2 ，則2a+b+c的最小值爲( )
A. ﹣1 B. +1 C.2 +2 D.2 ﹣2
10.橢圓 + =1的左焦點爲F，直線x=a與橢圓相交於點M、N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是( )
A. B. C. D.
11.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2 ，AD=BC=2 ，則四面體A﹣BCD外接球的表面積爲( )
A.50π B.100π C.200π D.300π
12.已知函數f(x)= ，且f=( )
A.﹣2014 B.﹣2015 C.﹣2016 D.﹣2017
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.設變量x，y滿足約束條件： ，則目標函數z=x+2y的最小值爲 .
14.已知向量 ， ，若向量 ， 的夾角爲30°，則實數m= .
15.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b= a，A=2B，則cosA= .
16.在△ABC中，∠A= ，O爲平面內一點.且| |，M爲劣弧 上一動點，且 .則p+q的取值範圍爲 .
三、解答題(本大題共7小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知數列{an}是等差數列，首項a1=2，且a3是a2與a4+1的等比中項.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= ，求數列{bn}的前n項和Sn.
18.2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》，其中規定：居民區 的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米.某城市環保部門在2013年1月1日到 2013年4月30日這120天對某居民區的PM2.5平均濃度的監測數據統計如下：
組別 PM2.5濃度(微克/立方米) 頻數(天)
第一組 (0，35] 32
第二組 (35，75] 64
第三組 (75，115] 16
第四組 115以上 8
(Ⅰ)在這120天中抽取30天的數據做進一步分析，每一組應抽取多少天?
(Ⅱ)在(I)中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75(微克/立方米)的若干天中，隨 機抽取2天，求恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)的概率.
19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB= ，側棱AA1=2，點D爲AB的中點，點E在線段AA1上，AE=λAA1(λ爲實數).
(1)求證：不論λ取何值時，恆有CD⊥B1E;
(2)當λ= 時，求多面體C1B﹣ECD的體積.
20.已知點P是圓F1：(x﹣1)2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關於原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交於M，N兩點.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過點 的動直線l與點M的軌跡C交於A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB爲直徑的圓恆過這個點?若存在，求出點Q的座標;若不存在，請說明理由.
21.已知函數h(x)=(x﹣a)ex+a.
(1)若x∈，求函數h(x)的最小值;
(2)當a=3時，若對∀x1∈，∃x2∈，使得h(x1)≥x22﹣2bx2﹣ae+e+ 成立，求b的範圍.
22.以直角座標系的原點O爲極點，x軸正半軸爲極軸，並在兩種座標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程爲 ，(t爲參數，0<θ<π)，曲線C的極座標方程爲ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲線C的直角座標方程;
(2)設直線l與曲線C相交於A，B兩點，當θ變化時，求|AB|的最小值.
23.已知函數f(x)=|x﹣5|﹣|x﹣2|.
(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的範圍;
(2)求不等式x2﹣8x+15+f(x)≤0的解集.
2018屆鄭州市大學聯考文科數學模擬試卷答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合A={x|x﹣x2>0}，B={x|(x+1)(m﹣x)>0}，則“m>1”是“A∩B≠∅”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】集合A={x|x﹣x2>0}=(0，1).對於B：(x+1)(m﹣x)>0，化爲：(x+1)(x﹣m)<0，對m與﹣1的大小關係分類討論，再利用集合的運算性質即可判斷出結論.
【解答】解：集合A={x|x﹣x2>0}=(0，1)，
對於B：(x+1)(m﹣x)>0，化爲：(x+1)(x﹣m)<0，
m=﹣1時，x∈∅.
m>﹣1，解得﹣1
m<﹣1時，解得m
∴“m>1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m= .
∴“m>1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要條件.
故選：A.
2.爲了解600名學生的視力情況，採用系統抽樣的方法，從中抽取容量爲20的樣本，則需要分成幾個小組進行抽取( )
A.20 B.30 C.40 D.50
【考點】B4：系統抽樣方法.
