目錄
第七章 平面圖形的認識(二) 1
第八章 冪的運算 2
第九章 整式的乘法與因式分解 3
第十章 二元一次方程組 4
第十一章 一元一次不等式 4
第十二章 證明 9
第七章 平面圖形的認識(二)
一、知識點:
1、“三線八角”
① 如何由線找角:一看線,二看型。
同位角是“F”型;
內錯角是“Z”型;
同旁內角是“U”型。
② 如何由角找線:組成角的三條線中的公共直線就是截線。
2、平行公理:
如果兩條直線都和第三條直線平行,那麼這兩條直線也平行。
簡述:平行於同一條直線的兩條直線平行。
補充定理:
如果兩條直線都和第三條直線垂直,那麼這兩條直線也平行。
簡述:垂直於同一條直線的兩條直線平行。
3、平行線的判定和性質:
判定定理 性質定理
條件 結論 條件 結論
同位角相等 兩直線平行 兩直線平行 同位角相等
內錯角相等 兩直線平行 兩直線平行 內錯角相等
同旁內角互補 兩直線平行 兩直線平行 同旁內角互補
4、圖形平移的性質:
圖形經過平移,連接各組對應點所得的線段互相平行(或在同一直線上)並且相等。
5、三角形三邊之間的關係:
三角形的任意兩邊之和大於第三邊;
三角形的任意兩邊之差小於第三邊。
若三角形的三邊分別爲a、b、c,
則
6、三角形中的主要線段:
三角形的高、角平分線、中線。
注意:①三角形的高、角平分線、中線都是線段。
②高、角平分線、中線的應用。
7、三角形的內角和:
三角形的3個內角的和等於180°;
直角三角形的兩個銳角互餘;
三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和;
三角形的一個外角大於與它不相鄰的任意一個內角。
8、多邊形的內角和:
n邊形的內角和等於(n-2)180°;
任意多邊形的外角和等於360°。
第八章 冪的運算
冪(power)指乘方運算的結果。an指將a自乘n次(n個a相乘)。把an看作乘方的結果,叫做a的n次冪。
對於任意底數a,b,當m,n爲正整數時,有
aman=am+n (同底數冪相乘,底數不變,指數相加)
am÷an=am-n (同底數冪相除,底數不變,指數相減)
(am)n=amn (冪的乘方,底數不變,指數相乘)
(ab)n=anan (積的乘方,把積的每一個因式乘方,再把所得的冪相乘)
a0=1(a≠0) (任何不等於0的數的0次冪等於1)
a-n=1/an (a≠0) (任何不等於0 的數的-n次冪等於這個數的n次冪的倒數)
科學記數法:把一個絕對值大於10(或者小於1)的整數記爲a×10n的形式(其中1≤|a|<10),這種記數法叫做科學記數法.
複習知識點:
1.乘方的概念
求n 個相同因數的積的運算,叫做乘方,乘方的結果叫做冪。在 中,a 叫做底數,n 叫做指數。
2.乘方的性質
(1)負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪的正數。
(2)正數的任何次冪都是正數,0的任何正整數次冪都是0。
第九章 整式的乘法與因式分解
一、整式乘除法
單項式與單項式相乘,把它們的係數,相同字母分別相乘,對於只在一個單項式裏含有的字母,則連同它的指數作爲積的一個因式5bc2=(ab)(c5c2)=abc5+2=abc7 注:運算順序先乘方,後乘除,最後加減
單項式相除,把係數與同底數冪分別相除作爲商的因式,只在被除式裏含有的字母,則連同它的指數作爲商的一個因式
單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注:不重不漏,按照順序,注意常數項、負號 .本質是乘法分配律。
多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加.
多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項,再把所得的積相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
乘法公式:平方差公式:兩個數的和與這兩個數的差的積,等於這兩個數的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式:兩數和[或差]的平方,等於它們的平方和,加[或減]它們積的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解:把一個多項式化成幾個整式積的形式,也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解方法:
1、提公因式法. 關鍵:找出公因式
公因式三部分:①係數(數字)一各項係數最大公約數;②字母--各項含有的相同字母;③指數--相同字母的最低次數;步驟:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式並確定另一因式.需注意,提取完公因式後,另一個因式的項數與原多項式的項數一致,這一點可用來檢驗是否漏項.
注意:①提取公因式後各因式應該是最簡形式,即分解到“底”;②如果多項式的第一項的係數是負的,一般要提出“-”號,使括號內的第一項的係數是正的.
2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)兩個數的平方差,等於這兩個數的和與這兩個數的差的積a、b可以是數也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方兩個數平方和加上或減去這兩個數的積的2倍,等於這兩個數的和[或差]的平方.
