大學聯考文科數學主要考察考生對基礎知識的理解與掌握、基本解題技能的熟練與運用,所以我們應該通過多做文科數學模擬試卷來提升自己的熟練度,下面是小編爲大家精心推薦的2018屆衡水中學大學聯考文科數學模擬試卷,希望能夠對您有所幫助。
2018屆衡水中學大學聯考文科數學模擬試卷題目一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)},N={y|y=2x﹣1},則M∩N等於( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
2.複數 的共軛複數是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
3.已知函數y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示,如果A>0,ω>0,|φ|< ,則( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
4.平面α截半徑爲2的球O所得的截面圓的面積爲π,則球心到O平面α的距離爲( )
A. B. C.1 D.2
5.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交於A、B兩點,F爲C的焦點,若|FA|=2|FB|,則k=( )
A. B. C. D.
6.已知某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積爲( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
7.拋擲兩枚質地的骰子,得到的點數分別爲a,b,那麼直線bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函數y=f(x)的圖象關於直線x=3對稱,f(﹣1)=320且 ,則 的值爲( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
9.3世紀中期,魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”,也就是在圓內割正多邊形,求的近似值,劉徽容他的“割圓術”說:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓合體,而無所失唉,當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形面積可無限近圓的面積,利用“割圓術”劉徽得到圓周率精確到小數點後兩位的計算值3.14,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的n值爲(參考數據:sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
10.已知函數f(x)= ,若關於x的方程f[f(x)]=0有且只有一個實數根,則實數a的取值範圍是( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
11.雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右頂點分別爲A、B,漸近線分別爲l1、l2,點P在第一象限內且在l1上,若PA⊥l2,PB∥l2,則該雙曲線的離心率爲( )
A. B.2 C. D.
12.已知函數g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1,+∞)上的增函數.當實數m取最大值時,若存在點Q,使得過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,則點Q的座標爲( )
A.(0,﹣3) B.(2,﹣3) C.(0,0) D.(0,3)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卷的橫線上..
13.已知向量 ,則 = .
14.若變量x,y滿足 ,則點P(x,y)表示的區域的面積爲 .
15.在△ABC中,內角A、B、C的對邊分別爲a、b、c,已知a2﹣b2=c,且sin Acos B=2cosAsinB,則c= .
16.某公司在進行人才招聘時,由甲乙丙丁戊5人入圍,從學歷看,這5人中2人爲碩士,3人爲博士:從年齡看,這5人中有3人小於30歲,2人大於30歲,已知甲丙屬於相同的年齡段,而丁戊屬於不同的年齡段,乙戊的學位相同,丙丁的學位不同,最後,只有一位年齡大於30歲的碩士應聘成功,據此,可以推出應聘成功者是 .
三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.已知正項等比數列{bn}(n∈N+)中,公比q>1,b3+b5=40,b3b5=256,an=log2bn+2.
(1)求證:數列{an}是等差數列;
(2)若cn= ,求數列{cn}的前n項和Sn.
18.某種零件按質量標準分爲1,2,3,4,5五個等級,現從一批該零件巾隨機抽取20個,對其等級進行統計分析,得到頻率分佈表如下
等級 1 2 3 4 5
頻率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20個零件中,等級爲5的恰有2個,求m,n;
(2)在(1)的條件下,從等級爲3和5的所有零件中,任意抽取2個,求抽取的2個零件等級恰好相同的概率.
19.如圖,菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,點H是線段EF的中點.
(1)求證:FD∥平面AHC;
(2)求多面體ABCDEF的體積.
20.已知a爲常數,函數f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=ex(其中e是自然數對數的底數).
(1)過座標原點O作曲線y=f(x)的切線,設切點P(x0,y0)爲,求x0的值;
(2)令 ,若函數F(x)在區間(0,1]上是單調函數,求a的取值範圍.