【分析】根據系統抽樣的特徵，求出分段間隔即可.
【解答】解：根據系統抽樣的特徵，得;
從600名學生中抽取20個學生，分段間隔爲 =30.
故選：B.
3.已知z=m﹣1+(m+2)i在複平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值範圍是( )
A.(﹣1，2) B.(﹣2，1) C.(1，+∞) D.(﹣∞，﹣2)
【考點】A4：複數的代數表示法及其幾何意義.
【分析】利用複數的幾何意義、不等式的解法即可得出.
【解答】解：z=m﹣1+(m+2)i在複平面內對應的點在第二象限，
∴m﹣1<0，m+2>0，解得﹣2
則實數m的取值範圍是(﹣2，1).
故選：B
4.中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表：
表示一個多位數時，像阿拉伯計數一樣，把各個數位的數碼從左到右排列，但各位數碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是： ，則5288用算籌式可表示爲( )
A. B. C. D.
【考點】F1：歸納推理.
【分析】根據新定義直接判斷即可.
【解答】解：由題意各位數碼的籌式需要縱橫相間，
個位，百位，萬位數用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，
則5288 用算籌可表示爲11 ，
故選：C
5.已知 ，則 的值等於( )
A. B. C. D.
【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數;GP：兩角和與差的餘弦函數.
【分析】由已知利用誘導公式即可計算得解.
【解答】解：∵ ，可得：cos( ﹣α)=﹣ ，
∴sin[ ﹣( ﹣α)]=sin( +α)=﹣ .
故選：D.
6.已知f'(x)=2x+m，且f(0)=0，函數f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線的斜率爲3，數列 的前n項和爲Sn，則S2017的值爲( )
A. B. C. D.
【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】由題意可設f(x)=x2+mx+c，運用導數的幾何意義，由條件可得m，c的值，求出 = = ﹣ ，再由數列的求和方法：裂項相消求和，計算即可得到所求和.
【解答】解：f'(x)=2x+m，可設f(x)=x2+mx+c，
由f(0)=0，可得c=0.
可得函數f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線的斜率爲2+m=3，
解得m=1，
即f(x)=x2+x，
則 = = ﹣ ，
數列 的前n項和爲Sn，
則S2017=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = .
故選：A.
7.如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體體積是( )
A. B. C. D.
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖可知：該幾何體由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體.
【解答】解：由三視圖可知：該幾何體由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體.
這個幾何體體積V= + ×( )2×2=2+ .
故選：A.
8.已知等比數列{an}，且a6+a8=4，則a8(a4+2a6+a8)的值爲( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考點】8G：等比數列的性質.
【分析】將式子“a8(a4+2a6+a8)”展開，由等比數列的性質：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有aman=apaq可得，a8(a4+2a6+a8)=(a6+a8)2，將條件代入得到答案.
【解答】解：由題意知：a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+a82，
∵a6+a8=4，
∴a8a4+2a8a6+a82=(a6+a8)2=16.
故選D.
9.若實數a、b、c>0，且(a+c)•(a+b)=6﹣2 ，則2a+b+c的最小值爲( )
A. ﹣1 B. +1 C.2 +2 D.2 ﹣2
【考點】7F：基本不等式.
【分析】根據題意，將2a+b+c變形可得2a+b+c=(a+c)+(a+b)，由基本不等式分析可得2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2 =2 ，計算可得答案.
【解答】解：根據題意，2a+b+c=(a+c)+(a+b)，
又由a、b、c>0，則(a+c)>0，(a+b)>0，
則2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2 =2 =2( ﹣1)=2 ﹣2，
即2a+b+c的最小值爲2 ﹣2，
故選：D.
10.橢圓 + =1的左焦點爲F，直線x=a與橢圓相交於點M、N，當△FMN的周長最大時，△FMN的面積是( )
A. B. C. D.
【考點】K4：橢圓的簡單性質.
