三角函數求物理量的極值，往往是求出與被求物理量相關的三角函數表達式，經過三角函數的相關知識化簡，再利用三角函數的有界性或不等式等知識進行處理得出結論.下面我們就來看幾例利用三角函數求解物理極值的問題，以求在教學中能對培養學生的這方面能力有所幫助.
解析 根據質點受力情況和牛頓第二定律，可知質點在光滑斜軌道上的加速度
a=FM=gcosα，
在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，
由幾何知識有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.
則質點沿PA做v0=0的勻加速直線運動的時間爲
t=2sa=2hgcos（θ-α）cosα.
令y=cos（θ-α）cosα，則由“積化和差”公式：
cosβcosα =12，
得y=12，
此時時間的最小值t=2hgymax=2hg（cosθ+1）.
本題不用“積化和差”公式而用其他辦法也可求極值，但比較麻煩.另外此題結論可用“等時圓”加以驗證.
2 利用“化一”法求三角函數極值對於較爲複雜的三角函數，例如y=asinθ+bcosθ，要求極值時，先需要把不同名的三角函數sinθ和cosθ，變成同名的三角函數，這個工作叫做“化一”.
因爲 y=asinθ+bcosθ
=a2+b2（aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ）
=a2+b2（cossinθ+sincosθ）
=a2+b2sin（θ+），
其中tan=bal，故y的極大值爲a2+b2.
例2 如圖2所示，在豎直放置的光滑絕緣圓環上，有一帶負電可以滑動的小球m套在環的'頂端，整個裝置在圖示的正交的勻強磁場中，磁場與圓環的圓面垂直，若小球所受的電場力和重力大小相等，則當小球沿着環相對圓心滑過的角度多大時，它所受的洛倫茲力最大？
解析 因小球運動的v總與B垂直，故洛倫茲力表達式爲：f=Bqv，只要速度達最大，洛倫茲力即最大，則由動能定理知當合外力做功WE+WG最大時滿足條件，設小球從圖示位置轉過θ角，則
WE+WG=Eqrsinθ+mgr（1-cosθ）
=mgr（sinθ-cosθ+1）
=mgr2sin（θ-45°）+1.
由上式知當θ=145°時合外力做功最大.即物體獲得速度最大，滿足條件.
3 利用基本不等式與三角函數結合來處理如果a，b，c爲正數，則有a+b+c≥3abc，當且僅當a=b=c時，上式取“=”號.
推論：
①三個正數的積一定時，三數相等時，其和最小；
②三個正數的和一定時，三數相等時，其積最大.
例3 如圖3所示的帶等量同種電荷的兩個點電荷A、B所帶電量均爲Q，相距2a，則在它們連線的中垂線上，哪一點的電場強度最大？最大值爲多少？
解析 設在點電荷A、B的連線的中垂線上有一點P，且AP與中垂線夾角爲θ，則
將（3）式左右都平方，並整理成
=427（2kQa2）2，
所以E≤43kQ9a2.
就是說，當θ=arctan2（差不多是55°）時，P點的電場強度最大：
Emax=43kQ9a2.
4 利用導數法求解三角函數極值問題若物理量曲線的切線的斜率爲零時，說明這個時候物理量的變化率爲零，這時，該物理量一定具有極值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是變化過程中的極值.這爲我們求物理量的最大值和最小值提供了方法.
例4 一輕繩一端固定在O點，另一端拴着一小球，拉起小球使輕繩水平，然後無初速的釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到垂直位置過程中，小球所受重力功率的最大值？
解析 設小球運動到與水平方向成α角，則速度v和重力mg之間的夾角也爲α，小球從A到C由動能定理
由功率定義式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，對功率P求導：
P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα
解得sinα=33時P具有極值，再求P在sinα=33處的二階導數，p″=-mg2gRcosαsinα