③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式
3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
因式分解三要素:(1)分解對象是多項式,分解結果必須是積的形式,且積的因式必須是整式(2)因式分解必須是恆等變形;(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解爲止.
弄清因式分解與整式乘法的內在的關係:互逆變形,因式分解是把和差化爲積的形式,而整式乘法是把積化爲和差
添括號法則:如括號前面是正號,括到括號裏的各項都不變號,如括號前是負號各項都得改符號。用去括號法則驗證
第十章 二元一次方程組
1、含有兩個未知數,並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。
2、含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組。
3、二元一次方程組中兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解。
4、代入消元法:把二元一次方程中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來,再帶入另一個方程,實現消元,進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法。
5、加減消元法:當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互爲相反數時,把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數,從而將二元一次方程化爲一元一次方程,最後求得方程組的解,這種解方程組的方法叫做加減消元法,簡稱加減法.
6、二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括爲“審、找、列、解、答”五步,即:
(1)審:通過審題,把實際問題抽象成數學問題,分析已知數和未知數,並用字母表示其中的兩個未知數;
(2)找:找出能夠表示題意兩個相等關係;
(3)列:根據這兩個相等關係列出必需的代數式,從而列出方程組;
(4)解:解這個方程組,求出兩個未知數的值;
(5)答:在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上,寫出答案.
第十一章 一元一次不等式
一元一次不等式
重點:不等式的性質和一元一次不等式的解法。
難點:一元一次不等式的解法和一元一次不等式解決在現實情景下的實際問題。
知識點一:不等式的概念
1. 不等式:
用“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)等不等號表示大小關係的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等關係的式子也是不等式.
要點詮釋:
(1) 不等號的類型:
① “≠”讀作“不等於”,它說明兩個量之間的關係是不等的,但不能明確兩個量誰大誰小;
(2) 要正確用不等式表示兩個量的不等關係,就要正確理解“非負數”、“非正數”、“不大於”、“不小於”等數學術語的含義。
2.不等式的解:
能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解。
要點詮釋:
由不等式的解的定義可以知道,當對不等式中的未知數取一個數,若該數使不等式成立,則這個數就是不等式的一個解,我們可以和方程的解進行對比理解,一般地,要判斷一個數是否爲不等式的解,可將此數代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進行判斷。
3.不等式的解集:
一般地,一個含有未知數的不等式的所有解,組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。如:不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集與不等式的解的區別:解集是能使不等式成立的未知數的取值範圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數的值.二者的關係是:解集包括解,所有的解組成了解集。
要點詮釋:
不等式的解集必須符合兩個條件:
(1)解集中的每一個數值都能使不等式成立;
(2)能夠使不等式成立的所有的數值都在解集中。
知識點二:不等式的基本性質
基本性質1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變。
符號語言表示爲:如果 ,那麼 。
基本性質2:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個正數,不等號的方向不變。
符號語言表示爲:如果 ,並且 ,那麼 (或 )。
基本性質3:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個負數,不等號的方向改變。
符號語言表示爲:如果 ,並且 ,那麼 (或 )
要點詮釋:
(1)不等式的基本性質1的學習與等式的性質的學習類似,可對比等式的性質掌握;
(2)要理解不等式的基本性質1中的“同一個整式”的含義不僅包括相同的.數,還有相同的單項式或多項式;
(3)“不等號的方向不變”,指的是如果原來是“>”,那麼變化後仍是“>”;如果原來是“≤”,那麼變化後仍是“≤”;“不等號的方向改變”指的是如果原來是“>”,那麼變化後將成爲“<”;如果原來是“≤”,那麼變化後將成爲“≥”;
(4)運用不等式的性質對不等式進行變形時,要特別注意性質3,在乘(除)同一個數時,必須先弄清這個數是正數還是負數,如果是負數,要記住不等號的方向一定要改變。
知識點三:一元一次不等式的概念
只含有一個未知數,且含未知數的式子都是整式,未知數的次數是1,係數不爲0.這樣的不等式,叫做一元一次不等式。
要點詮釋:
(1)一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解:
①左右兩邊都是整式(單項式或多項式); ②只含有一個未知數;
③未知數的最高次數爲1。
(2)一元一次不等式和一元一次方程可以對比理解。
相同點:二者都是隻含有一個未知數,未知數的最高次數都是1,左右兩邊都是整式;不同點:一元一次不等式表示不等關係(用“>”、“<”、“≥”、“≤”連接),一元一次方程表示相等關係(用“=”連接)。
知識點四:一元一次不等式的解法
1.解不等式:
求不等式解的過程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法:
與一元一次方程的解法類似,其根據是不等式的基本性質,解一元一次不等式的一般步驟爲:(1)去分母;(2)去括號;(3)移項;(4)合併同類項;(5)係數化爲1.