【分析】設右焦點爲F′，連接MF′，NF′，由於|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得當直線x=a過右焦點時，△FMN的周長最大.c= =1.把c=1代入橢圓標準方程可得： =1，解得y，即可得出此時△FMN的面積S.
【解答】解：設右焦點爲F′，連接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，
∴當直線x=a過右焦點時，△FMN的周長最大.
由橢圓的定義可得：△FMN的周長的最大值=4a=4 .
c= =1.
把c=1代入橢圓標準方程可得： =1，解得y=± .
∴此時△FMN的面積S= = .
故選：C.
11.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2 ，AD=BC=2 ，則四面體A﹣BCD外接球的表面積爲( )
A.50π B.100π C.200π D.300π
【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積.
【分析】由題意可採用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面爲全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2 ，2 爲三邊的三角形作爲底面，且以分別爲x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別爲x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而求出球的表面積.
【解答】解：由題意可採用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面爲全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以10，2 ，2 爲三邊的三角形作爲底面，
且以分別爲x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別爲x，y，z的長方體，
並且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，
設球半徑爲R，則有(2R)2=x2+y2+z2=200，
∴4R2=200，
∴球的表面積爲S=4πR2=200π.
故選C.
12.已知函數f(x)= ，且f=( )
A.﹣2014 B.﹣2015 C.﹣2016 D.﹣2017
【考點】3T：函數的值.
【分析】推導出函數f(x)=1+ + ，令h(x)= ，則h(x)是奇函數，由此能求出結果.
【解答】解：∵函數f(x)= ，
=1+ +
=1+ + ，
令h(x)= ，
則h(﹣x)=﹣ + =﹣h(x)，
即h(x)是奇函數，
∵f=2016，∴h=1+h(﹣2017)=1﹣h
13.設變量x，y滿足約束條件： ，則目標函數z=x+2y的最小值爲 4 .
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數爲直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的座標，代入目標函數得答案.
【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖，
聯立 ，解得A(2，1)，
化目標函數z=x+2y爲y=﹣ ，
由圖可知，當直線y=﹣ 過點A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值爲4.
故答案爲：4.
14.已知向量 ， ，若向量 ， 的夾角爲30°，則實數m= .
【考點】9S：數量積表示兩個向量的夾角.
【分析】利用兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式，求得m的值.
【解答】解：∵ ， ，向量 ， 的夾角爲30°，
∴ = m+3= •2•cos30°，求得 ，
故答案爲： .
15.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b= a，A=2B，則cosA= .
【考點】HP：正弦定理.
【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函數公式化簡可得cosB= ，進而利用二倍角的餘弦函數公式即可計算得解.
【解答】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∵b= a，
∴由正弦定理可得： = = =2cosB，
∴cosB= ，
∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1= .
故答案爲： .
16.在△ABC中，∠A= ，O爲平面內一點.且| |，M爲劣弧 上一動點，且 .則p+q的取值範圍爲 .
【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義.
【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形，設外接圓的半徑爲r，對 =p +q 兩邊平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值範圍.
【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A= ，∴∠BOC= ;
設| =r，則O爲△ABC外接圓圓心;
∵ =p +q ，
∴ = =r2，
即p2r2+q2r2+2pqr2cos =r2，
∴p2+q2﹣pq=1，
∴(p+q)2=3pq+1;
又M爲劣弧AC上一動點，
∴0≤p≤1，0≤q≤1，
∴p+q≥2 ，
∴pq≤ = ，
∴1≤(p+q)2≤ (p+q)2+1，
解得1≤(p+q)2≤4，
∴1≤p+q≤2;
即p+q的取值範圍是.
故答案爲：.
三、解答題(本大題共7小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知數列{an}是等差數列，首項a1=2，且a3是a2與a4+1的等比中項.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= ，求數列{bn}的前n項和Sn.
【考點】8E：數列的求和;8H：數列遞推式.