21.已知橢圓C1: + =1的離心率爲e= 且與雙曲線C2: ﹣ =1有共同焦點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點作C1的切線l,求l與座標軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設橢圓C1的左、右頂點分別爲A,B,過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸於點E,若C點滿足 ⊥ , ∥ ,連結AC交DE於點P,求證:PD=PE.
請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分,作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的`題號塗黑,把答案填在答題卡上.[選修4-4座標系與參數方程]
22.已知曲線C的參數方程爲 (θ爲參數)在同一平面直角座標系中,將曲線C上的點按座標變換 得到曲線C′.
(1)求曲線C′的普通方程.
(2)若點A在曲線C′上,點B(3,0).當點A在曲線C′上運動時,求AB中點P的運動軌跡方程.
[選修4-5不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集爲{x|﹣1≤x≤5},求實數a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立,求實數m的取值範圍.
2018屆衡水中學大學聯考文科數學模擬試卷答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合M={x|y=ln(x2﹣3x﹣4)},N={y|y=2x﹣1},則M∩N等於( )
A.{x|x>4} B.{x|x>0} C.{x|x<﹣1} D.{x|x>4或x<﹣1}
【考點】交集及其運算.
【分析】求出M中x的範圍確定出M,求出N中y的範圍確定出N,找出兩集合的交集即可.
【解答】解:由M中x2﹣3x﹣4>0,即M={x|x>4或x<﹣1},
N={y|y=2x﹣1}={y|y>0},
則M∩N={x|x>4},
故選:A.
2.複數 的共軛複數是( )
A.1+i B.1﹣i C.2i D.﹣2i
【考點】複數代數形式的乘除運算.
【分析】直接由複數代數形式的乘除運算化簡複數z得答案.
【解答】解: = ,
則複數 的共軛複數是:﹣2i.
故選:D.
3.已知函數y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如圖所示,如果A>0,ω>0,|φ|< ,則( )
A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4
【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】先根據函數的最大值和最小值求得A和B,然後利用圖象中 ﹣ 求得函數的週期,求得ω,最後根據x= 時取最大值,求得φ.
【解答】解:如圖根據函數的最大值和最小值得 求得A=2,B=2
函數的週期爲( ﹣ )×4=π,即π= ,ω=2
當x= 時取最大值,即sin(2× +φ)=1,2× +φ=2kπ+
φ=2kπ﹣
∵
∴φ=
故選C.
4.平面α截半徑爲2的球O所得的截面圓的面積爲π,則球心到O平面α的距離爲( )
A. B. C.1 D.2
【考點】球的體積和表面積.
【分析】先求截面圓的半徑,然後求出球心到截面的距離.
【解答】解:∵截面圓的面積爲π,
∴截面圓的半徑是1,
∵球O半徑爲2,
∴球心到截面的距離爲 .
故選:A
5.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交於A、B兩點,F爲C的焦點,若|FA|=2|FB|,則k=( )
A. B. C. D.
【考點】拋物線的簡單性質.
【分析】根據直線方程可知直線恆過定點,如圖過A、B分別作AM⊥l於M,BN⊥l於N,根據|FA|=2|FB|,推斷出|AM|=2|BN|,點B爲AP的中點、連接OB,進而可知 ,進而推斷出|OB|=|BF|,進而求得點B的橫座標,則點B的座標可得,最後利用直線上的兩點求得直線的斜率.
【解答】解:設拋物線C:y2=8x的準線爲l:x=﹣2
直線y=k(x+2)(k>0)恆過定點P(﹣2,0)
如圖過A、B分別作AM⊥l於M,BN⊥l於N,
由|FA|=2|FB|,則|AM|=2|BN|,
點B爲AP的中點、連接OB,
則 ,
∴|OB|=|BF|,點B的橫座標爲1,
故點B的座標爲 ,
故選D
6.已知某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積爲( )
A.4+4π B.4+3π C.3+4π D.3+3π
【考點】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖知該幾何體是上半部分是直徑爲1的球,下半部分是底面半徑爲1,高爲2的圓柱體的一半,由此能求出該幾何體的表面積.
