三角函數值求銳角專項練習題
我們把銳角∠A的正弦、餘弦和正切都叫做∠A的銳角函數,本文是小編整理三角函數值求銳角專項練習題的資料,僅供參考。
三角函數值求銳角專項練習題1 三角函數值求銳角專項練習題2 銳角三角函數值的求法一、知識概述
(一)銳角的三角函數的意義
1、正切的概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對邊與鄰邊的比,叫做∠A的正切,記作tanA.
2、正弦和餘弦的概念
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即
銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的餘弦,記作cosA,即
3、三角函數的概念:在直角三角形中,銳角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、餘弦(cosA),都叫做∠A的三角函數.
(二)同角的三角函數之間的關係
(1)平方關係:sin2α+cos2α=1
(2)商數關係:
(三)互餘的兩角的關係
任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值,任意銳角的餘弦值等於它的餘角的正弦值,任意銳角的正切值與它的餘角的'正切值的積等於1.即若A+B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB,tanA•tanB=1.
(四)特殊銳角的三角函數值
0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 -
(五)銳角三角函數值的求法
1、用計算器求三角函數值
求整數度數的銳角三角函數值.
在計算器的面板上涉及三角函數的鍵有 和 鍵,當我們計算整數度數的某三角函數值時,可先按這三個鍵之一,然後再從高位向低位按出表示度數的整數,然後按 ,則屏幕上就會顯示出結果.
例如:計算sin44°.
解:
按鍵 ,再依次按鍵 .
則屏幕上顯示結果爲0.69465837.
求非整數度數的銳角三角函數值.
若度數的單位是用度、分、秒錶示的,在用計算器計算三角函數值時,同樣先按 和 三個鍵之一,然後再依次按度 分 秒 鍵,然後按 鍵,則屏幕上就會顯示出結果.
2、已知三角函數值,用計算器求角度
已知三角函數值求角度,要用到 、 鍵的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和 鍵.具體操作步驟是:先按 鍵,再按 鍵之一,再依次按三角函數值,最後按 鍵,則屏幕上就會顯示出結果.
值得注意的是型號不同的計算器的用法可能不同.
二、重點難點疑點突破
1、(1)sinA和cosA都是一個整體符號,不能看成sin•A或cos•A.
(2) 是一個比值,沒有單位,只與角的大小有關,而與三角形的大小無關.
(3)sinA+sinB≠sin(A+B)sinA•sinB≠sin(AB)
(4)sin2A表示(sinA)2,cos2A=(cosA)2
(5)0
2、同名三角函數值的變化規律
當角α在0°~90°間變化時,它的正切和正弦三角函數值隨着角度的增大而增大;餘弦三角函數值隨着角度的增大而減少.
三、解題方法技巧點撥
1、求銳角三角函數的值
例1、(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,若 ,求cosB,tanB的值.
分析:本題主要考查銳角三角函數的定義,結合圖形求解可化繁爲簡,迅速得解.
解:如圖,設BC=3m,則AB=5m,
(2)如圖所示,已知AB是⊙O的直徑,CD是弦,且CD⊥AB,BC=6,AC=8,則sin∠ABD的值是( )
分析:
因爲AB是⊙O的直徑,所以∠ACB=90°.因爲BC=6,AC=8,所以AB=10.因爲∠ABD=∠ACD=∠ABC,所以在Rt△ACB中, 故正確答案爲D.
答案:D
分析:
(1)要求sinα與cosα的關係的值,而已知tanα的值,故可通過 來求值.
(2)已知tanα的值,也可通過 ,把要求的式子的分子,分母同時除以cos2α轉化成關於tanα的關係,這樣便可求出結論.
點評:在進行三角函數有關計算時,常利用有關公式進行變換.
2、化簡計算
例3、計算
分析:
這是一組有關特殊角三角函數值的計算題,計算中最關鍵是將它們先化成具體的數值,同時還要應用其它一些知識幫助求值,如(1)注意分母有理化,(2)應掌握整數指數冪的意義.
解:
點評:
學過銳角三角函數後,特殊角的三角函數的計算是常考不衰的內容,做這類題主要分兩步:(一)代入;(二)計算.因此,特殊角的三角函數值必須牢記.
3、三角函數的增減性
例4、若α爲銳角且sinα>sinβ,那麼( )
α>tanβ α
α=tanβ α、tanβ大小關係不確定
4、已知三角函數值求角
對於非特殊角可用計算器求角,若是特殊角的三角函數值則可以直接得角度.
例如:已知cosα=0.5237,求銳角α.
解:
按鍵 ,再依次按鍵 .
則屏幕上顯示結果爲58.41923095.
例5、求適合下列各式的銳角α.
點撥:所有銳角三角函數值都是正數,而且正弦和餘弦值都不大於1,不符合條件的三角函數值應捨去.
5、求線段長與面積
例6、如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=4,求BC的長.
分析:
題中有30°,45°特殊角,想把它們放到直角三角形中,利用三角函數來解題.
點評:
(1)在作高線構造直角三角形時,一般不過特殊角的頂點作垂線,這樣便於利用特殊角解題.
(2)有些簡單的幾何圖形可分解爲幾個直角三角形的組合,從而利用三角函數的定義求解.
例7、如圖所示.在四邊形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠D=∠B=90°,求此四邊形ABCD的面積.
分析:
由已知∠B=90°,∠A=60°這兩個條件想到延長BC,AD,使它們相交,構成直角三角形.
例8、在矩形ABCD中DE⊥AC於E,設∠ADE=α,且 ,AB=4,求AD.
分析:
在矩形中AB=DC=4,可證∠α=∠1,於是條件轉移到△DCE中來了,求出DE.
解:
在矩形中AB=DC=4,
∠2+∠α=90°
又DE⊥AC,
∠1+∠2=90°
∴∠1=∠α
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