要點詮釋:
(1)在解一元一次不等式時,每個步驟並不一定都要用到,可根據具體問題靈活運用
(2)解不等式應注意:①去分母時,每一項都要乘同一個數,尤其不要漏乘常數項;②移項時不要忘記變號;③去括號時,若括號前面是負號,括號裏的每一項都要變號;④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數時,不等號的方向要改變。
3.不等式的解集在數軸上表示:
在數軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來,能形象地說明不等式有無限多個解,它對以後正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助。
要點詮釋:
在用數軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向:
(1)邊界:有等號的是實心圓圈,無等號的是空心圓圈;(2)方向:大向右,小向左
規律方法指導(包括對本部分主要題型、思想、方法的總結)
1、不等式的基本性質是解不等式的主要依據。(性質2、3要倍加小心)
2、檢驗一個數值是不是已知不等式的解,只要把這個數代入不等式,然後判斷不等式是否成立,若成立,就是不等式的解;若不成立,則就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一個有目的、有根據、有步驟的不等式變形,最終目的是將原不等式變爲 或 的形式,其一般步驟是:(1)去分母;(2)去括號;(3)移項;(4)合併同類項;(5)化未知數的係數爲1。這五個步驟根據具體題目,適當選用,合理安排順序。但要注意,去分母或化未知數的係數爲1時,在不等式兩邊同乘以(或除以)同一個非零數時,如果是個正數,不等號方向不變,如果是個負數,不等號方向改變。
解一元一次不等式的一般步驟及注意事項
變形名稱 具體做法 注意事項
去分母 在不等式兩邊同乘以分母的最小公倍數 (1)不含分母的項不能漏乘
(2)注意分數線有括號作用,去掉分母后,如分子是多項式,要加括號
(3)不等式兩邊同乘以的數是個負數,不等號方向改變。
去括號 根據題意,由內而外或由外而內去括號均可
(1)運用分配律去括號時,不要漏乘括號內的項
(2)如果括號前是“—”號,去括號時,括號內的各項要變號
移項 把含未知數的項都移到不等式的一邊(通常是左邊),不含未知數的項移到不等式的另一邊 移項(過橋)變號
合併同類項 把不等式兩邊的同類項分別合併,把不等式化爲 或 的形式
合併同類項只是將同類項的係數相加,字母及字母的指數不變。
係數化1 在不等式兩邊同除以未知數的係數 ,若 且 ,則不等式的解集爲 ;若 且 ,則不等式的解集爲 ;若 且 ,則不等式的解集爲 ;若 且 ,則不等式的解集爲 ;
(1)分子、分母不能顛倒
(2)不等號改不改變由係數 的正負性決定。
(3)計算順序:先算數值後定符號
4、將一元一次不等式的解集在數軸上表示出來,是數學中數形結合思想的重要體現,要注意的是“三定”:一是定邊界點,二是定方向,三是定空實。
5、用一元一次不等式解答實際問題,關鍵在於尋找問題中的不等關係,從而列出不等式並求出不等式的解集,最後解決實際問題。
6、常見不等式的基本語言的意義:
(1) ,則x是正數; (2) ,則x是負數;
(3) ,則x是非正數; (4) ,則x是非負數;
(5) ,則x大於y; (6) ,則x小於y;
(7) ,則x不小於y; (8) ,則x不大於y;
(9) 或 ,則x,y同號;(10) 或 ,則x,y異號;
(11)x,y都是正數,若 ,則 ;若 ,則 ;
(12)x,y都是負數,若 ,則 ;若 ,則
第十二章 證明
教學目標:
1.掌握定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念,知道一個命題是真命 題,它的逆命題不一定是真命題。
2.基本事實是其真實性不加證明的真命題,弄清真命題與定理的區別。
3.會用舉反例說明一個命題是假命題;掌握三角形內角和定理的證明。
重點:定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念的理解與運用
難點:會用舉反例說明一個命題是假命題;掌握三角形內角和定理的證明。
內容:
1.以基本事實:“同位角相等,兩直線平行”證明: (1)“內錯角相等,兩直線平行”、“同旁內角互補,兩直線平行”、“平行於同一條直線的兩條直線平行”
2.基本事實:“過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行”
“兩直線平行,同位角相等”
證明:
(1)兩隻相平行,內錯角相等
(2)兩隻相平行,同旁內角互補
(3)三角形內角和定理”
(4)直角三角形的兩個銳角互餘
(5)有兩個銳角互餘的三角形是直角三角形
(6)三角形的外角等於與它不相鄰的兩個外角的和