【解答】解:由三視圖知該幾何體是上半部分是直徑爲1的球,
其表面積爲S1= =π,
下半部分是底面半徑爲1,高爲2的圓柱體的一半,
其表面積爲S2= =4+3π,
∴該幾何體的表面積S=S1+S2=4+4π.
故選:A.
7.拋擲兩枚質地的骰子,得到的點數分別爲a,b,那麼直線bx+ay=1的斜率 的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.
【分析】先求出基本事件總數n=6×6=36,由直線bx+ay=1的斜率 ,得到 ,利用列舉法求出滿足題意的(a,b)可能的取值,由此能求出直線bx+ay=1的斜率 的概率.
【解答】解:拋擲兩枚質地的骰子,得到的點數分別爲a,b,
基本事件總數n=6×6=36,
∵直線bx+ay=1的斜率 ,∴ ,
滿足題意的(a,b)可能的取值有:
(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共6種,
∴直線bx+ay=1的斜率 的概率p= = .
故選:B.
8.已知函數y=f(x)的圖象關於直線x=3對稱,f(﹣1)=320且 ,則 的值爲( )
A.240 B.260 C.320 D.﹣320
【考點】三角函數中的恆等變換應用.
【分析】把cosx﹣sinx提取 ,利用兩角和的餘弦函數公式的逆運算化爲一個角的餘弦函數,即可求得cos(x+ )的值,然後利用誘導公式求出sin2x的值,進而求得等於f(7),根據f(x)的圖象關於直線x=3對稱,得到f(3+x)=f(3﹣x),即可推出f(7)=f(﹣1)可求出值.
【解答】解:∵ ,∴ cos(x+ )= ,得cos(x+ )= ,
又∵sin2x=﹣cos( +2x)=1﹣2cos2(x+ )=
∴ =f(7)
由題意y=f(x)關於直線x=3對稱
∴f(3+x)=y=f(3﹣x)
即f(7)=f(3+4)=f(3﹣4)=f(﹣1)=320,
故選C.
9.3世紀中期,魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”,也就是在圓內割正多邊形,求的近似值,劉徽容他的“割圓術”說:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓合體,而無所失唉,當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形面積可無限近圓的面積,利用“割圓術”劉徽得到圓周率精確到小數點後兩位的計算值3.14,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的n值爲(參考數據:sin15°=0.259)( )
A.6 B.12 C.24 D.48
【考點】程序框圖.
【分析】根據已知中的程序框圖可得,該程序的功能是計算並輸出變量n的值,模擬程序的運行過程,可得答案.
【解答】解:第1次執行循環體後,S=3cos30°= <3.14,不滿足退出循環的條件,則n=6,
第2次執行循環體後,S=6cos60°= =3<3.14,不滿足退出循環的條件,則n=12,
第3次執行循環體後,S=12sin15°≈3.106<3.14,不滿足退出循環的條件,則n=24,
第4次執行循環體後,S=24sin7.5°≈3.144>3.14,滿足退出循環的條件,
故輸出的n值爲24,
故選:C.
10.已知函數f(x)= ,若關於x的方程f[f(x)]=0有且只有一個實數根,則實數a的取值範圍是( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
【考點】根的存在性及根的個數判斷.
【分析】利用換元法設f(x)=t,則方程等價爲f(t)=0,根據指數函數和對數函數圖象和性質求出t=1,利用數形結合進行求解即可.
【解答】解:令f(x)=t,則方程f[f(x)]=0等價爲f(t)=0,
由選項知a≠0,
當a>0時,當x≤0,f(x)=a•2x>0,
當x>0時,由f(x)=log2x=0得x=1,
即t=1,作出f(x)的圖象如圖:
若a<0,則t=1與y=f(x)只有一個交點,恆滿足條件,
若a>0,要使t=1與y=f(x)只有一個交點,
則只需要當x≤0,t=1與f(x)=a•2x,沒有交點,
即此時f(x)=a•2x<1,
即f(0)<1,
即a•20<1,
解得0
綜上0
即實數a的取值範圍是(﹣∞,0)∪(0,1),
故選:B.
