1、對數學的認識
數學實際上並不是一個非常神祕、至高無上的學科，他並不是上帝的旨意，數學也有它自己的歷史，有它自己的發展。其中當然也有錯誤，有不足的地方，這正是現在數學家們所要做的工作。我去年看了一本書，叫《數學確定性的喪失》（第一推動系列的，其實說的是數學史的一部分），它讓我認識到，數學跟物理一樣，也是一種經驗性的學科，只不過它比起它的學科更嚴謹一些罷了（我個人認爲，數學和哲學是解決其他自然學科解決不了的問題的）。數學只是前人關於“某一方面“的智慧的集合，而我們正是在學習這些智慧，而不是僵死的算術，大家可以發去找一些數學科普方面的知識，從中找到一些自己感興趣的內容來看，瞭解一下數學的發展，同時也須能得到一些靈感，甚至是興趣。
2、興趣
在高中學習任何學科都要有興趣的支持才能學好，更何況作爲主要門檻的數學呢？
但是從我周圍的很多人來看，他們都知道興趣得重要，但是卻不會培養興趣，也不去主觀培養興趣。
可是我對這方面沒什麼經驗，只好等各位老師來補充。
3、數學思想很重要
我們老師說：高中有幾大數學思想：函數和方程思想，劃歸思想，轉移與轉化思想，極限思想等。（如有遺漏希望其他老師來補充）
我認爲這個思想是廣義上的，不應只限於這五大思想，數學中每個學科都有各自的的思想，絕不止五個，高中的教學不應只限於這幾個，而是應該讓學生多見識一些其他的思想。我自認爲稍微懂得了一些，但是因爲水平不行，無法用語言表達（只可意會不可言傳^_^）。我認爲這個思想也應該是因人而異，每個人都有自己的思維特點，都有自己需要注意的地方，不應該千篇一律。
雖然思想很難把握，但是獲取思想的途徑還是有的：那就是積累，但這積累並不是題的積累，而是平時自己思考總結的積累。如你在做題時，自己的方法何其他人的方法不一樣，這是就應該想，我的方法和它的有什麼區別？誰的'方法好？自己爲什麼沒這麼想？哪個方法計算量小？哪個的思維難度低？……再如，當你在學習或總結時，碰到一個數學知識點很熟悉，象原來的某個知識點，這時就應該考慮一下，這幾個知識點爲什麼像？他們有什麼表面聯繫或實質聯繫？能不能放在一起理解？方法上能不能通用？……考慮完這些，就有用了，數學中那些跨分支的數學方法的借用（如根式計算中的三角換元）很多都是從這來的。當然應該像的地方還有很多，這就看大家自己的探索了。
數學中思考和總結是很重要的，思考的量從某種程度上決定的你的數學思想的好壞。
4、“數學感覺”
英語有語感，有時候你做題沒有原因但就覺得某個答案像正確答案，很多時候實際上也正是如此，這就是語感。同樣，數學中也有類似的東西，暫且稱爲“數學感覺”，我們看到題，沒細想就有了一個思路，這大概就算“數學感覺”。“數學感覺”是純經驗的，可以積累的，這個積累就是做題的積累了，但是我並不主張使用這種方法，因爲它易錯，易忘，而且無法判斷正確與否。但是在關鍵時刻可能會助你一臂之力。
事實上，不僅數學中有，理科中都有，理科整體也有。但是這個話題太大，我說不了，這就看大家自己悟了。
5、基本功
我這裏說的基本功是廣義上的基本功：
1、基本計算（準確，快速，這個是最難的，不信看看自己因馬虎而犯的錯誤）
2、多層討論（這個比較麻煩）
3、字典排列法（就看你知不知道）
4、代數變形
5、因式分解
6、解方程
7、消參（包括消元）
8、解不等式，不等式證明
9、求遞推數列通項（包括數列求和）
10、三角運算
11、平面幾何計算和證明
12、函數求值域
13、向量
14、解簡單不定方程及整數解
15、數學歸納法
16、複數計算
17、求導
大概就這些了。基本功是一個經驗性的問題，需要平常的做題積累，總結一些小技巧，小方法是必要的，也是無止境的。但是不能在上面花過多的時間因爲：除了前三項外這些基本功都達不到最好（因爲無論你的基本功有多好，你總能遇到不會的問題），但是這些基本功卻不能太差，因爲能否解決某些偏難怪的問題就靠這些基本功。