【分析】(1)設等差數列的公差爲d，首項a1=2，且a3是a2與a4+1的等比中項即可求出公差d，再寫出通項公式即可，
(2)化簡bn根據式子的特點進行裂項，再代入數列{bn}的前n項和Sn，利用裂項相消法求出Sn.
【解答】解：(1)設等差數列{an}的公差爲d，由a1=2，且a3是a2與a4+1的'等比中項.
∴(2+2d)2=(3+3d)(2+d)，
解得d=2，
∴an=a1+(n﹣1)d=2+2(n﹣1)=2n，
(2)bn= = = = ( ﹣ )，
∴Sn= ( ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ )= ( + ﹣ ﹣ )= ﹣
18.2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》，其中規定：居民區 的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米.某城市環保部門在2013年1月1日到 2013年4月30日這120天對某居民區的PM2.5平均濃度的監測數據統計如下：
組別 PM2.5濃度(微克/立方米) 頻數(天)
第一組 (0，35] 32
第二組 (35，75] 64
第三組 (75，115] 16
第四組 115以上 8
(Ⅰ)在這120天中抽取30天的數據做進一步分析，每一組應抽取多少天?
(Ⅱ)在(I)中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75(微克/立方米)的若干天中，隨 機抽取2天，求恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)的概率.
【考點】CB：古典概型及其概率計算公式;B3：分層抽樣方法.
【分析】(Ⅰ)由這120天中的數據中，各個數據之間存在差異，故應採取分層抽樣，計算出抽樣比k後，可得每一組應抽取多少天;
(Ⅱ)設PM2.5的平均濃度在(75，115]內的4天記爲A，B，C，D，PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記爲1，2，列舉出從6天任取2天的所有情況和滿足恰有一天平均濃度超過115(微克/立方米)的情況數，代入古典概型概率計算公式，可得答案.
【解答】解：(Ⅰ)這120天中抽取30天，應採取分層抽樣，
抽樣比k= = ，
第一組抽取32× =8天;
第二組抽取64× =16天;
第三組抽取16× =4天;
第四組抽取8× =2天
(Ⅱ)設PM2.5的平均濃度在(75，115]內的4天記爲A，B，C，D，PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記爲1，2.
所以6天任取2天的情況有：
AB，AC，AD，A1，A2，
BC，BD，B1，B2，CD，
C1，C2，D1，D2，12，共15種
記“恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)”爲事件A，其中符合條件的有：
A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8種
所以，所求事件A的概率P=
19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB= ，側棱AA1=2，點D爲AB的中點，點E在線段AA1上，AE=λAA1(λ爲實數).
(1)求證：不論λ取何值時，恆有CD⊥B1E;
(2)當λ= 時，求多面體C1B﹣ECD的體積.
【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積;LX：直線與平面垂直的性質.
【分析】(1)由已知可得CD⊥AB.再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD.利用線面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1.進一步得到CD⊥B1E;
(2)當λ= 時， .再由△ABC是等腰直角三角形，且斜邊 ，得AC=BC=1.然後利用 結合等積法得答案.
【解答】(1)證明：∵△ABC是等腰直角三角形，點D爲AB的中點，∴CD⊥AB.
∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD.
又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB1A1.
∵點E在線段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，
∴CD⊥B1E;
(2)解：當λ= 時， .
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜邊 ，∴AC=BC=1.
∴ ，
20.已知點P是圓F1：(x﹣1)2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關於原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交於M，N兩點.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過點 的動直線l與點M的軌跡C交於A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB爲直徑的圓恆過這個點?若存在，求出點Q的座標;若不存在，請說明理由.
【考點】KS：圓錐曲線的存在性問題;J3：軌跡方程;KL：直線與橢圓的位置關係.
【分析】(1)判斷軌跡方程是橢圓，然後求解即可.
(2)直線l的方程可設爲 ，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線與橢圓方程，通過韋達定理，假設在y軸上是否存在定點Q(0，m)，使以AB爲直徑的圓恆過這個點，利用 ，求得m=﹣1.推出結果即可.