11.雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右頂點分別爲A、B,漸近線分別爲l1、l2,點P在第一象限內且在l1上,若PA⊥l2,PB∥l2,則該雙曲線的離心率爲( )
A. B.2 C. D.
【考點】雙曲線的簡單性質.
【分析】求出雙曲線的頂點和漸近線方程,設P(m, m),再由兩直線垂直和平行的條件,得到m,a,b的關係式,消去m,可得a,b的關係,再由離心率公式計算即可得到.
【解答】解:雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右頂點分別爲A(﹣a,0)、B(a,0),
漸近線分別爲l1:y= x,l2:y=﹣ x.
設P(m, m),若PA⊥l2,PB∥l2,
則 =﹣1①,且 =﹣ ,②
由②可得m= ,
代入①可得b2=3a2,
即有c2﹣a2=3a2,即c=2a,
則有e= =2.
故選B.
12.已知函數g(x)= x3+2x﹣m+ (m>0)是[1,+∞)上的增函數.當實數m取最大值時,若存在點Q,使得過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,則點Q的座標爲( )
A.(0,﹣3) B.(2,﹣3) C.(0,0) D.(0,3)
【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;定積分.
【分析】求出函數的導數,利用導數研究函數的單調性,求出m的最大值,結合過點Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,判斷函數的對稱性進行求解即可.
【解答】解:由g(x)= x3+2x﹣m+ ,得g′(x)=x2+2﹣ .
∵g(x)是[1,+∞)上的增函數,∴g′(x)≥0在[1,+∞)上恆成立,即x2+2﹣ ≥0在[1,+∞)上恆成立.
設x2=t,∵x∈[1,+∞),∴t∈[1,+∞),即不等式t+2﹣ ≥0在[1,+∞)上恆成立.
設y=t+2﹣ ,t∈[1,+∞),
∵y′=1+ >0,
∴函數y=t+2﹣ 在[1,+∞)上單調遞增,因此ymin=3﹣m.
∵ymin≥0,∴3﹣m≥0,即m≤3.又m>0,故0
故得g(x)= x3+2x﹣3+ ,x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞).
將函數g(x)的圖象向上平移3個長度單位,所得圖象相應的函數解析式爲φ(x)= x3+2x+ ,x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞).
由於φ(﹣x)=﹣φ(x),
∴φ(x)爲奇函數,
故φ(x)的圖象關於座標原點成中心對稱.
由此即得函數g(x)的圖象關於點Q(0,﹣3)成中心對稱.
這表明存在點Q(0,﹣3),使得過點Q的直線若能與函數g(x)的圖象圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等.
故選:A
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卷的橫線上..
13.已知向量 ,則 = 2 .
【考點】平面向量的座標運算.
【分析】利用向量的座標運算性質、數量積運算性質即可得出.
【解答】解: ﹣2 =(﹣1,3),
∴ =﹣1+3=2.
故答案爲:2.
14.若變量x,y滿足 ,則點P(x,y)表示的區域的面積爲 4 .
【考點】簡單線性規劃.
【分析】畫出約束條件的可行域,求出點的座標,然後求解區域的面積即可.
【解答】解:變量x,y滿足 表示的可行域如圖:
則點P(x,y)表示的區域的面積爲: .
故答案爲:4.
15.在△ABC中,內角A、B、C的對邊分別爲a、b、c,已知a2﹣b2=c,且sin Acos B=2cosAsinB,則c= 3 .
【考點】餘弦定理;正弦定理.
【分析】利用正弦定理、餘弦定理,化簡sinAcosB=2cosAsinB,結合a2﹣b2=c,即可求c.
