一、 填空題
1.把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完後梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共有_____個小朋友.
2. 幼兒園有糖115顆、餅乾148塊、桔子74個，平均分給大班小朋友;結果糖多出7顆，餅乾多出4塊，桔子多出2個.這個大班的小朋友最多有_____人.
3. 用長16釐米、寬14釐米的長方形木板來拼成一個正方形，最少需要用這樣的木板_____塊.
4. 用長是9釐米、寬是6釐米、高是7釐米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要這種長方體木塊_____塊.
5. 一個公共汽車站,發出五路車,這五路車分別爲每隔3、5、9、15、10分發一次，第一次同時發車以後，_____分又同時發第二次車.
6. 動物園的飼養員給三羣猴子分花生,如只分給第一羣,則每隻猴子可得12粒;如只分給第二羣，則每隻猴子可得15粒;如只分給第三羣，則每隻猴子可得20粒.那麼平均給三羣猴子,每隻可得_____粒.
7. 這樣的自然數是有的:它加1是2的倍數,加2是3的倍數,加3是4的倍數,加4是5的倍數,加5是6的倍數,加6是7的倍數,在這種自然數中除了1以外最小的是_____.
8. 能被3、7、8、11四個數同時整除的最大六位數是_____.
9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組,要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1, 那麼至少要分成_____組.
10. 210與330的最小公倍數是最大公約數的_____倍.
二、解答題
11.公共汽車總站有三條線路，第一條每8分發一輛車，第二條每10分發一輛車，第三條每16分發一輛車，早上6：00三條路線同時發出第一輛車.該總站發出最後一輛車是20:00,求該總站最後一次三輛車同時發出的時刻.
12. 甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公約數,商是12.如果甲乙兩數的差是18,則甲數是多少?乙數是多少?
13. 用、、分別去除某一個分數，所得的商都是整數.這個分數最小是幾?
14. 有15位同學,每位同學都有編號,他們是1號到15號,1號同學寫了一個自然數,2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被他的編號數整除.1號作了檢驗:只有編號連續的二位同學說得不對,其餘同學都對,問:
(1)說的不對的兩位同學,他們的編號是哪兩個連續自然數?
(2)如果告訴你,1號寫的數是五位數,請找出這個數.
參考答案:
1、 9 若梨減少2個,則有20-2=18(個);若將蘋果增加2個,則有25+2=27(個),這樣都被小朋友剛巧分完.由此可知小朋友人數是18與27的最大公約數.所以最多有9個小朋友.
2、 36 根據題意不難看出,這個大班小朋友的人數是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公約數. 所以,這個大班的小朋友最多有36人.
3、 56 所鋪成正方形的木板它的邊長必定是長方形木板長和寬的倍數,也就是長方形木板的長和寬的公倍數,又要求最少需要多少塊,所以正方形木板的邊長應是14與16的最小公倍數.
先求14與16的最小公倍數.
2 16 14
8 7
故14與16的最小公倍數是287=112.
因爲正方形的邊長最小爲112釐米,所以最少需要用這樣的.木板
=78=56(塊)
4、 5292 與上題類似，依題意，正方體的棱長應是9，6，7的最小公倍數，9，6，7的最小公倍數是126.所以,至少需要這種長方體木塊
=142118=5292(塊)
[注]上述兩題都是利用最小公倍數的概念進行“拼圖”的問題，前一題是平面圖形，後一題是立體圖形，思考方式相同，後者可看作是前者的推廣.將平面問題推廣爲空間問題是數學家喜歡的研究問題的方式之一.希望引起小朋友們注意.
5、 90
依題意知,從第一次同時發車到第二次同時發車的時間是3,5,9,15和10的最小公倍數.
因爲3,5,9,15和10的最小公倍數是90,所以從第一次同時發車後90分又同時發第二次車.
6、 5
依題意得
花生總粒數=12第一羣猴子只數
=15第二羣猴子只數
=20第三羣猴子只數
由此可知,花生總粒數是12,15,20的公倍數,其最小公倍數是60.花生總粒數是60,120,180,……，那麼
第一羣猴子只數是5，10，15，……
第二羣猴子只數是4，8，12，……
第三羣猴子只數是3，6，9，……
所以，三羣猴子的總只數是12，24，36，…….因此,平均分給三羣猴子,每隻猴子所得花生粒數總是5粒.
7、 421
依題意知,這個數比2、3、4、5、6、7的最小公倍數大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍數是420，所以這個數是421.
8、 999768
由題意知,最大的六位數是3,7,8,11的公倍數,而3,7,8,11的最小公倍數是1848.
因爲9999991848=541……231，由商數和餘數可知符合條件的最大六位數是1848的541倍，或者是999999與231的差.所以,符合條件的六位數是999999-231=999768.
9、 3
根據題目要求,有相同質因數的數不能分在一組,26=213,91=713,143=1113,所以,所分組數不會小於3.下面給出一種分組方案:
(1)26，33，35;(2)34，91;(3)63，85，143.
因此,至少要分成3組.
[注]所求組數不一定等於出現次數最多的質因數的出現次數，如15=35，21=37，35=57，3，5，7各出現兩次，而這三個數必須分成三組，而不是兩組.
除了上述分法之外,還有多種分組法,下面再給出三種:
(1)26,35;33，85，91;34，63，143.
(2)85,143,63;26，33，35;34，91.
(3)26,85,63;91，34，33;143，35.
10、 77
根據“甲乙的最小公倍數甲乙的最大公約數=甲數乙數”，將210330分解質因數，再進行組合有
210330=235723511
=223252711
=(235)(235711)
因此，它們的最小公倍數是最大公約數的711=77(倍).
11、 根據題意,先求出8,10,16的最小公倍數是80,即從第一次三車同時發出後,每隔80分又同時發車.
從早上6:00至20:00共14小時,求出其中包含多少個80分
601480=10…40分
由此可知,20:00前40分,即19:20爲最後一次三車同時發車的時刻.
12、 甲乙兩數分別除以它們的最大公約數,所得的兩個商是互質數.而這兩個互質數的乘積,恰好是甲乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公約數所得的商——12.這一結論的根據是:
(我們以“約”代表兩數的最大公約數，以“倍”代表兩數的最小公倍數)
甲數乙數=倍約
=，所以：
=，=12
將12變成互質的兩個數的乘積：
①12=43，②12=112
先看①,說明甲乙兩數：一個是它們最大公約數的4倍，一個是它們最大公約數的3倍.
甲乙兩數的差除以上述互質的兩數(即4和3)之差,所得的商,即甲乙兩數的最大公約數.
18(4-3)=18
甲乙兩數,一個是:183=54，另一個是：184=72.
再看②,18(12-1)=,不符合題意,捨去.
13、 依題意,設所求最小分數爲,則
=a =b =c
即 =a =b =c
其中a,b,c爲整數.
因爲是最小值,且a,b,c是整數,所以M是5,15,21的最小公倍數,N是28,56,20的最大公約數,因此,符合條件的最小分數: ==
14、 (1)根據2號~15號同學所述結論,將合數4,6,…，15分解質因數後，由1號同學驗證結果，進行分析推理得出問題的結論.
4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35
由此不難斷定說得不對的兩個同學的編號是8與9兩個連續自然數(可逐次排除,只有8與9滿足要求).
(2)1號同學所寫的自然數能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15這12個數整除,也就是它們的公倍數.它們的最小公倍數是
223571113=60060
因爲60060是一位五位數,而這12個數的其他公倍數均不是五位數,所以1號同學寫的五位數是60060.