6、有創新精神，相信自己（給數學水平中等以上的人）
創新精神是數學發展的源泉，所以我們要學好數學，也必須有創新精神。創新精神有很多方面，比如說：你做題時感到某一個題的解法比較麻煩，可能有好的方法，自己可以嘗試一下，看看自己能不能找到。這就是一種創新精神。但是創新精神有一個前提，就是你的數學水平不能太差。有創新精神就要敢於懷疑，比如說：高的微元法，它本身並不嚴密，這是你就可以想怎樣才能使它嚴密呢？去參考一下數學分析，相信你會有很多收穫的（這就要求你有一定的數學基礎，這個基礎可是比上一點中的基本功範圍還廣的。另外關於數學分析的話題以後還會再說。）。創新精神還可以在平時做題中發揮作用，比如說你做的某一個題有推廣的價值，這是你就可以自己嘗試把它推廣一下，之後可以跟別人交流（這要求你有博大的胸懷，呵呵，誇張了），再重新思考自己的推廣，看看有什麼問題……
但是在我們創新的過程中總會碰到困難，我們應該怎麼應對呢。
我認爲，我們在開始的時候應該相信自己。自信是必要的。我在平常給別人講題時，經常碰到這樣的情況：一個同學把他的從頭到尾給我說了一遍，我一路點頭（有點像安裝程序時的一路回車），其他的沒說一句話，他就滿意的回去了。這種情況幾乎佔了50％。這實際上就是不相信自己，數學是很嚴密的學科，你既然推出來了，就不會有問題，但是如果你基礎不好，推理不嚴密就另當別論了。
在探索過程中，也不能一味地相信自己，這容易跑進死衚衕，浪費時間（呵呵，有風險纔有利益）。這就要求我們在適當的時候停止，去諮詢一下別人，查閱一下相關書籍，用前人的智慧豐富自己，同時節約自己的時間。
在探索的過程中，最重要的就是什麼時候該堅持，什麼時候該尋求幫助。這兩個方面各有有點，不能一概而論，這就要靠大家自己來選擇了。
7、擴展知識面（給數學有餘力的同學）
對於數學學的較好的同學來說，高中的題雖然是無限的，但是思想是有限的，這些學生應該已經掌握了大部分的思想。但是高中剩下的時間還有很多，我們不能任憑以有的數學思想和數學頭腦的荒廢（做自己會的題從某種程度上來說是一種荒廢），這就要求我們擴展知識面，獲得新的思想，瞭解新的數學工具，來保持我們的數學頭腦的活力。
我對數學有餘力的同學的建議是，先在高中競賽中找自己想看的東西看（注意是自己想看的，數學中的理論和方法多如牛毛，一個人一生都很難看完）。認爲下面這幾個內容大家應該瞭解一下：
同餘、基礎的組合計數、抽屜原理、容斥原理、基礎的奇偶分析等（以後再補充）。
當然，競賽中讓人感興趣的地方並不多，這裏就推薦幾個數學分支，大家可以參考一下：
數學分析：
我認爲這是數學學的好的同學一定要看的書，雖然不要求看懂，但是一定要知道有這麼回事，對導數和積分的意義和應用要有些瞭解，積分很有用的，大家看了就知道了。
微分方程：
這個分支完全是爲物理準備的，大家有誰喜歡物理可以去翻一翻，但是需要先看數學分析。
線性代數：
主要有行列式和矩陣，我認爲行列式大家應該瞭解一下，主要解決線性方程組問題。而矩陣在高中雖然沒有什麼用但是它是數學中唯一精確處理大量數據的數學工具（至少我是這麼認爲的，我看以後的數學絕對要在處理大量數據上有較大的發展）。
組合計數：
這個東西比較有趣，但是涉及面也比較廣，要求有比較寬的數學知識面。其中應用置換羣解決對稱問題（比如說空間圓排列，甚至是更復雜的問題）的方法我很喜歡，大家如果有興趣也可以看一下。
圖論：
我不得不承認，圖論是最需要腦力的數學分支（我現在看的這幾個數學分支中），雖然它只用加減乘除和矩陣，但是卻比較難看懂，是練習思維的最好工具。