【解答】解:由sinAcosB=2cosAsinB得 • =2• • ,
所以a2+c2﹣b2=2(b2+c2﹣a2),即a2﹣b2= ,
又a2﹣b2=c,解得c=3.
故答案爲:3.
16.某公司在進行人才招聘時,由甲乙丙丁戊5人入圍,從學歷看,這5人中2人爲碩士,3人爲博士:從年齡看,這5人中有3人小於30歲,2人大於30歲,已知甲丙屬於相同的年齡段,而丁戊屬於不同的年齡段,乙戊的學位相同,丙丁的學位不同,最後,只有一位年齡大於30歲的碩士應聘成功,據此,可以推出應聘成功者是 丁 .
【考點】進行簡單的合情推理.
【分析】通過推理判斷出年齡以及學歷情況,然後推出結果.
【解答】解:由題意可得,2人爲碩士,3人爲博士;
有3人小於30歲,2人大於30歲;
又甲丙屬於相同的年齡段,而丁戊屬於不同的年齡段,
可推得甲丙小於30歲,故甲丙不能應聘成功;
又乙戊的學位相同,丙丁的學位不同,
以及2人爲碩士,3人爲博士,
可得乙戊爲博士,故乙戊也不能應聘成功.
所以只有丁能應聘成功.
故答案爲:丁.
三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17.已知正項等比數列{bn}(n∈N+)中,公比q>1,b3+b5=40,b3b5=256,an=log2bn+2.
(1)求證:數列{an}是等差數列;
(2)若cn= ,求數列{cn}的前n項和Sn.
【考點】數列的求和;等差關係的確定.
【分析】(1)通過b3+b5=40,b3b5=256解得q=2,進而可得結論;
(2)通過對cn= 分離分母,並項相加即可.
【解答】(1)證明:由題可知設數列首項b1>0,
∵b3+b5=40,b3b5=256,
∴ ,
解得q=2或q= (舍),
又∵b3+b5=40,即 =40,
∴b1= = =2,
∴bn=2×2(n﹣1)=2n,
∴an=log2bn+2=n+2,
∴數列{an}是以3爲首項、1爲公差的等差數列;
(2)解:∵cn= = ﹣ ,
∴Sn= ﹣ + ﹣ …+ ﹣ = ﹣ = .
18.某種零件按質量標準分爲1,2,3,4,5五個等級,現從一批該零件巾隨機抽取20個,對其等級進行統計分析,得到頻率分佈表如下
等級 1 2 3 4 5
頻率 0.05 m 0.15 0.35 n
(1)在抽取的20個零件中,等級爲5的恰有2個,求m,n;
(2)在(1)的條件下,從等級爲3和5的所有零件中,任意抽取2個,求抽取的2個零件等級恰好相同的概率.
【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率;收集數據的方法.
【分析】(1)通過頻率分佈表得推出m+n=0.45.利用等級係數爲5的恰有2件,求出n,然後求出m.
(2)根據條件列出滿足條件所有的基本事件總數,“從x1,x2,x3,y1,y2,這5件日用品中任取兩件,等級係數相等”的事件數,求解即可.
【解答】解:(1)由頻率分佈表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1,
即 m+n=0.45.…
由抽取的20個零件中,等級爲5的恰有2個,
得 .…
所以m=0.45﹣0.1=0.35.…
(2):由(1)得,等級爲3的零件有3個,記作x1,x2,x3;等級爲5的零件有2個,
記作y1,y2.從x1,x2,x3,y1,y2中任意抽取2個零件,所有可能的結果爲:(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)
共計10種.…
記事件A爲“從零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等級相等”.
則A包含的基本事件爲(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共4個.…
故所求概率爲 .…
19.如圖,菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,點H是線段EF的中點.
(1)求證:FD∥平面AHC;
(2)求多面體ABCDEF的體積.
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面平行的判定.
