一、選擇題
![高中數學方程的根與函數的零點練習題及答案 高中數學方程的根與函數的零點練習題及答案](https://i3.bimogu.com/2ae34430d60ead/6cbf05/2ae25325db/6cbf05628458e5.jpg)
1.已知函數f(x)在區間[a,b]上單調,且f(a)f(b)0則方程f(x)=0在區間[a,b]上()
A.至少有一實根 B.至多有一實根
C.沒有實根 D.必有唯一的實根
[答案] D
2.已知函數f(x)的圖象是連續不斷的,有如下的x、f(x)對應值表:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
函數f(x)在區間[1,6]上的零點至少有()
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
[答案] B
3.(2013~2014山東淄博一中高一期中試題)對於函數f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,則f(x)在(a,b)上()
A.一定有零點 B.可能有兩個零點
C.一定有沒有零點 D.至少有一個零點
[答案] B
[解析] 若f(x)的圖象如圖所示否定C、D
若f(x)的圖象與x軸無交點,滿足f(a)0,f(b)0,則否定A,故選B.
4.下列函數中,在[1,2]上有零點的是()
A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6
[答案] D
[解析] A:3x2-4x+5=0的判別式0,
此方程無實數根,f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上無零點.
B:由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.
在同一座標系中畫出y=x3,x[1,2]與y=5x+5,x[1,2]的圖象,如圖1,兩個圖象沒有交點.
f(x)=0在[1,2]上無零點.
C:由f(x)=0得lnx=3x-6,在同一座標系中畫出y=lnx與y=3x-6的`圖象,如圖2所示,由圖象知兩個函數圖象在[1,2]內沒有交點,因而方程f(x)=0在[1,2]內沒有零點.
D:∵f(1)=e+31-6=e-30,f(2)=e20,
f(1)f(2)0.
f(x)在[1,2]內有零點.
5.若函數f(x)=x2-ax+b的兩個零點是2和3,則函數g(x)=bx2-ax-1的零點是()
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
[答案] B
[解析] 由於f(x)=x2-ax+b有兩個零點2和3,
a=5,b=6.g(x)=6x2-5x-1有兩個零點1和-16.
6.(2010福建理,4)函數f(x)=x2+2x-3,x0-2+lnx,x0的零點個數爲()
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0,x=-3或1;
∵x0,x=-3;令-2+lnx=0,lnx=2,
x=e20,故函數f(x)有兩個零點.
二、填空題
7.已知函數f(x)=x+m的零點是2,則2m=________.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)的零點是2,f(2)=0.
2+m=0,解得m=-2.2m=2-2=14.
8.函數f(x)=2x2-x-1,x0,3x-4,x>0的零點的個數爲________.
[答案] 2
[解析] 當x0時,令2x2-x-1=0,解得x=-12(x=1捨去);當x>0時,令3x-4=0,解得x=log34,所以函數f(x)=2x2-x-1,x0,3x-4,x>0有2個零點.
9.對於方程x3+x2-2x-1=0,有下列判斷:
①在(-2,-1)內有實數根;
②在(-1,0)內有實數根;
③在(1,2)內有實數根;
④在(-,+)內沒有實數根.
其中正確的有________.(填序號)
[答案] ①②③
[解析] 設f(x)=x3+x2-2x-1,則f(-2)=-1<0,
f(-1)=1>0,
f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
則f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)內均有零點,即①②③正確.
三、解答題
10.已知函數f(x)=2x-x2,問方程f(x)=0在區間[-1,0]內是否有解,爲什麼?
[解析] 因爲f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0,
f(0)=20-02=1>0,
而函數f(x)=2x-x2的圖象是連續曲線,
所以f(x)在區間[-1,0]內有零點,即方程f(x)=0在區間[-1,0]內有解.
11.判斷下列函數是否存在零點,如果存在,請求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x2+4x-12x-2;
(4)f(x)=3x+1-7;
(5)f(x)=log5(2x-3).
[解析] (1)因爲f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令f(x)=0,解得x=-18或x=1,所以函數的零點爲-18和1.
(2)令x2+x+2=0,因爲=12-412=-70,所以方程無實數根,所以f(x)=x2+x+2不存在零點.
(3)因爲f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2,令x+6x-2x-2=0,解得x=-6,所以函數的零點爲-6.
(4)令3x+1-7=0,解得x=log373,所以函數的零點爲log373.
(5)令log5(2x-3)=0,解得x=2,所以函數的零點爲2.
12.(2013~2014北京高一檢測)已知二次函數y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有兩個零點,一個大於1,一個小於1,求實數m的取值範圍.
[解析] 設f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3),如圖,有兩種情況.第一種情況,m+2>0,f1<0,解得-2<m<-12.
第二種情況,m+2<0,f1>0,此不等式組無解.
綜上,m的取值範圍是-2<m<-12.