【解答】解：(1)由題意得 ，
∴點M的軌跡C爲以F1，F2爲焦點的橢圓∵ ，
∴點M的軌跡C的方程爲 .
(2)直線l的方程可設爲 ，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立 可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.
由求根公式化簡整理得 ，
假設在y軸上是否存在定點Q(0，m)，使以AB爲直徑的圓恆過這個點，則 即 .
∵ ，
= = = .
∴ 求得m=﹣1.
因此，在y軸上存在定點Q(0，﹣1)，使以AB爲直徑的圓恆過這個點.
21.已知函數h(x)=(x﹣a)ex+a.
(1)若x∈，求函數h(x)的最小值;
(2)當a=3時，若對∀x1∈，∃x2∈，使得h(x1)≥x22﹣2bx2﹣ae+e+ 成立，求b的範圍.
【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值;6K：導數在最大值、最小值問題中的應用.
【分析】(1)求出極值點x=a﹣1.通過當a≤0時，當0
(2)令 ，“對∀x1∈，∃x2∈，使得 成立”等價於“f(x)在上的最小值不大於h(x)在上的最小值”.推出h(x)min≥f(x)min.通過①當b≤1時，②當1
【解答】解：(1)h'(x)=(x﹣a+1)ex，令h'(x)=0得x=a﹣1.
當a﹣1≤﹣1即a≤0時，在上h'(x)≥0，函數h(x)=(x﹣a)ex+a遞增，h(x)的最小值爲 .
當﹣1
當a﹣1≥1即a≥2時，在上h'(x)≤0，h(x)遞減，h(x)的最小值爲h(1)=(1﹣a)e+a.
綜上所述，當a≤0時h(x)的最小值爲 ，當a≥2時h(x)的最小值爲(1﹣a)e+a，當0
(2)令 ，
由題可知“對∀x1∈，∃x2∈，使得 成立”
等價於“f(x)在上的最小值不大於h(x)在上的最小值”.
即h(x)min≥f(x)min.
由(1)可知，當a=3時，h(x)min=h(1)=(1﹣a)e+a=﹣2e+3.
當a=3時， ，x∈，
①當b≤1時， ，
由 得 ，與b≤1矛盾，捨去.
②當1
由 得 ，與1
③當b≥2時， ，
由 得 .
綜上，b的取值範圍是 .
22.以直角座標系的原點O爲極點，x軸正半軸爲極軸，並在兩種座標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程爲 ，(t爲參數，0<θ<π)，曲線C的極座標方程爲ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲線C的直角座標方程;
(2)設直線l與曲線C相交於A，B兩點，當θ變化時，求|AB|的最小值.
【考點】QH：參數方程化成普通方程;Q4：簡單曲線的極座標方程.
【分析】(1)利用極座標與直角座標的轉化方法，求曲線C的直角座標方程;
(2)將直線l的參數方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用參數的幾何意義，求|AB|的最小值.
【解答】解：(1)由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ.
∴曲線C的直角座標方程爲y2=2x;
(2)將直線l的參數方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0.
設A，B兩點對應的參數分別爲t1，t2，
則 ， ，
= = .
當 時，|AB|的最小值爲2.
23.已知函數f(x)=|x﹣5|﹣|x﹣2|.
(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的範圍;
(2)求不等式x2﹣8x+15+f(x)≤0的解集.
【考點】R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(1)通過討論x的範圍，求出f(x)的分段函數的形式，求出m的範圍即可;
(2)通過討論x的範圍，求出不等式的解集即可.
【解答】解：(1) ，
當2
所以﹣3≤f(x)≤3，
∴m≥﹣3;
(2)不等式x2﹣8x+15+f(x)≤0，
即﹣f(x)≥x2﹣8x+15由(1)可知，
當x≤2時，﹣f(x)≥x2﹣8x+15的解集爲空集;
當2
即x2﹣10x+22≤0，∴ ;
當x≥5時，﹣f(x)≥x2﹣8x+15，
即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6;
綜上，原不等式的解集爲 .