【分析】(1)由∠BAD=∠CDA=90°,可得AB∥CD,再由四邊形ABEF爲菱形,可得AB∥EF,得到EF∥CD.結合H是EF的中點,AB=2CD,得CD=FH,可得四邊形CDFH爲平行四邊形,從而得到DF∥CH.再由線面平行的判定可得FD∥平面AHC;
(2)由平面ABEF⊥平面ABCD,DA⊥AB,可得DA⊥平面ABEF,結合已知可得四棱錐C﹣ABEF的高DA=2,三棱錐F﹣ADC的高AH= .然後由VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC求得多面體ABCDEF的體積.
【解答】(1)證明:∵∠BAD=∠CDA=90°,∴AB∥CD,
∵四邊形ABEF爲菱形,∴AB∥EF,則EF∥CD.
∵H是EF的中點,AB=2CD,∴CD=FH,
∴四邊形CDFH爲平行四邊形,則DF∥CH.
∵DF⊄平面AHC,HC⊂平面AHC,
∴FD∥平面AHC;
(2)解:∵平面ABEF⊥平面ABCD,DA⊥AB,
∴DA⊥平面ABEF,
∵DC∥AB,∴四棱錐C﹣ABEF的高DA=2,
∵∠ABE=60°,四邊形ABEF爲邊長是4的菱形,
∴可求三棱錐F﹣ADC的高AH=2 .
∴VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC= = .
20.已知a爲常數,函數f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=ex(其中e是自然數對數的底數).
(1)過座標原點O作曲線y=f(x)的切線,設切點P(x0,y0)爲,求x0的值;
(2)令 ,若函數F(x)在區間(0,1]上是單調函數,求a的取值範圍.
【考點】利用導數研究函數的單調性;利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)先對函數求導,f′(x)=2x+a﹣ ,可得切線的斜率k=2x0+a﹣ = = ,即x02+lnx0﹣1=0,由x0=1是方程的解,且y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函數,可證
(2)由F(x)= = ,求出函數F(x)的導數,通過研究2﹣a的正負可判斷h(x)的單調性,進而可得函數F(x)的單調性,可求a的範圍.
【解答】解:(1)f′(x)=2x+a﹣ (x>0),
過切點P(x0,y0)的切線的斜率k=2x0+a﹣ = = ,
整理得x02+lnx0﹣1=0,
顯然,x0=1是這個方程的解,又因爲y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函數,
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一實數解.故x0=1;
(2)F(x)= = ,F′(x)= ,
設h(x)=﹣x2+(2﹣a)x+a﹣ +lnx,則h′(x)=﹣2x+ + +2﹣a,
易知h'(x)在(0,1]上是減函數,從而h'(x)≥h'(1)=2﹣a;
①當2﹣a≥0,即a≤2時,h'(x)≥0,h(x)在區間(0,1)上是增函數.
∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恆成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恆成立.
∴F(x)在區間(0,1]上是減函數.
所以,a≤2滿足題意;
②當2﹣a<0,即a>2時,設函數h'(x)的唯一零點爲x0,
則h(x)在(0,x0)上遞增,在(x0,1)上遞減;
又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.
又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣ea+lne﹣a<0,
∴h(x)在(0,1)內有唯一一個零點x',
當x∈(0,x')時,h(x)<0,當x∈(x',1)時,h(x)>0.
從而F(x)在(0,x')遞減,在(x',1)遞增,
與在區間(0,1]上是單調函數矛盾.
∴a>2不合題意.
綜合①②得,a≤2.
21.已知橢圓C1: + =1的離心率爲e= 且與雙曲線C2: ﹣ =1有共同焦點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點作C1的切線l,求l與座標軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設橢圓C1的左、右頂點分別爲A,B,過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸於點E,若C點滿足 ⊥ , ∥ ,連結AC交DE於點P,求證:PD=PE.
【考點】直線與圓錐曲線的關係;橢圓的標準方程;橢圓的簡單性質.
