一、選擇題
1．已知函數f(x)在區間[a，b]上單調，且f(a)f(b)0則方程f(x)＝0在區間[a，b]上()
A．至少有一實根 B．至多有一實根
C．沒有實根 D．必有唯一的實根
[答案] D
2．已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下的x、f(x)對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49
函數f(x)在區間[1,6]上的零點至少有()
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
[答案] B
3．(2013～2014山東淄博一中高一期中試題)對於函數f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，則f(x)在(a，b)上()
A．一定有零點 B．可能有兩個零點
C．一定有沒有零點 D．至少有一個零點
[答案] B
[解析] 若f(x)的圖象如圖所示否定C、D
若f(x)的圖象與x軸無交點，滿足f(a)0，f(b)0，則否定A，故選B.
4．下列函數中，在[1,2]上有零點的是()
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判別式0，
此方程無實數根，f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上無零點．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一座標系中畫出y＝x3，x[1,2]與y＝5x＋5，x[1,2]的圖象，如圖1，兩個圖象沒有交點．
f(x)＝0在[1,2]上無零點．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一座標系中畫出y＝lnx與y＝3x－6的`圖象，如圖2所示，由圖象知兩個函數圖象在[1,2]內沒有交點，因而方程f(x)＝0在[1,2]內沒有零點．
D：∵f(1)＝e＋31－6＝e－30，f(2)＝e20，
f(1)f(2)0.
f(x)在[1,2]內有零點．
5．若函數f(x)＝x2－ax＋b的兩個零點是2和3，則函數g(x)＝bx2－ax－1的零點是()
A．－1和16 B．1和－16
C．12和13 D．－12和－13
[答案] B
[解析] 由於f(x)＝x2－ax＋b有兩個零點2和3，
a＝5，b＝6.g(x)＝6x2－5x－1有兩個零點1和－16.
6．(2010福建理，4)函數f(x)＝x2＋2x－3，x0－2＋lnx，x0的零點個數爲()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0，x＝－3或1；
∵x0，x＝－3；令－2＋lnx＝0，lnx＝2，
x＝e20，故函數f(x)有兩個零點．
二、填空題
7．已知函數f(x)＝x＋m的零點是2，則2m＝________.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)的零點是2，f(2)＝0.
2＋m＝0，解得m＝－2.2m＝2－2＝14.
8．函數f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0的零點的個數爲________．
[答案] 2
[解析] 當x0時，令2x2－x－1＝0，解得x＝－12(x＝1捨去)；當x＞0時，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函數f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0有2個零點．
9．對於方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷：
①在(－2，－1)內有實數根；
②在(－1,0)內有實數根；
③在(1,2)內有實數根；
④在(－，＋)內沒有實數根．
其中正確的有________．(填序號)
[答案] ①②③
[解析] 設f(x)＝x3＋x2－2x－1，則f(－2)＝－1＜0，
f(－1)＝1＞0，
f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
則f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)內均有零點，即①②③正確．
三、解答題
10．已知函數f(x)＝2x－x2，問方程f(x)＝0在區間[－1,0]內是否有解，爲什麼？
[解析] 因爲f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，
而函數f(x)＝2x－x2的圖象是連續曲線，
所以f(x)在區間[－1,0]內有零點，即方程f(x)＝0在區間[－1,0]內有解．
11．判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；
(4)f(x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
[解析] (1)因爲f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－18或x＝1，所以函數的零點爲－18和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因爲＝12－412＝－70，所以方程無實數根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零點．
(3)因爲f(x)＝x2＋4x－12x－2＝x＋6x－2x－2，令x＋6x－2x－2＝0，解得x＝－6，所以函數的零點爲－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log373，所以函數的零點爲log373.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函數的零點爲2.
12．(2013～2014北京高一檢測)已知二次函數y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有兩個零點，一個大於1，一個小於1，求實數m的取值範圍．
[解析] 設f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如圖，有兩種情況．第一種情況，m＋2＞0，f1＜0，解得－2＜m＜－12.
第二種情況，m＋2＜0，f1＞0，此不等式組無解．
綜上，m的取值範圍是－2＜m＜－12.