【分析】(1)由橢圓的離心率e= ,得到a2=4b2,再結合橢圓與雙曲線有共同的交點及隱含條件解得a2,4b2,則橢圓的方程可求;
(2)由題意設出切線方程y=kx+m(k<0),和橢圓方程聯立後由方程僅有一個實根得到方程的判別式等於0,即得到k與m的關係,求出直線在x軸和y軸上的截距,代入三角形的面積公式後化爲含有k的代數式,然後利用基本不等式求最值;
(3)求出A,B的座標,設出D,E,C的座標,結合條件 ⊥ , ∥ 可得D,E,C的座標的關係,把AC,
DE的方程都用D點的座標表示,求解交點P的座標,由座標可得P爲DE的中點.
【解答】(1)解:由e= ,可得: ,即 ,
∴ ,a2=4b2①
又∵c2=2b2+1,即a2﹣b2=2b2+1 ②
聯立①②解得:a2=4,b2=1,
∴橢圓C1的方程爲: ;
(2)解:∵l與橢圓C1相切於第一象限內的一點,
∴直線l的斜率必存在且爲負,
設直線l的方程爲:y=kx+m(k<0),
聯立 ,消去y整理可得:
③
根據題意可得方程③只有一實根,
∴△= ,
整理可得:m2=4k2+1 ④
∵直線l與兩座標軸的交點分別爲 且k<0,
∴l與座標軸圍成的三角形的面積 ⑤
④代入⑤可得: (當且僅當k=﹣ 時取等號);
(3)證明:由(1)得A(﹣2,0),B(2,0),
設D(x0,y0),∴E(x0,0),
∵ ,
∴可設C(2,y1),
∴ ,
由 可得:(x0+2)y1=2y0,即 ,
∴直線AC的方程爲: ,整理得: ,
點P在DE上,令x=x0代入直線AC的方程可得: ,
即點P的座標爲 ,
∴P爲DE的中點
∴PD=DE.
請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分,作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號塗黑,把答案填在答題卡上.[選修4-4座標系與參數方程]
22.已知曲線C的參數方程爲 (θ爲參數)在同一平面直角座標系中,將曲線C上的點按座標變換 得到曲線C′.
(1)求曲線C′的普通方程.
(2)若點A在曲線C′上,點B(3,0).當點A在曲線C′上運動時,求AB中點P的運動軌跡方程.
【考點】參數方程化成普通方程.
【分析】(1)利用座標轉移,代入參數方程,消去參數即可求曲線C′的普通方程;
(2)設P(x,y),A(x0,y0),點A在曲線C′上,點B(3,0),點A在曲線C′上,列出方程組,即可求AB中點P的軌跡方程.
【解答】解:(1)將 代入 ,得C'的參數方程爲
∴曲線C'的普通方程爲x2+y2=1. …
(2)設P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中點爲P
∴有:
又點A在曲線C'上,∴代入C'的普通方程得(2x﹣3)2+(2y)2=1
∴動點P的軌跡方程爲(x﹣ )2+y2= . …
[選修4-5不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x﹣a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集爲{x|﹣1≤x≤5},求實數a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立,求實數m的取值範圍.
【考點】絕對值不等式的解法;函數恆成立問題.
【分析】(1)不等式f(x)≤3就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,與{x|﹣1≤x≤5}相同,求實數a的值;
(2)在(1)的條件下,f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恆成立,根據f(x)+f(x+5)的最小值≥m,可求實數m的取值範圍.
【解答】解:(1)由f(x)≤3得|x﹣a|≤3,
解得a﹣3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集爲{x|﹣1≤x≤5},
所以 解得a=2.
(2)當a=2時,f(x)=|x﹣2|.
設g(x)=f(x)+f(x+5),
於是
所以當x<﹣3時,g(x)>5;
當﹣3≤x≤2時,g(x)=5;
當x>2時,g(x)>5.
綜上可得,g(x)的最小值爲5.
從而,若f(x)+f(x+5)≥m
即g(x)≥m對一切實數x恆成立,則m的取值範圍爲(﹣∞,5].